Quaternionen, hoe kom je eraan en

Quaternionen-lesmateriaal
1
Quaternionen, hoe kom je eraan en
wat moet je ermee. (lesmateriaal-experimentele fase)
Sir William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Bert Boon
([email protected])
TWEEDE FASE-CONGRES NOORDHOFF
26 NOVEMBER 2014
Quaternionen-lesmateriaal
2
Complexe getallen
1
a
b
Stel dat je alleen de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10 tot je beschikking hebt. Dan kun
je 4 + 3 uitrekenen, maar 4  3 lukt niet. En 2x + 3 = 7 kun je oplossen, maar 2x + 3 =8
niet.
Welke van de volgende vergelijkingen kun je niet oplossen?
x+4=9
c
3x – 2 = 5
e
x2 – 5 = 1
2
x+7=3
d
x –5=4
f
x2 + 2 = 1
Getalsoorten
Om x  7  3 op te kunnen lossen, zijn de negatieve getallen ingevoerd. Om 3x  2  5 op te
lossen heb je gebroken getallen nodig. En x 2  5  1 kun je pas oplossen als je ook wortels
hebt.
Om x 2  1 op te kunnen lossen moet je je getallenverzameling opnieuw uitbreiden.
2
De oplossingen van x 2  1 noem je i en –i. Dus i = –1.
Getallen van de vorm a + bi, waarin a en b reële getallen zijn, heten complexe getallen.
Een complex getal wordt vaak aangegeven met een Griekse letter:   a  bi . a heet het
reële deel en b het imaginaire deel van α.
Voor een complexe variabele schrijf je z = x + iy.
De verzameling van de complexe getallen wordt aangegeven met het symbool .
Je rekent met complexe getallen net zoals met reële getallen.
Voorbeelden
Als α = 2 + 5i en β = 3 + 4i, dan is
 optellen
    (2  5i)  (3  4i)  5  9i
 aftrekken
    (2  5i)  (3  4i)  1 i
 vermenigvuldigen
    (2  5i)(3  4i)  6  8i 15i  20i2
 6  23i  20 1
 14  23i
2a Laat zien dat i4 =1 en i5 = i.
b Bereken i2015 en i2016.
3
a
b
c
d
Bereken (schrijf het antwoord in de vorm a + bi).
(3 + 4i) + (4 – 3i)
e
(6 – i) – (7 – i)
f
(3 + i)(3 + 2i)
g
(3 – 4i)(3 + 4i)
h
(7 + 4i)(5 –2i)
(2 + 3i)2
i(2 + i) + (3 – i)(1 + 2i)
(1– i)4 = ((1 – i)2)2
Quaternionen-lesmateriaal
3
Complexe getallen kun je opvatten als punten in
het complexe vlak. De horizontale as heet de
reële as. De verticale as heet de imaginaire as.
Het getal 4+ 3i staat op de plek van het punt
(4, 3) en het getal –4 – 2i op de plek van (–4, –2).
De absolute waarde of norm van een complex
getal α = a + bi, notatie |α| is de afstand van α tot
0, dus | 4 +3i |= 42 +32 = 5 .
De geconjugeerde van α = a + bi is α = a – bi.
In het complexe vlak krijgen de optelling en de
vermenigvuldiging een meetkundige betekenis.
Optellen komt neer op het optellen van vectoren.
In de figuur zie je de optelling
(4 + 3i) + (–3 + 2i) = 1 + 5i
4
a
b
Teken met behulp van de vectoroptelling zowel    als       ( ) .
α = 1+ i en β = 1 – i
α = –5 – 2i en β = 4i
5
a
Bereken.
|6 + 8i|
6
a
Geef de geconjugeerde van:
1+i
b 6 – 3i
7
a
Gegeven is α = a + bi.
Toon aan dat αα | α |2 .
α
1
1, dus
Toon aan dat α
2
α
|α|
b
8
a
b
c
b
|7 – 24i|
c
c
–67
|–6i|
d
–32i
α
.
| α |2
Toon aan dat voor α = a + bi en β = c + di geldt:
   
    
|  | = |  | ∙ |  |
9a Teken in het complexe vlak het getal α = 3 + i en β = i · α
b Toon aan dat β het beeld is van α bij een draaiing van 90 om 0.
c Teken een willekeurig getal α in het complexe vlak en toon met behulp van congruentie
aan dat β = i · α het beeld is van α bij een rotatie van 90 om 0.
Quaternionen-lesmateriaal
Vectormeetkunde in
4
3
De cosinusregel
10 Gegeven is ABC met AB = 8, AC = 6 en A 60 .
CD is de hoogtelijn op zijde AB.
Bereken achtereenvolgens AD, CD en BC exact.
11 Gegeven is ABC met AB = c, AC = b en A α .
AD is de hoogtelijn op zijde AB.
Stel AD = p en CD = h.
a Druk h2 uit in b en p.
b Druk BD uit in c en p.
c Toon aan dat a2 b2 c2 2 pc b2 c2 2bc cos α .
Het inproduct
De lengte van de vector a
a1
a2 , notatie | a | , is a12
a3
Het inproduct van de vectoren a
a1
a2 en b
a3
a22
a32 .
b1
b2 , notatie
a b , is a1b1
a2b2
a3b3
b3
12 In de figuur zie je de vectoren a , b en b a
Volgens de cosinusregel geldt in de driehoek:
| b a |2 | b |2 | a |2 2 | a || b | cos (a, b)
Daaruit volgt:
2 | a || b | cos (a, b) | b |2 | a |2 | b a |2
Werk uitdrukking rechts van het = - teken uit in
kentallen en toon zo aan dat a b | a || b | cos (a, b) .
a
b a
b
13
a
b
c
d
Toon aan dat voor a 0 en b 0 geldt:
Als a b , dan is a b 0 .
Als a b 0 , dan is a b .
Als a en b dezelfde richting hebben, dan is a b | a || b | .
Als a en b tegengestelde richtingen hebben, dan is a b
| a || b | .
Quaternionen-lesmateriaal
5
Het uitproduct
a1
a2 en b
a3
Het uitproduct van a
b1
b2 , notatie
a
b3
 a2b3  a3b2 


