Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Wiskunde: integralen
12/7/2014
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne
(http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra
oefeningen.
2. Oefeningen over integralen
1997 – juli Vraag 7
Bereken de waarde van de volgende bepaalde integraal: ∫
A.
B.
C.
D.
-1
0
1
2
− ∫
1997 – Juli Vraag 8
Beschouw de volgende functie: y ( x ) 
1 6
. x .(6.Ln( x)  1)  C
36
Deze functie is het resultaat van:
 x . e dx
5
A.
x
 x . Ln( x)dx
5
B.
 x . e dx
7
C.
D.
x
  Ln( x) 
5
dx
1997 – Augustus Vraag 4
Eerste bewering: ∫
dr. Brenda Casteleyn
=
− ∫e +
www.keu6.be
Page 2
Tweede bewering: als u(x) ebn v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:
A.
B.
C.
D.
( )
( )= ( ) ( )−
Alleen de eerste bewering is juist
Alleen de tweede bewering is juist
Beide beweringen zijn juist
Beide beweringen zijn onjuist
( )
( )
1997 – Augustus Vraag 10
De waarde van ∫
A.
B.
C.
D.
is
ln 4
½ ln4
2 ln24
2ln22
2000 – Juli Vraag 3
De waarde van ∫
A.
B.
C.
D.
/
is:
e/3
1/3
1/4
1/5
2001 – Augustus Vraag 7
De waarde van ∫
A.
B.
C.
D.
is:
e-5
e-3
0
e-1
2002 – Juli Vraag 9
∫ x. sin
=
A.
B.
C.
D.
–π
–π/2
π/2
π
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
2007 – Augustus Vraag 1
Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van
onderstaande beweringen is dan juist?
A.
B.
C.
D.
De functies F(x) en G(x) zijn gelijkwardig
Er bestaat een reëel getal r zodat F(x) = rG(x)
De functies F(x) en G(x) kunnen hooogstens in een constante verschillen
F(x) en G(x) kunnen alleen rationale functies zijn
2007 – Augustus Vraag 7
Gegeven is ∫
= ln x en ∫ cos
Welke bewerig is dan juist
A. ∫
= ln sin x
C. ∫
= ln x +
= sin
B. ∫
= sin ln x
D. ∫
is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens
2008 -Augustus Vraag 2
Voor partiële integratie geldt:
 f ( x).g '( x)dx  g ( x). f ( x)   g ( x). f '( x)dx
Bepaal de volgende bepaalde integraal:

 x.(sin( x)  cos( x))dx
0
A. /2
B. -/2
C. π + 2
D. π - 2
2010 – Augustus Vraag 7
Be beschouwen twee uitdrukkingen:
ln( x ) dx  ln( x )  x  c
Uitdrukking 1: 
dr. Brenda Casteleyn
te
www.keu6.be
Page 4
Sin

Uitdrukking 2:
2
1
1
(2 x ) dx  x  Cos (4 x )  c te
2
8
Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?
A.
B.
C.
D.
Uitdrukkingen 1 en 2 zijn juist.
Uitdrukkingen 1 en 2 zijn fout.
Uitdrukkingen 1 is juist en uitdrukking 2 is verkeerd.
Uitdrukkingen 1 is verkeerd en uitdrukking 2 is juist.
2012 – Juli Vraag 6 versie 1
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
 x .e
3 ex 2
2
dx
2
A.
B.
3 e 3e2. x
.e
 c te
2
3 e. x . e
3 e. x 2
2
 c te
3 ex 2
2
C.
e
 c te
3e
3 ex 2
2
D.
x .e
3e
 c te
2010 – Juli Vraag 6 versie 2
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
A.
4 23 x 2
e  c te
3
B.
3 23 x 2
e k
4
C.
2 23 x 2
e k
3
dr. Brenda Casteleyn
 x .e
www.keu6.be
2 2
x
3
dx
Page 5
D.
3 23 x 2
e k
2
2012 – Augustus Vraag 6
 5x  2 
Sin
  2  . dx
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
A.
B.
C.
D.
2
 5x  2 
Cos 
C
5
 2 
2
 5x  2 
 Cos 
C
5
 2 
5
 5x  2 
 Cos 
C
2
 2 
5
 5x  2 
Cos 
C
2
 2 
2014 – Juli – Vraag 2
Werk de volgende onbepaalde integraal uit:
A.
B.
I  x.Ln( x)  x  4.e
1
x
4
1
x
4
I   Ln( x)  e dx
C
1
x
4
e
C
4
I  x.Ln( x)  x 
1
x
4
e
I

x
.
Ln
(
x
)

