Hoofdstuk 4: Lijn- en oppervlakte

Hoofdstuk 4: Lijn- en oppervlakteintegralen
1. Bepaal volgende lijnintegralen over de gegeven parametrisatie ~r van de kromme K~r.
(a) f : R2 ! R : (x ; y ) 7! x + y ; ~r : [0; 1] ! R2 : t 7! (t; 1 t )
2
(b) f : R2 ! R : (x ; y ) 7! y e x ; ~r : [ 1; 2] ! R2 : t 7! (4t; 3t )
(c) f : R2 ! R : (x ; y ) 7! x y + 3; ~r : [0; 2 ] ! R2 : t 7! (cos t; sin t )
x2
(d) f : R2 ! R : (x ; y ) 7! 4=3 ; ~r : [1; 2] ! R2 : t 7! (t 2 ; t 3 )
y
2.
py
1
; ~
r :
; 1 ! R2 : t 7! (t 3 ; t 4 )
x
2
3
(f) f : R ! R : (x ; y ; z ) 7! x y + z 2; ~r : [0; 1] ! R3 : t 7! (t; 1 t; 1)
(g) f : R3 ! R : (x ; y ; z ) 7! x y + y + z ; ~r : [0; 1] ! R3 : t 7! (2t; t; 2 2t )
p
(h) f : R3 ! R : (x ; y ; z ) 7! x 2 + y 2 ; ~r : [ 2; 2 ] ! R3 : t 7! (4 cos t; 4 sin t; 3t )
p
3 ; ~r : [1; 1[! R3 : t 7! (t; t; t )
3
(i) f : R ! R : (x ; y ; z ) 7! 2
2
x + y + z2
x +y +z
; ~
r : [a; b] ! R3 : t 7! (t; t; t )
(j) f : R3 ! R : (x ; y ; z ) 7! 2
x + y2 + z2
p
(k) f : R3 ! R : (x ; y ; z ) 7!
x 2 + z 2; ~
r : [0; 2 ] ! R3 : t 7! (0; a cos t; a sin t )
p
Bepaal de lijnintegraal van de functie f : R3 ! R : (x ; y ; z ) 7! x + y z 2 over het pad
van (0; 0; 0) naar (1; 1; 1) dat bestaat uit de opeenvolging van krommen met volgende
(e) f : R2 ! R : (x ; y ) 7!
parametrisaties
~
r1
: [0; 1] ! R3 : t 7! (t; t 2; 0);
: [0; 1] ! R3 : t 7! (1; 1; t ):
: R3 ! R : (x ; y ; z ) 7! x + py z 2 over het pad
~
r2
3. Bepaal de lijnintegraal van de functie f
van (0; 0; 0) naar (1; 1; 1) dat bestaat uit de opeenvolging van krommen met volgende
parametrisaties
~
r1 : [0; 1] ! R3 : t 7! (0; 0; t ); ~
r2 : [0; 1] ! R2 : t 7! (0; t; 1); ~
r3 : [0; 1] ! R3 : t 7! (t; 1; 1):
1
4. Bepaal de lijnintegraal van de functie f
kromme K .
5. Bepaal de lijnintegraal van de functie f
kromme K .
: R2 ! R : (x ; y ) 7! (x + py ) over de gegeven
: R2 ! R : (x ; y ) 7! x 2 + y12 + 1 over de gegeven
pp
6. Beschouw de functie f (x ; y ) = 3 x 1 + 4y en het pad dat gevormd wordt door het
lijnstuk dat ( 1; 0) verbindt met (0; 0), gevolgd door de parabool y = x 2 (x 0). Toon
dat er precies één punt p~ op deze parabool bestaat zodat de lijnintegraal van f over het
beschreven pad met eindpunt p~ gelijk is aan 0.
p
7. Beschouw de functie f (x ; y ) = x y en het pad dat gevormd wordt door het lijnstuk dat
( 3; 3) verbindt met (0; 0), gevolgd door de eerste boog van de cycloïde met parametervoorstelling ~r : [0; 2 ] ! R2 : t 7! (t sin t; 1 cos t ). Toon dat er precies één punt p~ op
deze cycloïde bestaat zodat de lijnintegraal van f over het beschreven pad met eindpunt
p
~ gelijk is aan 0.
