ANALISI COMPLESSA (6 e 9 cfu)– A.A. 2013/14 Corsi di Laurea in Matematica 19 giugno 2014 1. Sia f (z) = 1 1 − . sinh πz z(z − i) Classificare i punti singolari di f in C∗ (motivando quando detto) e calcolarne i relativi residui. 2. Calcolare (eventualmente a meno del calcolo effettivo dei residui integrali necessari) il seguente integrale Z +∞ ln x dx . I= (1 + x2 )2 0 3. Determinare esplicitamente, ove sia definita, la funzione Z 2π dt f (z) = . it e +z 0 4. (Solo corso da 9 cfu) Sia u : Ω → [0, ∞) con B(0, 1) ⊂ Ω ⊂ R2 una funzione armonica in Ω con u(0) = 1 1. Mostrare che 1 3 ≤ u( ) ≤ 7 . 7 4 2. Determinare due funzioni armoniche in B(0, 1), non-negative, con u(0) = 1 e tali che u( 43 ) realizzi i valori estremi 71 e 7.
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