b , is de vector  a3b1  a1b3 


a b a b 
2 1 
 1 2
14 Toon met behulp van het inproduct aan dat voor a 0 en b 0 geldt
a
a b a en a b b
b Als a en b dezelfde of tegengestelde richting hebben, dus als b λa , dan is a b
c
b a
a b
15 Bereken.
 2  4
   
a  4   1 
5 3
   
 4  1 
   
 2 4
5  3
   
b
c
1   4 
   
 4 2
3  5
   
16 In deze opdracht toon je aan dat a  b  a b sin (a, b) .
2
 
 a b
2
2
2
a
Toon aan dat a  b  a  b  a  b door alles in kentallen uit te schrijven.
b
Toon aan dat a  b
c
Gevolg: als a
2
2
2

2
2
a  b sin 2 (a, b) .
b , dan is | a b |
| a || b | . Toon dat aan.
0.
Quaternionen-lesmateriaal
6
Quaternionen
De quaternionen zijn ontdekt door de
Ierse wiskundige William Rowan
Hamilton (1805 – 1865). Als man van de
analytische meetkunde boeide het hem
dat je een rotatie in het platte vlak kunt
zien als een vermenigvuldiging met een
complex getal. Van dat moment af zocht
hij naar soortgelijke getallen waarmee je
een rotatie om een as in de ruimte zou
kunnen beschrijven.
Dat leidde uiteindelijk tot zijn vondst van
de quaternionen op 16 oktober 1843.
Een quaternion is een getal van de vorm q  a0  a1i  a2 j  a3k
2
2
2
met i = j = k = ijk = – 1 en met a0 , a1 , a2 en a3 reële getallen.
1.
a0 heet het reële deel en a1i  a2 j  a3k heet het imaginaire deel
2. De geconjugeerde van q  a0  a1i  a2 j  a3k is
3. De norm van q is:
q  a0  a1i  a2 j  a3k
| q |  a02  a12  a22  a32 .
Je rekent met quaternionen net als met reële getallen.
17 Gegeven zijn de quaternionen q1 = 2 – j + k en q2 = 1 –2i – k,
a Bereken q1  q2 en q1  q2 .
b
Bereken | q1 | , | q2 | , | q1  q2 | en | q1  q2 |
18 Als je twee quaternionen vermenigvuldigt, kun je de producten ij, ik, ji, jk, ki en kj
tegenkomen. In de volgende opdrachten bereken je die producten.
a Je kunt i · ijk op twee manieren uitrekenen: i · ijk = i2 · jk en : i · ijk = i · –1
Laat zien dat daaruit volgt: jk = i.
b Vul in ji = j · jk = …
c Bereken ijk · k op twee manieren. Laat zien dat ij = k.
In de vorige opdracht heb je gevonden dat ij = k en ji = –k.
Dat betekent dat in het algemeen ook q1q2 niet gelijk zal zijn aan q2 q1 .
Met andere woorden: je mag als je quaternionen vermenigvuldigt, de factoren niet zomaar
verwisselen. Net als bij aftrekken en delen van reële getallen is de volgorde van belang!
19a Vul in: ik = i · ij = ...
b Vul in: ki = –ji · i = ….
c Toon aan dat kj = –i.
Quaternionen-lesmateriaal
7
Voor de onderlinge producten van i, j en k geldt
ij = k, jk = i en ki = j
ji = –k, kj = -i en ik = -j
Ga je in de driehoek linksom, dan is het product van twee
opeenvolgende imaginaire getallen gelijk aan het derde getal;
ga je rechtsom, dan komt er een –-teken voor.
Voorbeeld
Als q1 = 2 – j + k en q2 = 1 –2i – k dan is
q1q2  2q2  jq2  kq2
 2  4i  2k  j  2 ji  jk  k  2ki  k 2
=
 2  4i  2k  j  2k  i  k  2 j  1
 3  3i  3j  3k
20
a
b
c
Neem de quaternionen uit het voorbeeld en bereken:
d
q1q2 , q1 q2 en q2 q1
q2q1
| q1 | , | q2 | , | q1q2 | en | q2 q1 |
q1q1 en q1q1
21 Bereken (1 + i + j + k)2 en (i + j + k)2.
Algemeen geldt: als q1  a0  a1i  a2 j  a3k
en q2  b0  b1i  b2 j  b3k , dan is
q1q2  (a0b0  a1b1  a2b2  a3b3 )  (a0b1  a1b0  a2b3  a3b2 )i 
(a0b2  a2b0  a3b1  a1b3 ) j  (a0b3  a3b0  a1b2  a2b1 )k
Stellingen
1
q
q
qq

