Potenze e logaritmi

LA POTENZA.
n
a =a⋅a⋅a⋅.
..⋅a

Definizione:
∀ n∈ N
n volte
Proprietà:
1.
a 0 =1
2.
a−n =
3.
a n=
4.
a ⋅a =a
5.
a n n −k n−k
=a ⋅a =a
ak
n
1
1
=
−n
a
a
k
 a n  =a n⋅k
7.
a n⋅b n = a⋅b 
8.
an a
=
bn b
n


1
1
=
n
a
a
k
6.
−n
nk
N. B.
indicate
n
∀ n , k ∈ ℜ−{ 0 } , mentre le proprietà 9 e
10 valgono ∀ a∈ℜ− { 0 } e ∀ n , k ∈ N .
Ricordiamo che ℜ = insieme dei numeri
reali e N = {1,2 ,3 , .. . ,n ,. .. } = insieme dei
numeri naturali.
Facciamo notare, infine, che una forma del
tipo 0 0 è indeterminata.
n

k
n
9.
n
a =  ak
10.
a
−
k
n
=n
Le prime otto proprietà accanto
valgono
e
∀ a , b∈ ℜ−{ 0 }
1
 ak
IL LOGARITMO.
Definizione: Si dice logaritmo in base a (con a0 ed a≠1 ) di un numero positivo
x l’esponente da assegnare alla base a per ottenere il numero x stesso.
In simboli:
log a x :
a
log a x
log a x=b⇔ x=ab
Inoltre:
=x
N. B.
Il numero x è detto argomento del logaritmo.
Se la base a è sottintesa si intende a=e (numero di Nepero ) e si scrive: log x oppure ln x .
Il numero di Nepero è: e  2, 72.
Le proprietà seguenti sono valide per
a0
e
a≠1
,
b0
,
c0
, se non diversamente specificato.
Proprietà:
1.
log a blog a c=log a  b⋅c 
2.
log a b−log a c=log a
3.
log a  b k =k⋅log a b

b
c
con k  R -  k: k =  2n, con n  N
ossia: k non pari positivo, né pari negativo.
4.
5.
log a  b k =k⋅log a ∣b∣
con k   k: k =  2n, con n  N
ossia: k pari positivo o pari negativo e bR.
k
n k
k
log a b =log a b n = ⋅log a b

con kN, nN 1
 
n
6. I
log a a=1
7.
log a  a k =k
8.
log a
9.
log 1
log a 1=0


a
10.
6. II
1
=log 1 b=−log a b
b
a
1
=log a b
b
log a b=
log c b
log c a
(Cambiamento di base)
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