I SSN 03 87 -1 7 89 大阪市大『季刊経済研究』 γol .1 6,No.4,Mar ch1 9 9 4,pp.25 -31 ドント法の実質的意味について藤 Ⅰ はじめに Ⅰ 代表選出問題 Ⅰ はじめ井輝明 Ⅲ 単純多数制下の帰結 Ⅳ 結論に藤井 ( 1 9 9 0a)で私は,逐次追加比例配分法を｢疑似統計的方法｣によって形式的に評価して, サントニラゲ法が擬似的に不偏かつ有効であることを示し,現実的な整数制約の下では定数配 Re pr e s e nt a･分の方法として採用できると表明した｡他方また,実質科学的には,代表選出 ( Appor t i o nme nt ) 問題とは評価基準が異なるべきであるとの要請 t i on)問題には定数配分 ( もありうることを示唆した. 本稿では｢多数による支配｣という代表選出の一般的前提から,単純多数制の下での合理的競争戦略がドント法に帰結することを示し,代表選出問題に適用される逐次追加比例配分法としてドント法は合理的であることを述べる. Ⅰ Ⅰ 代表選出問題代表選出問題は形式的には整数制約付き資源配分問題であるが,それが発生する実質科学的なメカニズムは,たとえば定数配分問題と比較しても固有のものがある. いくつかの範噂に区分される大きさ N の集団に,合計 k個の定数が与えられる.k個の定数は範噂ごとに配分される. ここで定数配分法では次のような特徴がある.①集団を構成する単位は,資源獲得を目的としてほ範噂を移動できない.他の単位と結託して新しい範噂をつくることは許されない.②各単位の k個の資源への平等なアクセスが,直接的に配分の目的である. これに対して代表選出法は次の特徴を持つ.①単位は自由意志により結託して範噂を構成する.単位は範噂に結合し,範噂の間を移動し,場合によってはすべての範噂から離脱する (あるいは資源獲得を目的としない範噂に属することになる).②単位の行動日的は資源の獲得である.一般にそのための有効な手段は多数の結託である.配分に当たっての単位あるいは範噂〔キーワード〕資源配分問題,比例配分法, ドント法,代表選出問題,比例代表制. 26 季刊経済研究第1 6 巻第 4号の間の秩序は, 目的を持ってデザインされるというよりもむしろ,資源獲得の競争の結果としてつくられるものである. すなわち代表選出法は, 自由意志による範噂の形成と目的論なき配分法から生まれる,結果としての秩序形成である.そうした意味で代表選出における｢望ましい配分法｣は,社会意識との整合性や, コンフリクトの回避などの効率によって経験的に知られたものと言うことができる1 ) . Ⅰ Ⅰ Ⅰ 単純多数制下の帰結本節では単純多数制 2)のもとでの合理的な行動が導く性質を追っていくことによって, ドント法がその均衡状態の制度化として理解できることを示す. 定理 1 (ドループの定理) 単純多数代表制では,投票総数を P,選出される議員定数を k とおくと, k+1 (ドループ基数, または｢絶対当選基数｣) を越える得票であれば,必ず当選する. 証明仮に, ドループ基数を越える得票をした候補者が k をこえる m 人存在するとする. m > k,または, 自然数であるから,m≧k+ 1である.それらの候補者の得票数 ( ai )は P P αl > k+1'叩` ′ k+1' ,a k > A+1' ,αm> k+1 である.辺々足して, u L a mP E ai -al +a2 +･･････ +a k +･･････ +a m> k+1 f -1 となる. 1 )参政権の平等といった定数配分問題における目的もまた, ある意味では人類が経験的に獲得した知恵であると言えるが, ここでの意味は,代表選出法はそうした｢大理念｣から直接的に演緯されるものではないということである. 2 )単純多数制とは,定数を越える候補者のうちから定数以下の候補者に一回限り投票し,獲得した票の多い順に定数までを当選とするものである. ここで重要なのは投票することのできる候補者と定数の比である. 1:1の場合 ( 完全記)は ( 連記であっても),相対的に一票でも多い 1 )ストが全議席を独占することになり (いわゆる小選挙区制 ( 完全単記) と同じ結果),制限が強いほどそれとはことなる結果を示す.定数そのものにはあまり意味がない.以下の議論では単純化のため, 1名に投票し,定数は 2以上であること (制限単記制)を想定している. ドント法の実質的意味について 27 F L i j P≧∑ ai z ' -I であるから, mP P>A+ 1 すなわち, k+ 1>m となる. これは仮定m≧k+1に反する. よって,得票数がドループ基数を越える候補者は k 以下である. すなわち, ドループ基数を越える得票であれば,必ず当選する. 