, dus 1  1 22
2
q |q|
q2 | q2 |
1. | q1q2 |  | q1 || q2 |
4.
2. qq  qq  | q |2
3. q1q2 q2 q1
5. q1 (q2  q3 )  q1q2  q1q3 en
(q1  q2 )q3  q1q3  q2 q3
22 Neem de quaternionen uit het voorbeeld en bereken
q1
.
q2
Quaternionen-lesmateriaal
8
3
Rotaties in
Hamilton kwam op het idee een quaternion op te vatten als de som
van een scalar en een vector:
q  a   , waarin   a1i  a2 j  a3k .
i, j en k zijn dan de eenheden langs een (imaginair)
driedimensionaal orthogonaal (= rechthoekig) assenstelsel en
a1
α correspondeert dan met een vector a2 in dit assenstelsel.
a3
23 De rekenregels voor deze vectoren zijn af te leiden uit de rekenregels voor de
quaternionen.
Gegeven:   a1i  a2 j  a3k en   b1i  b2 j  b3k . Ga na, dat
a
  
b
|  | a12  a2 2  a32
c
  (a1b1  a2b2  a3b3 )  (a2b3  a3b2 )i  (a3b1  a1b3 ) j  (a1b2  a2b1 )k
        (Let op: drie verschillende producten!)
24 Uit de vorige opgave weet je , dat   
a Laat zien dat daaruit volgt:    2 .
b Je weet ook   |  |2 .
ga na dat  2   |  |2 .
Als || = 1, dan is 2 = –1
Rotatie in  om een lijn l
3
l is een lijn door de oorsprong met richtingsvector , || = 1.
Vector  wordt geroteerd om l over een hoek .
Is B het eindpunt van  , dan komt de rotatie meetkundig op
het volgende neer:
α ).
je brengt een vlak V aan door B loodrecht l (dus V
V snijdt l in S en je roteert vervolgens in V punt B om S over
een hoek .
Beeld is het punt B , eindpunt van de vector   .
Ons doel is een verband te vinden tussen   en  .
Quaternionen-lesmateriaal
9
25 Je kunt  schrijven als som van twee vectoren:
  OB  OS  SB  1  2 , met 1 //  en 2  .
Welke van deze twee vectoren vector blijft bij een rotatie op zijn plaats en welke roteert?
26 Bekijk de rotatie in vlak V. Op de rotatiecirkel ligt
een punt C zo, dat SC SB en SC =SB.
a Waarom is    2 een richtingsvector van de lijn
door S en C?
b Controleer dat |    2 |  |  2 | .
Gevolg:
SC      2 .
We kiezen C zo, dat
SC     2
27a Waarom geldt:    2   2 ?
b
Laat zien dat SB  cos   SB  sin SC .
c
d
Laat zien dat SB  2 cos   2 sin  .
Laat zien dat    1   2 cos    2 sin  .
28 Je gaat 1 en 2 uitdrukken in  en .
Daartoe bekijk je de producten  en  met   1   2 .
Nu geldt volgens stelling 5:   1   2 en   1   2
a Leg uit dat 1   1      1  1
b Leg uit dat  2   2       2   2
c Leg uit dat     21 en     2 2
Pas op: je mag niet zomaar door  delen!
In plaats daarvan vermenigvuldigen we beide
uitdrukkingen aan weerskanten met :
 21     geeft 2 2 1   2    (1)
d Laat zien dat uit (1) volgt: 1  12 (    )
e Laat zien dat uit     2 2 volgt  2  12 (    )
Als a en b dezelfde
of tegengestelde
richting hebben, dan is
a b 0.
Als a b , dan is
ab 0
Als || = 1, dan is 2 = –1
1  12 (    )
 2  12 (    )
Onze voorlopige formule voor   wordt:
   12 (    )  12 (    ) cos   12 (   ) sin 
  is nu uitgedrukt in  en .
Om deze monsterformule te vereenvoudigen heb je goniometrische formules nodig.
Quaternionen-lesmateriaal
Rotaties in
3
10
(vervolg)
Je hebt de volgende goniometrische formules nodig:
sin 2 x  2sin x cos x
in de vorm: sin x  2sin 12 x cos 12 x
cos 2 x  2cos2 x 1
in de vorm:
1  cos x  2cos2 12 x
cos 2 x  1  2sin 2 x
in de vorm:
1  cos x  2sin 2 12 x
29 Controleer de volgende afleiding:
   12 (    )  12 (    ) cos   12 (   ) sin 
 12  (1  cos  )  12  (1  cos  )  12 (   ) sin 
  cos2 12    sin 2 12   (   )sin 12  cos 12 
  cos2 12    sin 12  cos 12    sin 12  cos 12    sin 2 12 
 cos 12  (  cos 12    sin 12  )   sin 12  (  cos 12    sin 12  )
 (cos 12    sin 12  )(  cos 12    sin 12  )
 (cos 12    sin 12  )  (cos 12    sin 12  )
Noemen we cos 12    sin 12   q , dan staat er:
met |q | = 1
30
 q  q
Controleer dat |q | = 1.
Een rotatie om een lijn l door 0 met richtingsvector , | α | 1 , om een hoek  is dus een
beschrijven met de functie f ( β) qβq met en Re(q) cos 12 φ en Im(q) α sin 12 φ .
Andersom is elke functie van de vorm f ( )  q q met |q| = 1 op te vatten als een rotatie om
de lijn l door 0 met richtingsvector het imaginaire deel van q over een hoek  waarvoor geldt
cos 12   Re(q) .
Quaternionen-lesmateriaal
11
Het rekenen met quaternionen is vooral handig bij het samenstellen van rotaties.
Stel je hebt twee rotaties R1: f ( β) q1 βq1 en R2: g ( β ) q2 βq2 , dan hoort bij de
samengestelde afbeelding R2 R1 (R2 na R1) de functie g ( f ( β ))
.(stelling 3).
Omdat | q2 q1 | | q2 || q1 | 1 1
q2 q1 βq1q2
q2 q1 βq2 q1
1 is dit weer een rotatie.
Om de as en de hoek van de samengestelde rotatie te vinden hoef je dus alleen maar
q2 q1
te berekenen.
Voorbeeld
1
R1: Rotatie van het punt B om de z-as over 90:
 = k,  = 90; q  12 2  12 2  k  1  k
2
 1 k   1 k  1
  
