I LOGARITMI DATA UN’EQUAZIONE ESPONENZIALE DEL TIPO 𝑎 𝑥 =𝑏 → ammette una sola soluzione SI LEGGE LOGARITMO IN BASE a E ARGOMENTO b RICORDIAMO CHE LA BASE PUO’ ESSERE 𝑎 MENTRE L’ARGOMENTO b > 0 𝑥 = log 𝑎 𝑏 > 1 OPPURE 0 < a < 1 COME LE ESPONENZIALI ESERCIZI IN CUI MANCA IL RISULTATO X, ECCO IL TESTO: log 7 49 PONGO TUTTO UGUALE A X log 7 49 = 𝑥 IL PROCEDIMENTO E’ SEMPRE LO STESSO PRENDO LA BASE 7, LA ELEVO A x E POI UGUAGLIO TUTTO A 49 log 7 49 = 𝑥 → 7𝑥 = 49 → log 2 1 16 = 𝑥 → 2𝑥 = 1 16 7 𝑥 = 72 → 𝑥=2 → 2𝑥 = 16−1 → 2𝑥 = (24 )−1 → 2𝑥 = 2−4 → 𝑥 = −4 ESERCIZI IN CUI MANCA L’ARGOMENTO b, ECCO IL TESTO: log 5 𝑏 = 1 3 1 3 3 → 5 = 𝑏 → √5 = 𝑏 ESERCIZI IN CUI MANCA LA BASE a, ECCO IL TESTO: 1 log 𝑎 = −2 → 𝑎−2 = 4 1 4 PER TOGLIERE L’ESPONENTE DEVO ELEVARE A DESTRA E A SINISTRA PER IL RECIPROCO DI -2 → → 𝑎=2 1 (𝑎−2 )−2 1 1 −2 =� � 4 1 → 𝑎 = (4)2 2 →𝑎 = √4 PROPRIETA’ DEI LOGARITMI DA UTILIZZARE NELLE EQUAZIONI log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 PRIMA PROPRIETA’ 𝑏 log 𝑎 = log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 𝑐 SECONDA PROPRIETA’ log 𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑏 TERZA PROPRIETA’ ESEMPIO DI EQUAZIONE LOGARITMICA log 𝑥 + log(𝑥 + 3) = log 2 + log(2𝑥 + 3) PRIMA DEVO PORRE LE CONDIZIONI DI REALTA’DEI LOGARITMI SI PONGONO TUTTI GLI ARGOMENTI MAGGIORI DI ZERO 𝑥>0 𝑥>0 � 𝑥 + 3 > 0 → �𝑥 > −33 GRAFICO CON LE LINEE x > 0 𝑥>− 2𝑥 + 3 > 0 2 ( CONDIZIONE DI REALTA’) ORA SI PROCEDE CON LA SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE, APPLICO LA PRIMA PROPRIETA’ TRA I PRIMI DUE LOGARITMI A SINISTRA DELL’UGUALE E ANCHE A DESTRA DELL’UGUALE log 𝑥 ∙ (𝑥 + 3) = log 2 ∙ (2𝑥 + 3) DUE LOGARITMI SONO UGUALI QUANDO HANNO GLI STESSI ARGOMENTI, PER CUI 𝑥 ∙ (𝑥 + 3) = 2 ∙ (2𝑥 + 3) → 𝑥 2 + 3𝑥 = 4𝑥 + 12 → PORTO TUTTO A SINISTRA 𝑥 2 + 3𝑥 − 4𝑥 − 12 = 0 → 𝑥 2 − 𝑥 − 12 = 0 → RISOLVO L’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO → 𝑥 = 1∓√1+48 2 → 𝑥= 1∓7 ACCETTABILE PER LE CONDIZIONI DI REALTA’) 2 → x = 4 E x = - 3 ( NON