ステップ２第 2 章通過帯域の位相変動が小さいフィルタ回路を作るためにベッセル型ロー・パス・フィルタの設計川田章弘 Akihiro Kawata ● パルス信号には位相変動の小さいフィルタが必要位相変動が小さいことを「群遅延特性（後述）の変動 ● 周波数とは何かここで，信号くんがトラックを 1 周する速さωを考が小さい」と言います．えることにしましょう．速さは，距離を時間 t［s］でこの特性は，特にフィルタ回路にパルス信号を通過させるときにたいせつな特性になります．身近なパル割ればよいため， 2π ω＝ t ス信号としては，ビデオ信号があります．です．群遅延特性とは？ここで，（1/t）は周波数 f にほかなりません．従って，この式は次のように書き換えられます． ● 位相とは何か ω＝ 2 πf 位相変動の話をする前に，まず，位相とは何なのかについて復習します． 2 πf は，ωと表記される角周波数です．つまり，角周波数とは信号くんがトラックを 1 周する速さのこ位相を一言で説明すると，信号の進んだ距離のことです．図 1 を見てください．「信号くん」が丸型のトとなのです．ラックを走っています．この円周の長さは，「2 π× ● 位相遅延とは何か（半径）」ですが，正規化して「2 π」と考えます．信号くんのスタート地点を 0 とすると，彼がこのトラッ位相遅延という概念について考えてみます．先ほど，位相とは信号くんの進んだ距離であると説明しました．クを 1 周すると 2 πの距離を進んだことになります．そして，2 周すれば 4 π進んだことになります． π 2 信号くんえっほえっほ θ：正 π π 0 2 3 π 2 r π 中心 θ：負 θ （ω） … 4π←2π←0 スタート地点 3 π 2 フィルタなどの回路を通過する信号くんは「逆走」する信号くんの足の速さは 2πf ≡ω 信号くんの進んだ距離はθ （ω） θ （ω）距離なので ω になる．時間ただ，信号くんは逆走しているので，経過時間は負の値で考えて， θ （ω） − 信号くんが走り始めてからの時間は 2πr r で割って「正規化」するとこの円形のトラックの円周は．円周は2π． 0からスタートして1周すると進んだ距離は2π．2周なら4πだ ω となる．図 1 位相とは…「信号くん」が進んだ距離図 2 位相遅延とは…「信号くん」が走った時間円形のトラック上を一定速度で走り続けている「信号くん」を考える逆走すると遅れが大きくなる 118 2008 年 7 月号特集＊速習！アナログ・フィルタ設計入門振幅 1Hzくんの3倍足が速い入力信号 B 入力信号がA地点（スタート地点）からB地点に進んだのに，出力信号は A地点にいる．これは出力信号がだけ遅れてい T ることになる 1Hzくんの2倍足が速い 3Hzくん 2Hzくん 1Hzくん π A スタート地点 2 dθ2 A地点と同じ π 出力信号 T（ω） dθ1 0 時間［s］ 3 π 2 図 3 位相遅延とは…入力と出力の時間差出力信号は同じ位置にたどり着くのが遅れているこの位相をθという記号で表します． θは信号くんの速さωの関数なので，θ（ω）とするほうが正確です．信号くんが走り始めてしばらくしたとき，彼が図 2 の位置にいたとします．このときの信号くんが走り始めてからどのくらいの時間が経過したか求めてみましょう．時間は「（距離）÷（速さ）」です．従って，走り始めてからの時間 T は， θ （ω） T ＝− …………………………………（1） ω で求めることができます．フィルタ回路を通過した信号は，正方向ではなく負方向（つまり遅れ方向）に変化します．そのため，式（1）には負の記号が付いています．この走り始めてからの時間のことを位相遅延 T（ω）と言い，定義は次のとおりです． θ （ω） T（ω）＝− ……………………………… （2） ω dθ1 ＝ dθ2 …このとき群遅延が一定という各周波数の信号くんたちの位置関係が一定図 4 群遅延とは…各周波数の信号の位置を時間で表したもの dθで信号くん同士の位置関係を表すことができるになります．従って，厳密には現在の信号くんの位置 θ（ω）からだけでは位相遅延は計算できないのです．このことから，フィルタ回路に信号が入力されてから出力されるまでの時間差を位相遅延で考えるのは，実は難しいということが分かります． ● 群遅延とは何か位相遅延では不具合があるので，群遅延τ（ω）という概念を使います．群遅延を式で表すと， dθ （ω） τ（ω）＝− dω です．これは，位相を角周波数で微分した値なので，定数項である 2 πn は 0 になります．この値を使えば，信号くんが何周したのかは考える必要がなくなります．つまり，図 3 に示すように，位相遅延とはフィルタ位相遅延も群遅延も単位は同じ時間［s］です．ところで，数式では納得できても，群遅延とは何のに信号が入力されて，同じ信号が出力されるまでの遅れ時間のことです．位相遅延の単位は時間と同じ［s］ことなのかイメージしにくいと思います．図 4 を見てください．周波数の異なる 3 人の信号くです．んが dθ だけ離れた位置で走り続けているとします． Z位相だけでは正確な遅れが把握できないここで少しの間，信号くんに 1 人で走り続けてもら例えば，それぞれを 1 Hz くん，2 Hz くん，3 Hz くんとします．2 Hz くんの走る速さは 1 Hz くんの 2 倍でいました．しばらくして，信号くんの位置を確認したところ，またまた図 2 の位置にいました．さて，信号すし，3 Hz くんの走る速さは，1 Hz くんの 3 倍です．しかし，それぞれの間には 1 Hz の違いしかありませくんの走り続けた時間は？と聞かれても答えられないと思います．なぜなら，ん．つまり，1 Hz くんと 2 Hz くんの間の周波数の違いは 1 Hz ですし，2 Hz くんと 3 Hz くんとの間にも θ（ω）＝θ（ω）＋ 2 πn（n は整数）だからです．信号くんが何周したのかを知らなければ，時間の計算はできません．つまり，信号くんが走り続けたときの位相遅延は， θ （ω） 2 πn T（ω）＝− − ω ω 2008 年 7 月号 1 Hz の違いしかありません．このとき，図の dθ1 と dθ2 の大きさが同じであれば，群遅延量も同じになります．つまり， dθ（ dθ（ 1 ω） 2 ω） − ＝− ＝（一定） dω dω ということです． 119