Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei

Teoria dei residui e calcolo di integrali indefiniti
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T. Frizzi
Calcolo rapido di particolari integrali definiti attraverso la teoria dei residui
Si debba calcolare:
+∞
∫ ax
I=
−∞
2
1
dx
+ bx + c
Per ipotesi i poli dell’integranda non siano reali (siano quindi complessi coniugati). Consideriamo
(nel piano complesso) una curva chiusa Y composta da una semicirconferenza con centro
nell’origine e raggio R e dal segmento di asse reale [-R;R]. R sia tale che il polo a parte
immaginaria positiva sia interno a Y.
Curva Y (in ross o) c on R norm aliz zato pari a 1
1.5
1
P arte im m aginaria
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
P arte reale
0.5
1
1.5
L’integrale esteso a Y coincide quindi con il residuo (chiamiamolo K) dell’integranda nel polo
interno a Y.
Chiamiamo A l’integrale esteso alla semicirconferenza e B quello esteso al segmento [-R;R].
Quindi:
2πiK = A + B
Consideriamo A. Sulla semicirconferenza il generico punto complesso si può scrivere:
z = Re iϑ
ϑ ∈ [0; π ]
Quindi:
dz = i Re iϑ dϑ
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T. Frizzi
Prendendo il modulo di A:
π
A=
∫ aR
0
π
2 i 2ϑ
e
1
1
i Re iϑ dϑ = ∫
R dϑ
iϑ
2 i 2ϑ
+ b Re + c
+ b Re iϑ + c
0 aR e
Immaginiamo ora di far tendere R all’infinito. Si vede subito che il modulo di A tende a 0.
Graficamente quest’operazione allarga la semicirconferenza all’infinito. Ma il residuo
dell’integranda (analitica nel semipiano positivo, eccetto che nel polo) non dipende dalla curva Y.
Quindi:
2πiK = lim ( A + B ) = lim (B ) =
R → +∞
R → +∞
+∞
∫ ax
−∞
2
1
dx
+ bx + c
Cioè il nostro integrale coincide, a parte una costante moltiplicativa, col residuo della funzione
integranda nel polo.
Se P(x) è un polinomio con radici distinte, si dimostra che il residuo di 1/P(x) relativo ad una radice
(polo) w vale:
K=
1
P' (w)
Nel nostro caso:
−b
−∆
+i
2a
2a
P ' ( x ) = 2ax + b
w=
P ' (w) = −b + i − ∆ + b = i − ∆
In definitiva si ottiene:
+∞
∫ ax
−∞
2
1
2πi
2π
dx = 2πiK =
=
+ bx + c
i −∆
−∆
Questa formula è molto semplice da utilizzare ed evita noiosi passaggi di sostituzione.
Se il polinomio al denominatore fosse di grado superiore al secondo (ma sempre con radici
complesse coniugate, quindi di grado pari) si può sempre applicare la formula:
K=
+∞
1
P' (w)
1
∫ P(x ) dx = 2πi∑ K
−∞
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T. Frizzi
La sommatoria è estesa a tutti i residui nei poli del semipiano positivo.
Ad esempio:
+∞
∫x
−∞
4
dx
− 2 x + 3x 2 − 2 x + 2
3
I poli sono in:
1− i
1+ i
i
−i
Calcoliamo i residui nei poli del semipiano positivo:
P(x ) = x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 2 x + 2
P' (x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 2
P ' (i ) = 2i + 4
P ' (1 + i ) = 2i − 4
da cui:
+∞
1
 1
1 
2
∫ P(x ) dx = 2πi∑ K = 2πi  2i + 4 + 2i − 4  = 5 π
−∞
Tommaso Frizzi
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