Matematica per la Finanza - prova scritta del 27 gennaio 2014 Tempo a disposizione 2h Esercizio 1 Enunciare il criterio della radice ed utilizzarlo per stabilire il carattere della seguente serie: +∞ X n=1 log n log(1 + n2 ) n Soluzione Esercizio 1 Si ha che √ log n 1 log n log n n ∼ → , an = = 2 2 log(1 + n ) log n 2 log n 2 per n → +∞. Dal criterio della radice segue che la serie converge. Esercizio 2 Calcolare i seguenti integrali: Z 1 Z0 1 x2 (1 − x)3 dx x2 e−x dx 0 Soluzione Esercizio 2 Z 1 Z 1 Z 1 2 2 3 2 3 x2 − 3x3 + 3x4 − x5 dx x (1 − 3x + 3x − x )dx = x (1 − x) dx = 0 0 0 1 x3 3 4 3 5 1 6 = − x + x − x 3 4 5 6 0 1 3 3 1 1 = − + − = 3 4 5 6 60 1 Z 1 Z 1 x2 e−x dx = −x2 e−x + 2 xe−x dx 0 0 0 1 Z 1 2 −x −x = −x e − 2xe + 2 e−x dx 0 0 1 5 2 −x −x −x = −x e − 2xe − 2e = −e−1 − 2e−1 − 2e−1 + 2 = 2 − e 0 1 Esercizio 3 Determinare al variare del paramero reale k il rango della seguente matrice:   2 0 −1 k −k  A= 3 k−1 0 1 Soluzione Esercizio 3 k −k 3 k det A = 2 det − det 0 1 k−1 0 = 2k − (−k 2 + k) = k 2 + k = k(k + 1) Ne segue che se k 6= 0 e k 6= −1 la matrice A ha rango 3. Se k = 0 la matrice diviene   2 0 −1  3 0 0 . −1 0 1 Osservo che la sottomatrice [ 23 −1 0 ] ha determinante −3; ne segue che se k = 0 la matrice A ha rango 2. Se k = −1 la matrice diviene   2 0 −1  3 −1 1  . −2 0 1 0 Osservo che la sottomatrice [ 23 −1 ] ha determinante −2; ne segue che se k = −1 la matrice A ha rango 2. Esercizio 4 Risolvere graficamente il seguente problema di P.L. :    max x1 + x2  x1 + 4x2 ≤ 4 5x1 + x2 ≤ 5    x1 , x2 ≥ 0 Soluzione Esercizio 4 Dal disegno della regione ammissibile e delle curve di livello della funzione 16 15 , 19 ). obiettivo, si vede che il punto di ottimo `e ( 19 Esercizio 5 Calcolare il valore attuale di una rendita immediata posticipata composta 2 da 10 rate di importo pari a 500 Euro, al tasso di valutazione annuo del 3%. Cosa cambierebbe se la rendita fosse anticipata? E se fosse differita di tre anni? Soluzione Esercizio 5 Se la rendita `e immediata posticipata il valore attuale `e dato da V = 500 · an,i = 500 · 1 − (1.03)−10 = 500 · 8.53 ' 4265 Euro. 0.03 Se la rendita fosse anticipata il valore attuale sarebbe dato da V = 4265 · (1.03) ' 4393 Euro. Se la rendita fosse differita di 3 anni il valore attuale sarebbe dato da V = 4265 · (1.03)−3 ' 3903 Euro. Esercizio 6 Scrivere un piano di ammortamento francese in 5 rate di un debito pari a 100000 Euro, ad un tasso passivo del 10%. Soluzione Esercizio 6 Nel piano di ammortamento francese la rata `e costante e nel nostro caso si trova risolvendo R · a5,0.1 = 100000. nel nostro caso abbiamo R= 100000 100000 = ' 26380 Euro. a5,0.1 3.79 Il piano diviene quindi Tempo 0 1 2 3 4 5 Rk 26380 26380 26380 26380 26380 Ck 16380 18018 19820 21802 23982 Ik 100000 10000 83620 8362 65602 6560 45782 4578 23980 2398 0,00 con una discrepanza di 2 Euro dovuta ai troncamenti. 3 Dk Esercizio 7 Calcolare la duration complessiva di un portafoglio composto da una rendita perpetua di rate pari a 1000 Euro annui e da uno ZCB decennale di valore nominale 10000 Euro, utilizzando un tasso di valutazione del 5% annuo. Soluzione Esercizio 7 La duration della rendita perpetua `e pari a Dperp = 1 + 0.05 = 21 anni. 0.05 La duration dello ZCB coincide con la sua maturity, che `e pari a 10 anni. Il valore attuale della rendita perpetua `e Vperp = 1000 = 20000 Euro, 0.05 mentre il valore attuale dell0 ZCB `e pari a VZCB = 10000 ' 6139 Euro 1.05−10 Ne segue che Dtot = 20000 6139 · 21 + · 10 ' 18.42 anni 26139 26139 Esercizio 8 Scrivere la formula per la espressione approssimata del premio al rischio. Utilizzarla per calcolare il premio al rischio di una lotteria con media µ = 1 e varianza σ 2 = 1, per un investitore con funzione di utilit`a u(x) = e−x . Soluzione Esercizio 8 1 u00 (µ) 2 R∼− 0 σ 2 u (µ) Nel nostro caso R∼− 1 1 e−1 1= −1 2 −e 2 Esercizio 9 Utilizzando la formula di Black-Scholes, calcolare il prezzo di una opzione call sapendo che il sottostante `e pari a 100, lo strike `e pari a 100, la volatilit`a annua `e del 20%, il tasso privo di rischio `e pari a 5% e la scadenza `e tra un anno. Soluzione Esercizio 9 Abbiamo C(S0 , K, T, σ, r) = S0 Φ(d1 ) − Ke−rT Φ(d2 ) 4 con log d1 = S0 K + r+ √ σ T 7 20 σ2 2 T 1 √ d2 = d1 − σ T 2 Nel nostro caso C = 100Φ − 100e 5 −0.05 Φ 3 20 ' 10.45.