8. Beschouw de functie f (x ; y ) = x y en het pad dat vanuit (2; 0) de ellips x 2 =4 + y 2 = 1 in
tegenwijzerzin doorloopt. Toon dat voor geen enkel punt p~ op de ellips, de lijnintegraal van
2
over het beschreven pad met eindpunt p~ negatief is. Bepaal de minimale en maximale
waarde van de lijnintegraal in functie van het eindpunt p~, als p~ alle punten van de ellips
doorloopt.
f
9. Beschouw de functie f (x ; y ) = y =x 4 en het pad dat vanuit (2; 0) in het eerste kwadrant
de hyperbool x 2 =4 y 2 =9 = 1 doorloopt. Toon dat voor geen enkel punt p~ gelegen in
het eerste kwadrant en op de hyperbool, de lijnintegraal van f over het beschreven pad
negatief is. Toon dat de lijnintegraal stijgend is als functie van p~, als p~ alle punten van de
hyperbool doorloopt; bepaal het supremum.
10. Bepaal de p
massapvan een kabel die loopt langs de kromme met parametrisatie ~r : [0; 1] !
3
R : t 7! ( 2t; 2t; 4 t 2) met massadichtheid = 3t
11. Bepaal de massa van een kabel die loopt langs de kromme met parametrisatie ~r : [0; 1] !
R3 : t 7! (0; t 2 1; 2t ) met massadichtheid (t ) = 3 t .
2
12. Bepaal het massacentrum van een kabel die loopt langs de kromme metp parametrisatie
~
r : [ 1; 1] ! R3 : t 7! (0; t 2 1; 2t ) met massadichtheid (x ; y ; z ) = 15 y + 2
13. Bepaal het massacentrum
van een
kabel die loopt langs de kromme met parametrisatie
p
3
2
~
r : [0; 2] ! R3 : t 7! t; 2t; t 2 met massadichtheid = 3 5 + t .
3
14. Bepaal de lijnintegraal van de gegeven vectorvelden over de gegeven krommen die steeds
een pad parametriseren van (0; 0; 0) naar (1; 1; 1).
i. ~r1 : [0; 1] ! R3 : t
7! (t; t; t )
ii. ~r2 : [0; 1] ! R3 : t
7! (t; t 2; t 4)
iii. Het pad bestaande uit het lijnstuk van (0; 0; 0) naar (1; 1; 0) en het lijnstuk van (1; 1; 0)
naar (1; 1; 1).
= 3y ~e1 + 2x ~e2 + 4z ~e3
p e 2x ~e + py ~e
~ = z~
F
1
2
3
2
~ = (3x
F
3x )~e1 + 3z ~e2 + ~e3
~ = (y + z )~
F
e1 + (z + x )~
e2 + (x + y )~
e3
1 ~e
~=
F
2
2
x +1
~ = xy~
F
e1 + y z ~
e2 + x z ~
e3
(a) F~
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
15. Bepaal de lijnintegraal van volgende vectorvelden over de kromme met gegeven parametrisatie
~
r.
(a) F~
= x y ~e1 + y ~e2
yz~
e3 ;
( ) = t~e1 + t 2~e2 + t~e3; 0 t 1
~
r t
3
= 2y ~e1 + 3x ~e2 + (x + y )~e3; ~r(t ) = (cos t )~e1 + (sin t )~e2 + 6t ~e3; 0 t 2
(c) F~ = z ~e1 + x ~e2 + y ~e3 ; ~r(t ) = (sin t )~e1 + (cos t )~e2 + t~e3 ; 0 t 2
t
(d) F~ = 6z ~e1 + y 2 ~e2 + 12x ~e3 ; ~r(t ) = (sin t )~e1 + (cos t )~e2 + ~e3 ; 0 t 2
6
2
2
(e) F~ = x ~e1 + x y ~e2 + ~e3 ; ~r(t ) = t~e1 + t ~e2 + ~e3 ; 0 t 1
(f) F~ = cos z ~e1 + e x ~e2 + e y ~e3 ; ~r(t ) = 1~e1 + t~e2 + e t ~e3 ; 0 t 1
Bepaal de arbeid geleverd door de kracht F~ = x y ~e1 + (y x )~e2 langs het lijnstuk van
(1; 1) naar (2; 3)
Bepaal de arbeid geleverd door de kracht F~ die de gradiënt is van de functie f (x ; y ) =
(x + y )2 in tegenwijzerszin rond de cirkel x 2 + y 2 = 4 van (0; 2) naar zichzelf.