1 実際には,最下位当選者の得票数はドループ基数よりも小さくなるのが普通である3). より現実的に,次の定理が成立する. 定理 2 投票総数をP, 選出される議員定数を k, 得票数がドループ基数を越える候補者の数を ] ' ( <k ) ,それらの候補者の得票の合計を Z とおくと, pZ ● k 1 +1 (ここで仮に｢相対当選基数｣と呼ぶことにする) を越える得票であれば必ず当選する. ,残得票数がドループ基数を越える候補者は当選するから,対象となる残りの定数は k-j りの候補者の得票数の合計は p-Zであることを考慮すれば, 証明は定理 1と同様であるから,省略する. ｢相対当選基数｣はドループ基数より小さい. 証明定理 1より Z-垂 l a i >j l 五㌔ ] 3) このように,単純多数代表選出法の出発となる基数は, ピソトン法 ( 単純比例配分法)で用いられる P/k) ではなく, ドループ基数 ( P/( k+1 ) ) である.単純多数制をとる日本の公職選挙 -ア-基数 ( 法で,法定得票数や供託金没収となる得票数が, ドループ基数ではなく-ア-基数を基礎にして,その何分の 1 (もっとも大きいのは参議院をのぞく選挙の法定得票数で 4分の 1, もっとも小さいのは地方 0分の 1) と定められているのは,代表選出の数理をの議会と首長の選挙の供託金没収となる得票数で1 無視していると言えよう. 2 8 季刊経済研究第 4号 ● ナノだから, 第1 6巻言 > k+1 である. このとき, 1i< 変形して, p-Z /k+1-i P ー k+1 両辺分母分子は正だから, p-Z P k-j+1＼k+1 _ すなわち, ｢相対当選基数｣はドループ基数より小さい. I ところが,ある候補者が｢相対当選基数｣の整数倍の力を持つような場合,それが,専ら侯補者個人に依存するものでない限りは, ｢結束｣した複数の議員を当選させようとするであろう. このとき,当選に必要な票をいわゆる｢票割｣によってわりふれば,それが,当選者最大化行動となる. 仮に,そうした行動の結果として, ドループ基数の整数倍以上の票を均等に分割できれば, 相対当選基数｣は以前より大きくなる. こうした定理 2に言うノが増加することになるから,｢過程が定数が埋まるまで繰り返されると,次のような結果になる. 単独または, ｢結束｣した複数の候補者の集団を｢リスト｣とし,それを支持する人々と一体化して一つの範噂とする.以下,実質的な感覚で表現するため, これを｢党｣と定義すれば, 以下の定理が成り立つ. 定理 3-a (--ゲソバッ- - ビショフの定理) 各党が専ら自党の当選者最大化を目指して行動するとき,すべての党についてその試みが成功するならば,① ｢各党の得票数をドループ基数で除して得た数の整数部｣と,② ｢各党ごとに①で得た整数に 1ずつを順に加えた数で得票数を除して得られた商を,全体で大きい順に並べて,定数から① の総計を引いた差までに入った回数｣を加えたものが,各党が獲得する議席数となる. 1 ) 説明定理 1より, ドループ基数だけの得票があれば 1名当選させることができるから,その｢得票数/ ドループ基数) の整数部｣整数倍以上の力を持つ党は,合理的に分割することで, ( ドント法の実質的意味について 29 だけの議席を得ることができる. 2 ) 残余議席については定理 2が成立するが,追加的議席が決まるごとに残余議席は k-i から 1つずつ減る.他方で,当選に要された得票数の合計は, もはやドループ基数を越える候補者の得票の和ではなく,追加された最後の 1議席を得られるのに必要な基数にその時点までに既に決まった議席数の合計を乗じたものとなる. したがって｢党｣の合理的行動についてのこの前提の下では定理 2は次のように読み換えられる. ｢投票総数を P,選出される議員定数を k,合理的分配により既に当選が確実となった候補者の数を j( <k),｢そのために最低必要な得票 × j｣を Z とおくと, p-Z ■ k-1+1 を越える得票があれば必ず当選する｡｣ 3) ところがいずれの党にあっても合理的に配分することになっているから,追加的議席を )で修正された基数を得るのではなく,その党の得票数を｢既に確実にした議得るには結局,2 席プラス 1｣で割って得られる基数が,他党に比較して大きいことが条件になる. これが残余議席の数だけ繰り返される. ところで, この追加的議席を得る条件そのものは一般に成立する.それに注意すれば簡単に次のようにあらわすことができる4). 