Analisi Complessa (terza parte)

Metodi matematici per l’Ingegneria
Analisi Complessa
Esercizio
1. Calcolare
Z
z cos(πiz) dz, dove γ `e la spezzata che congiunge i punti 0, 1 + i, i, in quest’ordine,
(1)
γ
Z
(2)
γ
1
dz, dove γ(t) = 1 + it, t ∈ [−1, 1],
(z − 2)2
Z
(3)
γ
Z
(4)
γ
Z
(5)
γ
z2
1
dz, dove γ(t) = eit , t ∈ [− π2 , π2 ],
+ 2z
1
dz, dove γ(t) = i + eit , t ∈ [0, π],
z2 − 4
1
dz, dove γ(t) = 2 + 2 cos t + i sin t, t ∈ [− π2 , π2 ],
z 3 + 4z
Z
Log z dz, dove γ(t) = t + i, t ∈ [−1, 1], e Log `e il logaritmo principale,
(6)
γ
Z
(7)
Log(z 2 + 4) dz, dove γ(t) =
√
3 + it, t ∈ [−1, 1], e Log `e il logaritmo principale.
γ
Esercizio
Z p 2. Calcolare
(1)
9 − z 2 dz, dove γ `e la circonferenza {z ∈ C : |z| = 1}, percorsa una volta in senso antiorario,
γ
√
`e la radice quadrata principale,
e
Z
Log(z + e)
(2)
dz, dove γ `e la circonferenza {z ∈ C : |z| = 1}, percorsa una volta in senso antioz
γ
rario, e Log `e il logaritmo principale,
Z √
z
dz, dove γ `e la circonferenza {z ∈ C : |z − 2| = 3/2}, percorsa una volta in senso anti(3)
2
1
γ z −
√
orario, e
`e la radice quadrata principale,
Z
z
e
(4)
dz, dove γ `e la circonferenza {z ∈ C : |z| = 2}, percorsa una volta in senso antiorario,
(z
+
1)2
γ
Z
Log(z + 1)
(5)
dz, dove γ(t) = ( 12 cos t + 12 , sin t), t ∈ [0, 2π], e Log `e il logaritmo principale,
3
γ (2z − 1)
Z
Log(z + 1)
(6)
dz, dove γ `e la circonferenza z ∈ C : |z − 2| = 32 , percorsa una volta in senso
2
2
γ (z − 1)
antiorario, e Log `e il logaritmo principale,
Z √
z+1
(7)
dz, dove γ `e la circonferenza {z ∈ C : |z − 2i| = 2}, percorsa una volta in senso antii)2
γ (z −
√
orario, e
`e la radice quadrata principale,
Z
sin(πz)
(8)
dz, dove γ `e il bordo del quadrato di vertici 2, 2i, −2, −2i, percorso una volta in senso
3
2
γ z +z
antiorario,
1
Z
(9)
γ
1
3
dz,
dove
γ
`
e
la
circonferenza
z
∈
C
:
|z
+
i|
=
, percorsa una volta in senso antio2
z4 + z2
rario.
Esercizio 3. Determinare lo sviluppo di Taylor delle seguenti funzioni, nell’intorno del punto z0
indicato, e calcolare il raggio di convergenza della serie ottenuta.
(1) f (z) = z 2 + z + 1,
z0 = i,
1
(2) f (z) = ,
z0 = i,
z
z
(3) f (z) = 2
,
z0 = 0,
z +z−2
z
(4) f (z) = 2
,
z0 = 1,
z + 3z + 2
1
(5) f (z) =
,
z0 = 0,
(z − 1)2
1
(6) f (z) = 3 ,
z0 = 1,
z
(7) f (z) = sin z,
z0 = π2 ,
(8) f (z) = ez ,
z0 = πi,
(9) f (z) = Log z,
z0 = ie, dove Log `e il logaritmo principale,
√
√
(10) f (z) = 1 + z,
z0 = 0, dove
`e la radice quadrata principale,
√
√
z0 = 2, dove
`e la radice quadrata principale.
(11) f (z) = z,
Esercizio 4. Calcolare la somma f delle seguenti serie
∞
X
(1 − z 2 )n
(1) f (z) =
,
n!
(2) f (z) =
(3) f (z) =
(4) f (z) =
(5) f (z) =
(6) f (z) =
(7) f (z) =
n=1
∞
X
n=0
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=0
∞
X
n=0
1 + (−1)n 2n+1 z n ,
nz n ,
n2 z n ,
n3 z n ,
(−1)n z n+2
,
(n + 2)n!
(−1)n (3z − 2)n+1
,
n+1
2
(8) f (z) =
(9) f (z) =
∞
X
(−1)n z 2n
n=0
∞
X
2n + 1
z n+1
,
n(n + 1)
n=1
∞
X
(10) f (z) =
(11) f (z) =
,
n=1
∞
X
(−1)n+1 z 2n
,
2n(2n − 1)
nz n
,
(n + 1)5n
n=1
∞
X
(12) fα (z) =
n=1
nα z n
,
n!
α ∈ N ∪ {0},
3

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