  2 (1  k ) (1  k )
 2   2 
   
   12 (1 j) (1 j)
2
R2: Rotatie om de y-as over 90 :
3
R1 gevolgd door R2.
 1  j  1  k  1
q  

  2 (1  j  k  jk )  12 (1  i  j  k )

 2  2 
cos 12
     120 om de lijn met richtingsvector
1
2
1
 
1 .
1
 
31 Geef de functie f bij een rotatie om de lijn met richtingsvector r
Let op: α
1
2 over 60°.
2
r
.
|r |
32a Geef de functie f bij een rotatie over 180° om de lijn l met richtingsvector r
b
c
Je spreekt ook wel over een lijnspiegeling in l.
Bereken f(81i).
Wat is in
3
x
het beeld van de x-as bij spiegeling in de lijn y
z
4
 4 ?
7
4
4 .
7
Quaternionen-lesmateriaal
12
Antwoorden
Complexe getallen
1a oplosbaar
b niet oplosbaar
c
d
niet oplosbaar
oplosbaar
e
f
niet oplosbaar
niet oplosbaar
2a i4 = (i2)2=(–1)2 = 1; i5 = (i4) · i = 1 · i = i
b i2015 = i2012 · i3 = (i4)503 · i2 · i = 1 · –1 · i = –i; i2016 = (i4)504 = 1
3a 7 + i
b –1
c 7 + 9i
d
e
f
25
43 + 6i
–5 + 12i
g
h
4 + 7i
(1– i)4 = ((1 – i)2)2 =
(–2i)2 =–4
4a Teken met behulp van de vectoroptelling zowel    als       ( ) .
a
α + β = 2; α – β = 2i
5a 10
6a 1 – i
b
6 + 3i
(a bi)(a bi)
α
αα | α |2
α
2
|α|
| α |2 | α |2
α + β = –5 + 2i; α – β = –5 – 6i
b
7a αα
a 2 b2
b
1
b
25
c
c
–67
d
6
32i
| α |2 .
8a     a  bi  c  di  a  c  (b  d )i  a  c  (b  d )i  a  c  bi  di  a  bi  c  di    
b
c
  (a  bi)(c  di)  ac  bd  (ad  bc)i  ac  bd  (ad  bc)i
    (a  bi)(c  di)  ac  bd  (ad  bc)i
αβ
2
ac bd
a 2c 2
2
α β
2
(a 2
2
(ad
bc)i
2abcd
b2d 2
a2d 2
2abcd
d2)
a 2c 2
b2 d 2
b2 )(c2
(ac bd )2
(ad
bc)2
b 2c 2
a2d 2
a 2c 2
b2c 2
b2d 2
a 2d 2
b 2c 2
Quaternionen-lesmateriaal
13
9b β = i · α = –1 + 3i;
3
1
3
β = i · α = –b + ai;
a
b
b
a
c
1
3 3
0 en |3 + i| = |–1 + 3i|
ab ab
0 en |a + bi| = |–b + ai|
3
Vectormeetkunde in
10 AD = 3, CD = 3 3 en BC2 = 27 + 25 = 52, dus BC = 2 13
11a h2 = b2 – p2
c a2 b2 p2
12
(c
2a2b2
p)
BD = c – p
p2 c2 2 pc
a32
(b1 a1 )2
p2 en p
cos (a, b)
0 , dus a b | a || b | cos (a, b) = 0
cos (a, b)
0 , dus
cos (a, b)
cos0
cos (a, b)
cos180
a1
a2
a3
a2 )2 (b3
(b2
b cos α
a3 )2
2a b .
2a3b3
a2b3 a3b2
14a a3b1 a1b3
a1b2 a2b1
b
c
b2
| b |2 | a |2 | b a |2
b12 b22 b32 a12 a22
2a1b1
13a
b
c
d
b
2
( a, b)
90
1 , dus a b
| a || b | .
1 , dus a b
| a || b | .
a1a3b2 .....enz ; alle termen vallen weg;
a1a2b3
idem bij a b b
Volgt door invullen.
in de kentallen wisselen de termen.
 7 