(b) F~
16.
17.
18. Beschouw het pad met parametrisatie
7
3
3
3
~
r : 0;
2 ! R : t 7! (cos ; sin ; ):
Bepaal de integraal van het vectorveld F~
pad.
= sin z ~e1 + cos z ~e2 (x y )
1
3
~
e3
over het gegeven
19. Beschouw het vectorveld F~ = y z ~e1 + x z ~e2 + x y ~e3 en de kromme met parametrisatie
~
r : [ 5; 10] ! R3 : t 7! (t; t 2 ; t 3 ): Bepaal de lijnintegraal over de gegeven kromme en
over een kromme met tegengestelde oriëntatie.
20. Bepaal de circulatie en de ux van de volgende velden
= x ~e1 + y ~e2
~ = y~
F
e1 + x ~
e2
= x 2~e1 + y 2~e2
~ = y 2~
F
e1 + x 2 ~
e2
(a) F~
(c) F~
(b)
(d)
i. langs de cirkel met parametrisatie ~r1 (t ) = (a cos t )~e1 +(a sin t )~e2 , 0 t
door de rechte met parametrisatie ~r2 (t ) = t~e1 , a t a
ii. langs de ellips met parametrisatie ~r(t ) = (cos t )~e1 + (4 sin t )~e2 ,
gevolgd
0 t 2
21. Bepaal de ux van het veld F~ = (x + y )~e1 (x 2 + y 2 )~e2 langs de driehoek met toppen
(1; 0), (0; 1) en ( 1; 0) van (1; 0) naar ( 1; 0).
22. Gebruik de stelling van Green om de circulatie in tegenwijzerszin en de ux van het vectorveld F~ te vinden over de gegeven kromme C .
= (x 2 + 4y )~e1 + (x + y 2)~e2
~ = (y 2 x 2 )~
F
e1 + (x 2 + y 2 )~
e2
= (x y + y 2)~e1 + (x
~ = (x + 3y )~
F
e1 + (2x
(a) F~
(c) F~
(b)
(d)
4
)
y )~
e2
y ~
e2
(e) F~
= x 3y 2~e1 + 21 x 4y ~e2
(f) F~
= 1 +x y 2 ~e1 + Bgtan(y )~e2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
23. Gebruik de stelling van Green om de lijnintegralen te bepalen over de gegeven kromme.
(a) F~ = y 2 ~e1 + x 2 ~e2 ; over de driehoek begrensd door x = 0, x + y = 1, y = 0.
(b)
(c)
(d)
= 3y ~e1 + 2x ~e2; over de grens van het gebied 0 x , 0 y sin x .
~ = (6y + x )~
F
e1 + (y + 2x )~
e2 ; over de cirkel (x 2)2 + (y 3)2 = 4.
~ = (2x + y 2 )~
F
e1 + (2x y + 3y )~
e2 ; over een willekeurige simpele kromme in het vlak
~
F
waarvoor de stelling van Green geldt.
24. Gebruik de stelling van Green om de oppervlakte te bepalen van het gebied dat omsloten
wordt door volgende krommen.
(a) ~r(t ) = (a cos t )~e1 + (a sin t )~e2 ;
(b) ~r(t ) = (a cos t )~e1 + (b sin t )~e2 ;
(c) ~r(t ) = (cos3 t )~e1 + (sin3 t )~e2 ;
0 t 2
0 t 2
0 t 2
25. Welke van de volgende velden zijn conservatief? Geef een potentiaalfunctie f voor het
veld F~ .
5
(d) F~ = y ~e1 + x ~e2
= y z ~e1 + x z ~e2 + x y ~e3
~ = y sin z ~
(e) F~ = (z + y )~e1 + z ~e2 + (y + x )~e3
F
e1 + x sin z ~
e2 + x y cos z ~
e3
~ = y~
(f) F~ = (e x cos y )~e1 (e x sin y )~e2 + z ~e3
F
e1 + (x + z )~
e2 y ~
e3
~ = e y +2z ~
F
e1 + (x e y +2z )~
e2 + (2x e y +2z )~
e3
y
z
2
2
~ = (ln x + sec (x + y ))~
F
e1 + sec (x + y ) + 2
~
e3
~
e2 + 2
2
y +z
y + z2
(a) F~
(b)
(c)
(g)
(h)
26. Bepaal de lijnintegraal van het gegeven vectorveld van het punt A naar het punt B met
behulp van een potentiaalfunctie.