定理 3-b (ドントの定理) 各党が専ら自党の当選者最大化を目指して行動するとき,すべての党についてその試みが成功するならば,各党の当選者数は,その得票数を整数で除した商の大きい順にその党の当選者として,定数に達するまで配分したものに等しい. 説明･ ,現時点で確実に得ることが期待される議席を hi とおく. その時 1 ) 各党の得票数を Vl <k である. 点では ∑hi V , .. i .. i h. _ .A .A_ ⊥一 . J ^. A ^ Vi を上回るなが自党以す党の hg +11 `Hノ】〝' ーノノ】ーノhi +1 らば, g は候補者を 1だけ増やす .g以外のいずれの党も候補者を 1増やしたときに候補者一 2) いま,任意の党 ( 第 g党) について g 外の ′ ' ーノべノての一一人あたり得票数で g を上回ることができないから,仮定にしたがい,gが合理的得票配分に成功する限り,追加的 1議席はgが得る. 3) 最初の 1議席は,最大の Viを持つ党 (第 1党) が獲得するが, これは2)ですべての 4 )定理 3- bは定理 3- aのケースを包含する一般的なものだが, ｢各党の得票数をドループ基数で除した数の整数部｣までの議席獲得が確実になることは,定理 1から必ず成立するから,定理 3- bに含実は 2つの定理は同値である. まれて定理 3- aに含まれない領域というものは存在しない.したがって, 30 季刊経済研究第1 6巻第 4号につき,hi -0とおけばよい. hi+1 4 ) 合理的に予測して ∑h i ≧k になったとき, どの党もそれ以上候補者を追加しないから, この過程は終了する. この決定のアルゴリズムは,実は議席配分法としてのドント法と全く同じである5). すなわちドント式比例代表制は,単純多数制のもとでの結果を基礎にしており,各党の得票数自体以外の偶然的要因6 )をまったくなくして,各党が議席シェア最大化に成功した状態を制度的に保証するよう,選挙制度 ( 代表選出法) として定めたものと言える7). Ⅰ Ⅴ 結請以上見たように, ドント法は,あくまで単純多数制を基礎にした比例代表制であり,議席を得票に比例させることを第一義に保証するものではない. ドント法が相対的に大きなリストにより大きな議席シェアを与えることは既に広く知られている8). 地域選挙区- の定数配分問題のように平等がなにより要求される場合には,従って, ドント法は用いられるべきではない. しかしながら,代表選出の方法としては,多数による支配をめぐる合理的競争の均衡を保証するもの,単純多数制から偶然性を除いたものとして, ドント法は肯定的に理解できるのであ 5 ) ドント法の配分方法については,茨木 (1 9 80 ),p. 5 4,藤井 (1 99 0a),pp. 3 7 -3 8を見よ. 6) ここで単純多数制の持つ｢偶然的要因｣というのは,実質科学的には偶然で片づけられない次のよう )に言う記名の制限の強度となり,代表選出に結果する有効なものを含んでいる.①定数がそのまま注 2 な母数 (つまり代表を持ちうる範噂の全体に占める割合 )がこれに左右されること.② 同じ党でも｢人物｣によって,得票が左右される. ( 別の見方をすれば, 同じ党の中での票の配分 (棄権も含む) の出方によって,獲得議席数が変化する, ということであるが, これは候補者個人の利己的行動に即せば, いわゆる共食いを誘う原因となる). 7)注 6 )に例示した偶然的要因とは別に単純多数制が持つ厄介な問題として, コンドル七のパラドクス (原理的に過半数の不信任を受ける候補者が当選する可能性)がある.単純多数制ではコンドル七のパラドクスは避けられない.完全記制 (その一種としての小選挙区制)でこれが回避されると主張される場合があるが,全く誤っている. (多数制でこれを避け得るのは 2回 ( 正確には候補者が 2人になるまでの多数回)投票制である.西平 (1 9 81 ) , pp.6 2 -6 6. ) 単純多数制では否定的不支持は明示的には考慮されずに肯定的支持だけが考慮され, それが代表選出に結果する可能性は,制限記の強さと偶然に依存する. ドント法はこれらの影響をなくすのである. 8)I bar akiand Kat oh (1 98 8) ではこのことを母数/順位関数を尺度にとった空間の中で (より大きいまたは小さい)母数-偏りのでる亀城の広さで示している ( I barakiandKat oh(1 98 8 ),pp.11 3 -1 21 . ) . 