15a  14 
 14 


 14 


 7 
 14 


b
 
2
 14 


 7 
 14 


c
2
16a a  b  a  b  (a2b3  a3b2 )2  (a3b1  a1b3 )2  (a1b2  a2b1 )2  (a1b1  a2b2  a3b3 )2
Alle dubbele producten vallen weg. Over blijven alle kwadraten en dat is precies gelijk
2
2
aan a  b  (a12  a22  a32 )(b12  b22  b32 )
2
2
 
b
a  b  a b
c
a
2

2
a b
2

2
2
2
2
2
2
a  b cos2 (a, b)  a  b (1  cos2 (a, b)  a  b sin 2 (a, b) .
b , dan is sin (a, b)  sin 90  1
Quaternionen-lesmateriaal
14
Quaternionen
17a q1  q2 = 3 – 2i – j; q1  q2 = 1 + 2i – j + 2k.
b
| q1 | = 6 , | q2 | = 6 , | q1  q2 | = 14 en | q1  q2 | = 10
18a i2 · jk = –jk en : i · ijk = i · –1 = – i, dus jk = i.
b –k
c ijk · k = –1 · k = –k; ijk · k = ij · k2 = ij · –1 = –ij, dus ij = k.
19a i2 j = –j
b ki = –ji · i = –j · i2 = j
c kj = k · ki = k2 · i = – i.
20a 3 – 5i + j + k
b | q1 | = | q2 | = 6 , | q1q2 | = | q2 q1 | =6
c
q1q1 = 6 en q1q1 = 6
d
q1q2 = 3 + 3i + 3j + 3k; q1 q2 = 3 + 5i – j – k en q2 q1 = 3 + 3i + 3j + 3k
21 (1 + i + j + k)2 = –2 + 2i + 2j + 2k; (i + j + k)2 = –3
1i
2
1
6
Rotaties in
3
22
1
6
j
5k
6
23a   a1i  a2 j  a3k  (a1i  a2 j  a3k)  
bc 24a        2 .
b -.
25 1 blijft op zijn plaats en 2 roteert.
26a SC SB en SC α
b |    2 |  |  ||  2 |  1  |  2 | .
27a  2     2     2 en omdat β2
bcd 28abcde -
α is    2  0
Quaternionen-lesmateriaal
3
Rotaties in
15
(vervolg)
29 Achtereenvolgens:
- haakjes uitwerken en anders groeperen
- goniometrische formules gebruiken
- anders groeperen
- cos 12  en  sin 12  buiten haakjes halen
- als product van twee tweetermen schrijven
- β buiten haakjes halen
30 31 α
1
3
(i 2j 2k) ; sin 30
f ( β)
( 12 3
32a α 19 (4i
f ( β)
b
c
1 (i
6
cos30
2 j 2k )) β( 12 3
4j 7k) ; sin90
1 (4i
81
1,
2
1 (i
6
1, cos90
4 j 7k ) β (4i 4 j 7k )
1
2
3
2 j 2k))
0
f (81i)
(4i 4j 7k)i(4i 4j 7k)
(4i 4j 7k)( 4 4k 7 j)
(4i 4j 7k)(4 4k + 7j)
16i 16j 28k 16j 16i 28 28k
49i 32j 56k
49
x
de lijn y  32
z
56
28 49i
Quaternionen-lesmateriaal
16
Appendix
Korte biografie van Sir William Rowan Hamilton.
William werd geboren in 1805 in Dublin om precies middernacht tussen 3 en 4 augustus. Hij
vierde zijn verjaardag op de 3e totdat 30 jaar later zijn tweede zoon op 4 augustus werd
geboren.
Vader Archibald was als juridisch adviseur veel van huis. Moeder Sarah zag al snel dat haar
zoon een bijzonder kind was: hij liep nog voor hij een jaar oud was en gaf toen al blijk van
zo’n opmerkelijke intelligentie, dat zijn ouders besloten hem naar zijn oom James en tante
Sydney te sturen voor zijn verdere opvoeding. Oom James was een geleerde en predikant in
Trim, een klein plaatsje niet ver van Dublin. Op driejarige leeftijd kan William goed Engels
lezen. Zo leest hij voor uit de bijbel in het klasje van zijn oom en kan hij aardig rekenen. Op
zijn vierde is hij bedreven in topografie. Op zijn vijfde leest en vertaalt hij Latijn, Grieks en
Hebreeuws en vindt hij het leuk naast Milton ook Homerus te citeren. Op zijn achtste beheerst
hij Frans en Italiaans en kan hij zijn gevoelens in het Latijn uitdrukken en op zijn tiende
studeert hij Sanskriet, Arabisch en Perzisch en kent hij de grondbeginselen van het Syrisch,
het Chaldees, het Hindostaans en wil beginnen aan het Chinees, maar daar zijn moeilijk
boeken voor te krijgen. Intussen heeft hij ook de eerste helft van de Elementen van Euclides
doorgenomen. Op twaalfjarige leeftijd schrijft hij een Syrische grammatica, op z’n dertiende
gevolgd door een grammatica van het Sanskriet en een kort uittreksel over Algebra.
Op die leeftijd verliest hij zijn moeder.
Op zijn twaalfde ontmoet hij het dan 13 jarige Amerikaanse rekenwonder Zerah Colburn, die
met zijn vader door Engeland reist om zijn kunsten te vertonen. Zerah berekende uit zijn
hoofd dat het zesde Fermat getal, 232 + 1 niet priem was, maar deelbaar door 641. Toen Zerah
twee jaar later in Ierland was, ontmoetten de twee elkaar nogmaals. Vanaf dat moment raakt
Hamilton geïnteresseerd in wiskunde. Nadat hij door een telescoop de manen van Jupiter en
de ringen van Saturnus heeft gezien, groeit ook zijn belangstelling voor de astronomie en wel
speciaal de eclipsen. Er waren dat jaar twee maaneclipsen en één zonne-eclips.
In 1819 overlijdt ook zijn vader.