(a)
1
1e ,
~ = 2 cos y ~
F
e1 +
2
x sin y ~
e2 + ~
3
y
z
z2
~
e2 + (2z ln y )~
e3 ,
(b) F~ = 3x 2 ~e1 +
y
(c)
= (2x ln y y z )~e1 +
1
1
x
~= ~
F
e +
~
e
xz
y
y
~
e2
(1; 1; 1),
xy~
e3 ,
B
A
B
1; 2 ; 2
(1; 2; 3)
(1; 2; 1),
B
(2; 1; 1)
(1; 1; 1), B (2; 2; 2)
2y
2z
2x
~
e1 + 2
~
e2 + 2
~
e3 , A( 1; 1; 1),
(e) F~ = 2
2
2
2
2
x +y +z
x +y +z
x + y2 + z2
Bepaal de lijnintegraal van het vectorveld F~ = y ~e1 + x ~e2 over de kromme
(d)
27.
2
x
~
F
A
(0; 2; 1),
A
1
y
y2
z
2
z2
~
e3 ,
4
t
( )= 4
~
r t
A
; sin3
t ;0 ;t
2
B
(2; 2; 2)
2 [0; 1]:
28. Veronderstel dat rf (x ; y ; z ) = 2x y z e x ~e1 + z e x ~e2 + y e x ~e3 en dat f (0; 0; 0) = 5. Bepaal
dan f (1; 1; 2).
2
2
2
29. Bepaal de eenheidsnormaalvector aan het oppervlak
= cos v sin u;
met u 2 [0; ], v 2 [0; 2 ].
x
y
= sin v sin u;
z
= cos u;
30. Bepaal de eenheidsnormaalvector aan het oppervlak
= 3 cos sin ;
met 2 [0; 2 ], 2 [0; ].
x
y
= 2 sin sin ;
;z
= cos ;
31. Gegeven een halve bol met straal 2 p
met als middelpunt de oorsprong, bepaal de vergelijking
van het raakvlak in het punt (1; 1; 2) door de sfeer te beschouwen als
6
(; ) = (2 cos sin ; 2 sin sin ; 2 cos );
een niveaukromme van f (x ; y ; z ) = x 2 + y 2 + z 2 ;
p
de graek van g (x ; y ) = 4 x 2 y 2 .
(a) een oppervlak geparametriseerd door
(b)
(c)
32. Bepaal de oppervlakte van de eenheidsbol S die we parametriseren door
~
r
: [0; 2] [0; ] ! S R3 : (; ) 7! (cos sin ; sin sin ; cos ):
33. Bepaal de oppervlakte van de torus T met straal R > 0 die we parametriseren door
~
r
: [0; 2] [0; 2] ! T R3 : (; ) 7! ((R + cos ) cos ; (R + cos ) sin ; sin ):
34. Bepaal de oppervlakte van het oppervlak met parametrisatie
~
r
35.
36.
: [0; 1] [0; 2] ! R3 : (r; ) 7! (r cos ; 2r cos ; ):
2
Bepaal de oppervlakte van de graek van de functie f (x ; y ) =
3 x + y met als domein
[0; 1] [0; 1]
Zij S het oppervlak bepaald
door z = x 2 + y waar D het gebied is bepaald door 0 x 1,
ZZ
1 y 1. Bepaal x dS.
3
2
3
2
S
37. Bepaal
ZZ
38. Bepaal
ZZ
S
S
z 2 dS
x dS
waar S de eenheidsbol x 2 + y 2 + z 2 = 1 voorstelt.
waar S de driehoek is met toppen
(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1).
39. Beschouw de helicoïde S = ~r(D) waar D = [0; 1] [0; 2 ] met parametrisatie
: [0; 1] [0; 2] ! S R3 : (r; ) 7! (r cos ; r sin ; ):
p
dat de massadichtheid gelijk is aan m(x ; y ; z ) = 2 x 2 + y 2 .
~
r
Veronderstel
totale massa van het oppervlak.
Bepaal de
40. Bepaal de oppervlakteintegraal van het vectorveld F~ (x ; y ; z ) = x ~e1 + y ~e2 + z ~e3 over het
gebied bepaald door de intersectie van het vlak z = 12 en de cirkel x 2 + y 2 25.
