政治学方法論 I - 一般化線形モデル - 神戸大学

一般化線形
R
一般化線形
政治学方法論 I
一般化線形
矢内勇生
神戸大学法学部/法学研究科
2014 年 12 月 24 日
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一般化線形
今日
R
一般化線形
内容
1 一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
一般化線形
(generalized linear models)
2
（
3 R
）回帰
回帰
一般化線形
glm()
応答変数
変数（三値以上）場合
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一般化線形
R
一般化線形
線形
▶
線形
：
E(Yi ) = µi = xTi β
Yi ∼ N(µi , σ 2 )
▶
xTi
▶
一般化線形
説明変数行列（計画行列, design matrix）X
：線形
第i行
拡張
1. 応答変数正規分布以外分布（離散型分布含
）従場合扱
2. 応答変数説明変数関係線形
場合扱
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一般化線形
R
線形
一般化線形
一般化線形
一般化線形
拡張
(generalized linear models: GLMs)
1. 応答変数正規分布以外分布従場合扱
▶ 正規分布
指数型分布族 → 指数型分布族拡張
2. 応答変数説明変数関係線形
▶ E(Y ) = µ
線形予測子 xTi β
i
i
結
g(µi ) = xTi β
▶
g
関数
場合
線形
扱
関数 g
or µi = g −1 (xTi β)
呼
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一般化線形
R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
指数型分布族
▶
指数型分布族：唯一母数 θ
（質量）関数次形表
確率変数 Y
確率密度
f (y|θ) = s(y)t(θ) exp[a(y)b(θ)]
= exp[a(y)b(θ) + c(θ) + d(y)]
既知関数
▶
a, b, s, t
▶
s(y) = exp[d(y)], t(θ) = exp[c(θ)]
▶
y
▶
a(y) = y
▶
b(θ)：自然母数 (natural parameter)
▶
注目
θ
対称
：正準形 (canonical form)
母数 θ 以外母数：撹乱母数 (nuisance parameter)
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一般化線形
R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
指数型分布族
▶
分布、二項分布
分布
▶
負
二項分布
▶
分布
▶
分布
分布
▶
分布
▶
分布
▶
▶
確率分布
正規分布
▶
▶
属
etc.
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一般化線形
R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
正規分布 (normal distribution)
確率密度関数：µ 母数、σ 2 撹乱母数
[
]
1
1
2
f (y|µ) = √
exp − 2 (y − µ)
2σ
2πσ 2
[
]
1
2 − 12
2
2
= exp[log(2πσ ) ] exp − 2 (y − 2yµ + µ )
2σ
[
]
2
µ
µ
1
y
2
= exp y 2 − 2 − log(2πσ ) − 2
σ
2σ
2
2σ
▶
正規分布
▶
a(y) = y → 正準形
▶
自然母数：b(µ) = µ/σ 2
▶
µ
1
2
c(µ) = − 2σ
2 − 2 log(2πσ )
▶
d(y) = −y/2σ 2
2
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R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
二項分布 (binomial distribution)
▶
1 回試行成功確率 π 、独立 n 回試行
成功
回数確率変数 Y
：Yi ∼ Bin(ni , πi )
( )
n y
f (y|π) =
π (1 − π)n−y
y
]
[ ( )
n y
= exp log
π (1 − π)n−y
y
[
( )]
n
= exp y{log π − log(1 − π)} + n log(1 − π) + log
y
▶
a(y) = y → 正準形
π
自然母数：b(π) = log π − log(1 − π) = log 1−π
：
c(π) = n log(1 − π)
( )
d(y) = log ny
▶
▶
▶
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一般化線形
R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
分布 (Poisson distribution)
▶
決
時間（
確率変数 Y
空間）内特定事象起
：Yi ∼ Poisson(θi )
回数
θy exp(−θ)
y!
= exp(y log θ − θ − log y!)
f (y|θ) =
▶
a(y) = y → 正準形
▶
自然母数：b(θ) = log θ
▶
c(θ) = −θ
▶
d(y) = − log y!
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R
一般化線形
指数型分布族 (exponential family of distribution)
二項分布
▶
▶
分布：Yi ∼ Poisson(θi )
共通点：
特定事象起
相違点：二項分布 Xi
上限
Yi
上限
：
▶
▶
▶
使
二項分布：Xi ∼ Bin(ni , πi )
▶
▶
分布
回数数
、
分布
Xi ：0 以上 ni 以下整数
Yi ：0 以上整数
→ 事象発生回数
独立試行回数 ni 決
二項分布、
分布
過分散 (overdispersion) 可能性
▶
▶
二項分布
過分散 →
二項分布 (beta-binomial)
分布過分散 → 負二項分布 (negative binomial)
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一般化線形
一般化線形
一般化線形
R
(generalized linear models)
一般化線形
定義
指数型分布族確率分布従確率変数 Y1 , . . . , Yn
1. 各 Yi 確率分布正準形母数 1 ：
f (yi |θi ) = exp[yi bi (θi ) + ci (θi ) + di (yi )]
2.
従
Yi 同確率分布（母数値異
→ Y1 , . . . , Yn 同時分布：
）
f (y1 , . . . , yn |θ1 , . . . , θn )
n
∏
=
exp[yi b(θi ) + c(θi ) + d(yi )]
i=1
= exp
[
n
∑
i=1
yi b(θi ) +
n
∑
i=1
c(θi ) +
n
∑
]
d(yi )
i=1
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R
一般化線形
一般化線形
(generalized linear models)
一般化線形
（通常
▶
目的：θi
k < n）
▶
µi
θi
）目的
→ β1 , . . . , βk
推定
関数、E(Yi ) = µi
推定（
、次関数 g
、
考
g(µi ) = xTi β
µi = g −1 (xTi β)
1. g
2.
xTi
3. β
単調関数（単調増加、単調減少、
定数関数）
1 行 k 列説明変数
k 行 1 列母数
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一般化線形
一般化線形
R
一般化線形
(generalized linear models)
一般化線形
構成要素
1. 同一確率分布（指数型分布族
Y1 , . . . , Yn
2. 母数
説明変数行列 X：
 T 
 