Op zijn 15e noteert hij dat hij begint aan Newton’s Principia en op zijn 16e begint hij te
dichten om zijn gevoelens kwijt te kunnen en raakt hij ook geïnteresseerd in theologie.
Op zijn 16e bestudeert hij de differentiaalrekening en leest hij de Mécanique Celeste van
Laplace. Daarbij ontdekt hij een fout in het krachtenparallellogram. Dat is het begin van zijn
roem als wiskundige. Op 26 augustus 1822 (net 17) schrijft hij aan zijn tante dat hij definitief
bekeerd is tot de wiskunde.
“I have been continuing my Classics, as usual, with my uncle. But I fear I shall never
be so fond of them as of the Mathematics that I am now reading.”
Binnen korte tijd bestudeert hij alle wiskundeboeken die hij te pakken kan krijgen, waaronder
natuurlijk Euclides, waar hij verrast wordt door wat we nu de gulden snede noemen, maar
ook Lloyd’s Analytic Geometry. In dat jaar doet hij zijn eerste wiskundige ontdekkingen. Hij
schrijft artikelen over oscillerende cirkels en parabolen. Met die artikelen stapt hij naar Dr.
Brinkley, op dat moment de directeur van het observatorium van Dublin in Dunsink, die diep
onder de indruk is en hem min of meer onder zijn hoede neemt. In mei 1823 schrijft hij aan
Arthur Hamilton, een neef van zijn vader, dat hij een heel curieuze ontdekking in de optica
heeft gedaan. Die opmerking slaat op zijn karakteristieke functie, een functie V die moet
Quaternionen-lesmateriaal
17
2
 dV 
dV
dV
voldoen aan de partiële differentiaalvergelijking           2 , waarin  de
 dx   dy   dz 
brekingsindex van het medium is.
2
2
Hij is inmiddels bijna 18 en maakt zijn entree in het Trinitycollege in Dublin, waar de beste is
van 100 kandidaten met een ‘premium’, omdat hij bij een examen in het Hebreeuws
antwoordt. In zijn eerste jaar ontving hij na zijn examens alle te winnen prijzen.
Op dinsdag 17 augustus 1824 bezoekt hij de familie Disney in Summerhill en wordt verliefd
op de dochter Catherine. Die verliefdheid zou zijn hele verdere leven beïnvloeden. Natuurlijk
schrijft hij gedichten over zijn liefde. Inmiddels noemt Brinkley hem een tweede Newton. In
datzelfde jaar stuurt hij een publicatie ‘On Caustics’ naar de Royal Irish Academy. Die gaat
over de omhullende van stralenbundels na breking of terugkaatsing op een zeker oppervlak.
Het jaar daarop brengt twee teleurstellingen met zich mee. De academie vindt het artikel te
algemeen en abstract en publiceert het niet. Maar dieper treft hem dat hij hoort, dat zijn grote
liefde gaat trouwen.
Zijn gebroken hart zorgt ervoor dat hij in een depressie belandt en ook lichamelijk zwak is.
Niettemin neemt hij de kritiek van de academie ter harte en blijft doorwerken aan zijn theorie
en de voorbereidingen voor zijn examens. Opnieuw slaagt hij met de hoogste cijfers en wordt
langzamerhand een beroemdheid in de intellectuele kringen van Dublin.
In 1827 stuurt hij zijn uitgewerkte artikel onder de titel Theory of System of Rays naar de
academie. In dat werk gebruikt hij analytische meetkunde, differentiaal en integraalrekening
en variatierekening. Centraal staat zijn karakteristieke functie. Nu wordt het werk wel
gepubliceerd. Dat is het begin van zijn roem als wiskundige.
1827 is een keerpunt in het leven van Hamilton. Hij wordt, hoewel nog niet afgestudeerd,
gekozen tot Hoogleraar Astronomie aan de universiteit van Dublin en Koninklijke astronoom
van Ierland als opvolger van Dr. Brinkley. Hij verhuist met zijn drie zusters Grace, Eliza en
Sydney naar het Observatorium in Dunsink. In dat jaar ontmoet hij ook de dichter
Wordsworth (1770 – 1850) waarmee hij zijn leven lang een warme vriendschap zal
onderhouden. In 1828 wordt hij lid van de Astronomical Society en wordt uitgenodigd voor
de jaarlijkse bijeenkomsten van de British Association. Op die bijeenkomsten ontmoet hij ook
wiskundigen als Poisson (1781 – 1840), Bessel (1784 – 1846) en Cauchy (1789 – 1857) (56).
Ampére (1775 – 1836), Gay Lussac (1778 -1850) en Quetelet (1796 – 1874)..
Overigens hadden de werkzaamheden op de sterrenwacht een slechte invloed op zijn
gezondheid. Hij had voortdurend last van kou in z’n hoofd en op z’n borst.
In 1829 bezoekt Wordsworth Ierland en gaat eerst naar de sterrenwacht. Hij overtuigd