41. Bepaal de oppervlakteintegraal van het vectorveld F~ (x ; y ; z ) = (x +3y 5 )~e1 +(y +10x z )~e2 +
(z x y )~e3 over het gebied bepaald door x 2 + y 2 + z 2 1, z 0.
42. Zij S het gesloten oppervlak dat bestaat uit de hemisfeer x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 en de
~ het elektrische veld bepaald door E
~ (x ; y ; z ) = 2x ~
x 2 + y 2 1, z = 0. Zij E
e1 +2y ~
e2 +2z ~
e3 .
Bepaal de elektrische ux over het oppervlak S .
7
(r F~ ) dS waar S het oppervlak is bepaald door x 2 + y 2 + 3z 2 = 1, z 0
S
en F~ (x ; y ; z ) = y ~e1 x ~e2 + z x 3 y 2 ~e3 .
Zij F~ = y e z ~e1 + x e z ~e2 + x y e z ~e3 . Toon dat de lijnintegraal van F~ rond een geöriënteerde
43. Bepaal
44.
ZZ
simpele gesloten kromme C die de grens is van een gebied S gelijk is aan 0.
45. Gebruik de stelling van Stokes om volgende lijnintegralen te bepalen
(a)
Z
C
x 2 dx
+ 2x dy + z 2 dz ; met C de ellips 4x 2 + y 2 = 4 in het x y -vlak die in tegenwij-
zerszin doorlopen wordt.
Z
(b)
2y dx + 3x dy z 2 dz ; met C de cirkel x 2 + y 2 = 9 in het x y -vlak die in tegenwijC
zerszin doorlopen wordt.
Z
y dx + x z dy + x 2 dz ; met C de grens van de driehoek x + y + z
(c)
C
= 1 in het eerste
octant dat in tegenwijzerszin doorlopen wordt.
Z
y 2 + z 2 dx + x 2 + y 2 dy + x 2 + y 2 dz ; met C het vierkant begrensd door de rechten
(d)
= 1, y = 1 in het x y -vlak dat in tegenwijzerszin doorlopen wordt.
(e)
y 3 dx + x 3 dy z 3 dz ; waar C de intersectiekromme is van de cilinder x 2 + y 2 = 1
C
en het vlak x + y + z = 1 met een oriëntatie in tegenwijzerszin.
Z
(f)
x 2 y 3 dx + dy + z dz ; waar C de intersectiekromme is van de cilinder x 2 + y 2 = 4
C
en de hemisfeer x 2 + y 2 + z 2 = 16, z 0 met een oriëntatie in tegenwijzerszin.
Beschouw het vectorveld F~ = (sin x y )~e1 + e x ~e2 y z ~e3 en de ellipsoïde S met vergelijking
x 2 + y 2 + 2z 2 = 10. Bepaal
ZZ
(r F~ ) dS:
x
C
Z
46.
S
47. Beschouw het vectorveld F~ = y ~e1
x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0. Bepaal
x~
e2
ZZ
S
48. Beschouw het vectorveld F~
x 2 + y 2 + z 2 = 1. Bepaal
+ z x 3y 2~e3 en het oppervlak S met vergelijking
(r F~ ) n~dA:
= 2x ~e1 + y 2~e2 + z 2~e3 en de eenheidsbol S met vergelijking
ZZ
S
~
F
dS:
49. Gebruik de stelling van Gauss om de uitwaartse ux van het vectorveld F~ te bepalen over
de rand van het gebied x 2 + y 2 + z 2 1.
8
(a) F~
= x ~e1 + ~e2 + ~e3
(b) F~
= x 3~e1 + y 3~e2 + z 3~e3
50. Bepaal de uitwaartse ux van het vectorveld F~ over de rand van de eenheidskubus in het
eerste octant.
= x ~e1 + y ~e2 + z ~e3
~ =~
F
e1 + ~
e2 + ~
e3
~ = x 2~
F
e1 + x 2 ~
e2 + z 2 ~
e3
(a) F~
(b)
(c)
51. Bepaal de uitwaartse ux van het vectorveld F~
gegeven gebieden.
(a) x 2 + y 2 z
(b) x 2 + y 2 z
(c)
1
1 en x 0
x 2 + y 2 z 1 en x 0
9
= y ~e1 + z ~e2 + x z ~e3 over de rand van de

Download Report