Matematica per la Finanza, Prova scritta del 16/6/2014 1) Calcolare la somma della seguente serie geometrica: +∞ n X 2 5 n=2 Soluzione Si ha +∞ n X 2 n=2 5 2 X 2 +∞ n 2 2 2 1 = × = × 5 5 5 1− n=0 2) Calcolare i seguenti integrali definiti: Z Z 1 −x xe dx, −1 4 2 2 5 = 4 . 15 x−3 dx. x2 − 1 Soluzione Risolviamo il primo integrale per parti Z 1 Z 1 1 1 2 −x −x −x −x −x xe dx = −xe − 1(−e )dx = −xe − e = − e −1 −1 −1 −1 Per risolvere il secondo integrale invece cerchiamo A e B tali che B A(x − 1) + B(x + 1) x−3 A + = = x+1 x−1 x2 − 1 x2 − 1 ci`o `e equivalente a risolvere A+B =1 B − A = −3 da cui A=2 B = −1 Ne segue Z 4 4 x−3 25 dx = (2 log |x + 1| − log |x − 1|) = 2 log 5 −2 log 3−log 3+log 1 = log . 2 27 2 2 x −1 3) Stabilire per quali valori del parametro vertibile:  1 2  A = k −1 1 −1 1 reale k la seguente matrice `e in 4 2  0 Soluzione La matrice risulta invertibile se e solo se il suo determinante `e diverso da 0. Sviluppandolo rispetto alla terza riga otteniamo det(A) = 1(4 + 4) − (−1)(2 − 4k) = 8 + 2 − 4k = 10 − 4k che `e pari a 0 se e solo se k = 25 . La matrice A `e pertanto invertibile per K 6= 25 . 4) Risolvere il seguente problema di P.L.:  max x1 + x2     s.t.  2x1 + 5x2 ≤ 2   4x1 + 3x2 ≤ 3    x1 , x2 ≥ 0 Soluzione Il punto di massimo `e pari a 9 1 , , il valore ottimo della funzione obiettivo `e 14 7 11 . 14 5) Scrivere un piano di ammortamento francese in 4 rate annuali di un debito iniziale di 100000 Euro al tasso passivo i = 10%. Soluzione La rata `e: C 100000 R= = 1−(1.1)−4 = 31547 an,i 0.1 Il piano di ammortamento risulta: Tempo 0 1 2 3 4 Rk 31547 31547 31547 31547 Ck 21547 23702 26072 28679 Ik Dk 10000 7845 5475 2868 100000 78453 54751 28679 00 6) Determinare l’importo del versamento annuale necessario per costituire un capitale di 100000 Euro in 10 anni, ipotizzando un tasso attivo del 10%. Soluzione Sappiamo C C = R sn,i da cui R = . sn,i 2 Calcoliamo quindi sn,i = (1 + i)n − 1 (1.1)10 − 1 = = 15.9374 i 0.1 da cui 100000 = 6274.5 15.9374 7) Un portafoglio `e composto al 40% di ZCB decennali e al 60% di obbligazioni triennali che pagano cedole annuali del 2%. Calcolare la duration del portafoglio al tasso di valutazione i = 5%. Soluzione Il valore attuale delle obbligazioni triennali `e R= VObb = 2 2 102 + + = 91.8303 1 2 (1.05) 1.05 1.053 La duration delle obbligazioni triennali `e 1 2 2 102 269.8672 DObb = ×1+ ×2+ ×3 = = 2.9388. 1 2 3 VObb (1.05) 1.05 1.05 91.8303 La duration del portafoglio `e la media ponderata delle duration dei titoli che lo compongono, quindi DP ort = 40% × 10 + 60% × 2.9388 = 5.7633 anni. 8) Considerare le seguenti lotterie:   10 20 a =  30   15 20 b =  30 con prob. con prob. con prob. con prob. con prob. con prob. 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 1 2 Verificare che sono confrontabili secondo la dominanza stocastica del primo ordine (FSD). Quale viene preferita da un agente con u(x) = log(x)? Soluzione Dal grafico delle funzioni di ripartizione si evince che b ≥F SD a poich´e Fa (x) ≥ Fb (x) per ogni x (se si vede un solo colore vuol dire che coincidono). Pertanto, ogni agente con utilit`a nondecrescente preferisce la lotteria b; in particolare, un agente con utilit`a u(x) = log(x) preferisce b. 3 Figure 1: Funzioni di ripartizione di a e b. 9) Utilizzando un modello binomiale UNI periodale con u = 1.05, d = 0.95, r = 0.03, S = 100, ∆t = 1 anno, calcolare il prezzo di una opzione put europea con strike K = 100. Soluzione I possibili valori del sottostante a scadenza sono 105 e 95; i corrispondenti valori della put con strike 100 sono 0 e 5. La probabilit`a neutrale al rischio di un movimento ”up” `e q= e0.03 − 0.95 ert − d = = 0.805 u−d 0.1 da cui P = 1 [q × 0 + (1 − q) × 5] = e−0.03 [0.1950 × 5] = 0.9462. ert 4