William ervan dat zijn talenten meer op het terrein van de wetenschap liggen als op dat van de
poëzie. Zijn studiegenoot John Graves (1806 – 1870) laat hem kennismaken met het werk van
Warren (1796 – 1852): On the representation of squareroots of negative quantities (1828).
Dat is het begin van zijn interesse in complexe getallen. Inmiddels trekt hij volle zalen met
zijn colleges, niet alleen studenten, maar ook professoren en Fellows en, voor die tijd nieuw,
ook dames. In juli 1832 krijgt hij bericht dat hij is gekozen tot Fellow van de American
Academy of Arts and Science. Eeuwige roem verwerft hij als zijn langs theoretische weg
afgeleide conical refraction (een lichtstraal in een biaxiaal kristal breekt in bepaalde gevallen
in een kegel van stralen) in het laboratorium bevestigd wordt.
Quaternionen-lesmateriaal
18
In maart 1833 trouwt hij met Helen Bayly. Helaas bleek ze voor hem geen goede partner te
zijn. Zij is vaak weg om haar moeder te verzorgen of ze is ziek. Hij voelt zich eenzaam in de
sterrenwacht.
Op 4 november 1833 presenteerde Hamilton zijn notitie On a Theory of Algebraic Couples or
Conjugate Functions, waarin hij complexe getallen beschouwd als paren reële getallen.
Daarin is bijvoorbeeld 1 = (1, 0) en i = (0, 1). Hij zegt daarbij dat hij hierna een theorie van
triplets hoopt te publiceren die de theorie van paren insluit.
Op 10 mei 1834 wordt zijn eerste kind: William geboren. Via Coleridge raakt hij
geïnteresseerd in de filosofie van Kant (1724 – 1804). Zo leest hij de Kritik des reinen
Vernunft (critique of the pure reason), waarin Kant zijn visie geeft over Ruimte en Tijd.
Dat beïnvloedt hem naar eigen zeggen zeer. In een brief aan John Graves geeft hij zijn visie
dat meetkunde als wetenschap gebaseerd is op de intuïtie van ruimte zoals Algebra als
wetenschap is gebaseerd op de intuïtie van tijd en in 1835 verschijnt zijn essay Algebra as the
science of Pure Time. In dat jaar wordt hij geridderd en mag voortaan Sir voor zijn naam
zetten en ontvangt hij (samen met Faraday) de Royal Medal voor zijn ontdekkingen in de
exacte wetenschappen.
Op 4 augustus 1835 1.00 uur wordt zijn tweede zoon Archibald geboren.
In 1837 overlijdt prof. (Bartholomew) Lloyd, de president van de RIA en wordt Hamilton tot
zijn opvolger gekozen. In datzelfde jaar kiest de Academie van St. Petersburg hem tot
Corresponderend lid.
In 1841 vraagt De Morgan hem of er nog iets gebeurd is met de theorie van drietallen waarop
hij in 1829 zinspeelde. Hij antwoordt dat hij er niet in geslaagd is een behoorlijk algebraïsch
systeem te vinden, maar dat hij er van overtuigd is dat er zelfs een systeem van veeltallen
mogelijk moet zijn. Dan meldt de jonge Eisenstein (1823-1852) zich bij Hamilton. Die
inspireert hem tot verder wiskundig onderzoek. Op de bijeenkomst van de British Association
presenteert hij artikelen betreffende de differentierekening, de waarschijnlijkheidsrekening en
vijfdegraadsvergelijkingen. Teruggekomen neemt hij het oude probleem van de triplets weer
ter hand. In de maand oktober vragen zijn kinderen ieder ochtend aan het ontbijt: “en pappa,
kun je al triplets vermenigvuldigen?”, waarop hij zijn hoofd schudt en zegt dat hij ze alleen
kan optellen en aftrekken. Tot hij op die maandagmorgen 16 oktober met zijn vrouw langs het
Royal Canal loopt op weg naar een zitting van de Academie en de oplossing door zijn hoofd
schiet: de stap van drietallen naar viertallen, de quaternionen.(435).
Aangekomen op de Academie, vraagt hij toestemming om op de volgende bijeenkomst een
notitie over quaternionen te mogen inbrengen. En zo geschiedt op 13 november. Dezelfde
avond nog schrijft hij zijn vondst uit en stuurt de volgende dag een kopie aan zijn vriend John
Graves waarin hij schrijft dat zijn vondst moest voldoen aan (1) de wet van de moduli, (2) de
stelling van de ruimtedriehoek en (3) de rotatieregels.
En later: de theorie van triplets moet (1) algebraïsch voldoen aan de normale regels voor
optellen en vermenigvuldigen, meetkundig eenvoudig construeerbaar en (3) een deling
toelaten. Z’n hele verdere leven is Hamilton voornamelijk bezig geweest met zijn
quaternionen.
Quaternionen-lesmateriaal