x1
β1
x11
 ..   ..
 .. 
β =  . , X =  .  =  .
従応答変数
β
βk
3. 単調
）
xTn
xn1
···
..
.
···

x1k
.. 
. 
xnk
関数 g ：
g(µi ) = xTi β
or
µi = g −1 (xTi β)
、µi = E(Yi )
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一般化線形
R
（
）回帰
潜在変数
▶
一般化線形
回帰
使
回帰定式化
応答変数 Yi
、連続型潜在変数 Zi 使
{
1 (zi > 0)
yi =
0 (zi < 0)
化
zi = xTi β + ϵi
▶
、ϵi
分布従
Pr(ϵi < x) = logit−1 (x),
▶
：
∀x
、
Pr(yi = 1) = Pr(zi > 0) = Pr(ϵi > −xTi β) = logit−1 (xTi β)
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一般化線形
R
（
）回帰
一般化線形
回帰
回帰
▶
応答変数 Yi
、連続型潜在変数 Zi 使
{
1 (zi > 0)
yi =
0 (zi < 0)
化
zi = xTi β + ϵi
▶
▶
、ϵi ∼ N(0, 1)
、
Pr(yi = 1) = Φ(xTi β)
▶
、Φ 標準正規分布累積分布関数 (cdf: cumulative
distribution function)
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一般化線形
R
（
）回帰
一般化線形
回帰
累積分布関数
1.00
Pr(ε<x)
0.75
CDF
−1
logit
0.50
N(0, 1)
2
N(0,1.6 )
0.25
0.00
-4
-2
0
2
4
x
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一般化線形
R
（
）回帰
一般化線形
回帰
違
▶
潜在変数 Zi
使
回帰
：
{
yi =
1
0
(zi > 0)
(zi < 0)
zi = xTi β + ϵi
▶
ϵi ∼ N(0, 1.62 )
推定結果
▶
回帰
一緒
（
▶
偏差
）回帰 ≈
回帰標準
1.6 倍
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一般化線形
R
（
σ
）回帰
推定
回帰
？
▶
潜在変数使
、σ 推定
▶
答
▶
以下
：
定式化
？
、
一般的
等
：
ϵi ∼ N(0, 1.62 )
zi = (10β1 ) + (10β2 )xi + ϵi ,
σ
σ
、ϵi ∼ N(0, σ 2 )
！
zi = β1 + β2 xi + ϵi ,
▶
一般化線形
ϵi ∼ N(0, 162 )
zi = (100β1 ) + (100β2 )xi + ϵi ,
ϵi ∼ N(0, 1602 )
固定
必要 → σ = 1：
撹乱変数）
（一般化線形
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一般化線形
一般化線形
R
glm()
glm()
▶
分析
以下
▶ 線形回帰
▶
回帰
▶
回帰
▶
二項分布
▶ 負
二項分布
▶ 応答変数
（後述）
glm()
（
分析
）回帰
▶
変数
場合：他
関数
使
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一般化線形
R
一般化線形
glm()
glm()
使
特定
1. 応答変数
；y
2. 線形予測子：Xβ
▶ 説明変数行列（計画行列）
：X
▶ 母数
：β
3.
関数：glm
link
4. 応答変数確率分布：glm
5. 撹乱母数：線形予測子、
、X 以外母数
決
family
決
関数、確率分布登場
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R
一般化線形
glm()
線形回帰
関数：恒等関数 (identity function)
▶
xTi β = g(µi ) = µi
▶
応答変数
確率分布：
Yi ∼ N(µi , σ 2 ),
E(Yi ) = µi
特定： family=gaussian(link="identity")
▶
family
▶
撹乱母数：σ 2
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一般化線形
R
一般化線形
glm()
回帰
関数：
関数 (logit function)
(
)
πi
T
xi β = g(πi ) = logit(πi ) = log
1 − πi
▶
▶
応答変数
確率分布：
Yi ∼ Bernoulli(πi ),
▶
family
E(Yi ) = πi
特定： family=binomial(link="logit")
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一般化線形
R
一般化線形
glm()
回帰
関数：
▶
関数 (probit function)
xTi β = g(πi ) = Φ−1 (πi )
▶
応答変数
確率分布：
Yi ∼ Bernoulli(πi ),
▶
family
E(Yi ) = πi
特定： family=binomial(link="probit")
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一般化線形
R
一般化線形
glm()
回帰
関数：対数関数 (logarithmic function)
▶
xTi β = g(θi ) = log θi
▶
応答変数
確率分布：
Yi ∼ Poisson(θi ),
▶
family
E(Yi ) = θi
特定： family=poisson(link="log")
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一般化線形
R
応答変数
変数（三値以上）
応答変数
▶
▶
場合
変数
応答変数
▶ 順序
▶
順序
順序尺度
回帰 (ordered logit)
回帰 (ordered probit)
応答変数名義尺度
▶ 多項（順序
）
unordered logit)
▶
一般化線形
多項（順序
）
unordered probit)
回帰 (multinomial or
回帰 (multinomial or
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R
応答変数
変数（三値以上）
一般化線形
場合
分析法
R
▶
順序
1. MASS
・
2. arm
多項
関数
分析可能
関数
分析可能
bayespolr()
3. ordinal
▶
以下
polr()
clm()
・
以下
▶
1. mlogit
2. VGAM
▶
mlogit()
multinomial()
：MNP
mnp()
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