藤井 (1 9 9 0a)紘,各種の逐次追加比例配分法を比較してドント法に見られる配分比の母比率に対する偏りとしてこれを記述している. また,有効性基準で見てドント法の効率の悪いことも指摘しているが, 母比率回りの分散をもとにしているので,平均そのものが母比率とずれていることが大きな原因であろう. ドント法の実質的意味についてる o'･ 31 ( 1 9 8 8年 6月2 5日, 1 990年 1 0月, 1 99 4年 1月) 文献 Ba l i ns ki ,M･L･and Young,H･P･( 1 9 7 7 ) ･" On Hunt i ngt on Met hod ofAppor t i o nme nt , , ,SI AM Jo u r nalo fA♪Z ･ l i e dMat j l e mat i c s33 ,607 -61 8 . (1 9 7 9 ) ･" Cr i t e r i af or Pr opor t i onal Re pr es ent at i on' ' ,Operati o ns Re s e a, c h 27 ,80-95. ,T･andKat oh,N･(1 9 8 8) ･Re s o - eAl l o c at i o nPr o b l e ms I bar aki MI T Pr e s s ,Cambri dge . Al go r i t hmi cA♪ Z ' r o ac he s - , l ,M･G･a ndSt uar t ,A･(1 9 5 0 ) .` ` TI eLaw oft heCubl i cPr opor t i ol -i nEl e ct i onRe s ul t s " , Ke ndal Br i t i s hJo ur nalo fSo c i o l o gy 3,1 8 3 -1 9 6 . 茨木俊秀 ( 1 9 8 0 ) .議員定数の最適配分法, ｢数理科学｣2 0 9 , 5 2 -5 9 . 西平重菩 ( 1 9 6 9 ) . ｢選挙の国際比較｣,日本評論社. (1 9 7 7 ) .比例代表制の具体的提案, ｢数理科学｣1 6 7 ,61 -6 8. (1 9 81 ) . ｢比例代表制｣, 中央公論社. (1 9 9 0 ) . ｢統計でみた選挙のしくみ｣,講談社. 藤井輝明 ( 1 9 9 0a) .逐次追加比例配分法の疑似統計的性質, ｢統計学｣5 8,3 6 -4 9. ( 3 ) ,1 -1 7 . (1 9 9 0b) .逐次追加比例配分法の数値計算, ｢松山大学論集｣2 (1 9 9 4.1 . 2 0受理) 9)偶然性がなくなる分,一般的には最下位当選ドント基数は単純多数制における最下位当選基数よりも暗証 :総和 ∑a`が与えられたとき,最小値 Mi n( ai )を最大化するにはレンジ Max( a` )大きい. ( Mi n( ai )を最小化すればよい.) ここから, ドント法は制限単記単純多数制よりも小政党に不利であるから,民意を汲み上げるべき比例代表制として採用されるべきでないという議論がある.現に比例代表制をとるヨーロッパ諸国の多くが現在ドント法を採用していない ( 北欧諸国は修正サントニラゲ法, ドイツはビントン法である.西平 (1 9 9 0) , p. 5 2,pp.8 2 -8 3 . ) . 日本で参議院全国区を比例区に変える法案が審議されたときも, サントニラゲ法が修正案として検討されそうになった. しかし,配分法の種々のバリエーションが採用されていることは実際にはもっぱら妥協の産物であり, 資源配分法として不偏性等ほもちろん形式的には考慮されるべきだとしても, ちょうど定数配分問題で単調性を犠牲にしてでも最大格差の最小化をはかるべきとの要請があり得るように,代表選出問題で単純多数制下の｢多数による支配｣からの論理的帰結が尊重されるべきとの要請もあり得よう. ドント法はこの点で根拠があり,その｢偏り｣にも関わらず代表選出法として批判に耐えうる合理性がある. (日本の議論で問題とされるべきはむしろ, ドント式比例代表制が選挙制度の基本となっていないことである. ) 代表選出における平等,あるいは少数意見の尊重という点から真に重要なのは,選出単位の定数である. ( ｢例えば,定数 2 0 0 前後を都道府県単位に割り振ったときにできる, 2とか 4とかいう定数｣ ( 蘇 9 9 0b) ,pp.1 4 -1 5,注 1 5 ). ) では比例代表制の意味はほとんどない.) これは既に広く知られて罪 (1 ていることである (たとえば西平 (1 9 9 0) ,pp.7ト7 7を見よ). 藤井 (1 9 9 0a)ではこの点について, 擬似的漸近性の問題ととらえて, シミュレーションから 3つの逐次追加比例配分法すべてにおいて配分此は定数を増やすにつれて母比率に収束すること,それは逐次追加比例配分法の順位関数における Pi/ Xt( 母数/配分比率)以外の部分が漸近的に 0になることから理解できることを述べた.