19
In 1846 raakt hij door persoonlijke problemen aan de drank en in maart doet hij afstand van
zijn presidentschap van de RIA om meer tijd te kunnen besteden aan zijn wiskundige
onderzoekingen. In december presenteert Hamilton de hodograaf (snelheidsdiagram).
Hamilton wordt ook bij praktische problemen ingeschakeld. Zo komen civiel ingenieurs bij
hem met een probleem dat te maken had met scheve bruggen. De volgende dag heeft hij het
probleem opgelost met behulp van zijn quaternionen. In 1853 verschijnen zijn Lectures on
Quaternions: een bundeling van zijn colleges over quaternions. Hij is daar niet helemaal
tevreden over en stelt zich ten doel om een standaardwerk over quaternionen en hun
toepassingen te schrijven. Dat boek, Elements of Quaternions, zal vlak na zijn dood pas
verschijnen.
Hoewel hij de meeste tijd besteed aan het schrijven van zijn standaardwerk, is hij ook
productief op andere terreinen. Hij vindt een nieuw getallensysteem uit: Icosian Calculus,
waarmee hij een spel ontwerpt: The Icosian Game. Aan dat spel hebben we het Hamiltonpad
uit de grafentheorie te danken. Z’n eerste ontdekking waarvoor wat betaald wordt (25 pond).
Via z’n vriend John Graves komt hij tot het lezen van de Disquitiones Arithmetica van Gauss
en wordt zo ingewijd in de getaltheorie. Zo ziet hij dat alle gehele getallen in  niet priem
zijn, Immers elk getal is te schrijven als som van vier kwadraten (Euler) en in  is de som van
vier kwadraten te ontbinden : a2  b2  c2  d 2  (a  bi  cj  dk )(a  bi  cj  dk ) .
Verder toont hij zich een voorstander van invoering van een decimaal muntstelsel. Hij schrijft
een verhandeling over anharmonische coördinaten en houdt zich bezig met de constructie van
de regelmatige zevenhoek. In 1865 bereikt hem het bericht dat hij als eerste gekozen is als
buitenlands lid van de Academy of Science van de Verenigde Staten. Hij overlijdt op 2
september 1865 op 60-jarige leeftijd aan een aanval van jicht. Zijn boek wordt dan afgemaakt
door zijn zoon William en uitgegeven in 1866.
Quaternionen-lesmateriaal
20
Bronnen
Op internet is veel te vinden over leven en werk van Hamilton. Bron is bijna altijd de
driedelige biografie van zijn vriend Robert Perceval Graves (jongere broer van John) die vrij
beschikbaar is op internet, maar ook in boekvorm te verkrijgen.
R.P. Graves: Life of Sir William Rowan Hamilton, deel 1, 2 en 3 (1882 – 1889)
https://archive.org/details/lifeofsirwilliam01gravuoft
https://archive.org/details/lifeofsirwilliam02gravuoft
https://archive.org/details/lifeofsirwilliam03gravuoft
Andere bronnen:
Bijna elk boek over de geschiedenis van de wiskunde.
Belangrijkste link naar het werk van Hamilton:
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/
Over de weg naar de ontdekking van de quaternionen de Engelse versie van het artikel van
Van der Waerden op internet:
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/0025570x.di021097.02p0154a.pdf
Over de geschiedenis van de vectormeetkunde die het gevolg is van het werk van Hamilton:
M.J. Crowe: A history of vector analysis, Lezing in 2002 te vinden op internet.
https://www.math.ucdavis.edu/~temple/MAT21D/SUPPLEMENTARY-ARTICLES/Crowe_History-ofVectors.pdf
Over Engelse wiskundigen in de 19e eeuw:
Alexander MacFarlane: Lectures on Ten British Mathematicans met korte biografieën over
Peacock, De Morgan, Hamilton, Boole, Cayley, Clifford, H.J.S. Smith, Sylvester, Kirkman en
Todhunter (1898). http://www.gutenberg.org/ebooks/9942 (gratis)
Studieboeken
J.B. Kuipers, Quaternions and Rotation sequences, Princeton University Press, 2002,
ISBN 978-0-691-05872-5 (aanbevolen).
Een boek dat geen voorkennis van complexe getallen veronderstelt, maar bij nul begint. Het
behandelt ook de matrixrekening in verband met rotaties en vergelijkt deze met de
behandeling met quaternionen. Toepassingen o.a. op het terrein van luchtvaart en computer
graphics.
Conway en Smith: On quaternions and octonians, CRC Press, 2003
ISBN: 978-1-56881-134-5
Zuiver wiskundig, groeptheoretisch werk. Besteedt ook aandacht aan getaltheoretische
aspecten, zoals de Hurwitz gehele quaternionen (vergelijk: Gauss gehele complexe getallen)..

Download Report