C
C.
4
D. I  x.Ln( x )  4.e
dr. Brenda Casteleyn
1
x
4
C
www.keu6.be
Page 6
3. Oplossingen oefeningen
1997 – juli Vraag 7
− ∫
∫
e0 – e-∞ - ∫
(waarbij y = 1+x en dy = dx; en nieuwe grenzen:
voor x = 0  y=1 en voor x = e-1  y =e))
1 – 0 - (ln(e) – ln(1))
1 – (1-0) = 0
 Antwoord B
1997 – Juli Vraag 8
Gegeven:
y ( x) 
1 6
. x .(6.Ln( x )  1)  C
36
Gevraagd: van welke integratie is deze functie het resultaat
Oplossing: vanprimitieve terug naar integraal = afleiden:
Y’(x)
=
[6x5(6lnx – 1) + x6 ]
=
[36x5lnx –6x5 + 6x5 ]
= x5lnx
 Antwoord B
1997 – Augustus Vraag 4
Gegeven: Eerste bewering: ∫
=
− ∫e +
Tweede bewering: als u(x) en v(x) afleidbare functies zijn, dan geldt:
( )
Gevraagd: welke beweringen juist?
( )= ( ) ( )−
( )
( )
Oplossing:
De eerste bewering is een toepassing van de tweede bewering. Ze zijn allebei juist:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
 Antwoord C
1997 – Augustus Vraag 10
De waarde van ∫
is
Oplossing:
Gebruik substitutie: y = ln x dan is dy = 1/x dx
Vervanging in de integraal geeft: ∫
Primitieve:
= ln(x)2/2
Invulling van waarden:
=
(
=
(
)
–
(
)
–0
)
(want ln 1 = 0)
Pas eigenschappen log toe: logaxn = n logax
=
(
)
=2
2
 Antwoord D
2000 – Juli Vraag 3
De waarde van ∫
/
is:
Gebruik substitutie en partiëel integratie:
Y = 2x, dus dy = 2dx
Vervanging in integraal geeft: ∫
= (2
=
2
−
−
)
= ( − )+
/
= (
−
)
– (0 − 1)
=¼
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
 Antwoord C
2001 – Augustus Vraag 7
De waarde van ∫
Oplossing:
∫
=∫
is:
(in teller 2 optellen en terug aftrekken)
1−
= x – 2ln(x+1) Ι0e-1
= (e-1-2lne) – (0-2ln1)
= e-1-2
(ln1 = 0)
= e-3
 Antwoord B
2002 – Juli Vraag 9
∫ x. sin
Gebruik partieel integratie:
∫ x. sin
= (-cos x)x – ∫(− cos )
= -x cos x + sin x
Waarden invullen: (-πcos π + sin π) – ((-0.cos(0) + sin(0)) = -π(-1)+0 = π
 Antwoord D
2007 – Augustus Vraag 1
Stel dat de functies F(x) en G(x) primitieve functies zijn van de functie f(x). Welke van
onderstaande beweringen is dan juist?
De functies F(x) en G(x) kunnen hoogstens in een constante verschillen
 Antwoord C
2007 – Augustus Vraag 7
Gegeven is ∫
= ln x en ∫ cos
Welke bewering is dan juist
dr. Brenda Casteleyn
= sin
www.keu6.be
Page 9
∫
= ln sin x
∫
= ln x +
∫
= sin ln x
∫
is niet te berekenen alleen op grond van de gegevens
Gemakkelijkste manier is uitkomst van elke oplossing afleiden:
Bij A: (ln sinx)’ =
(
)
(gebruik: (ln f)' = f'/f )
=
Bij B: (sin ln x)’ = cos lnx . (lnx)’ = cos
Bij C: (ln x +
)’ = +
(
).
A, B en C zijn alledrie onjuist
= +
 Antwoord D
Om de integraal op te lossen: gebruik ∫
∫
=∫
=∫
(
)
= ln
=
+ Cte
ln
∓
+ Cte
2008 -Augustus Vraag 2
Voor partiële integratie geldt:
 f ( x).g '( x)dx  g ( x). f ( x)   g ( x). f '( x)dx
Bepaal de volgende bepaalde integraal:

 x.(sin( x)  cos( x))dx
0
Oplossing:
∫
. (sin
+ cos )
= −cos x. x— ∫ −cos x
=∫
. sin
+∫
+ sin x .x – ∫ sin
. cos
= -cos x.x + sinx + sin x.x + cos x
Waarden invullen:
= (-cos π.π + sin π + sin π.π + cosπ)- (-cos(0).0 + sin(0) + sin (0).0 + cos (0))
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
= (-(-1)π + 0 + 0.π + (-1)) - (-1.0 + + 0 + 1)
= π – 1 -1
= π -2
 Antwoord D
2010 – Augustus Vraag 7
Be beschouwen twee uitdrukkingen:
ln( x ) dx  ln( x )  x  c
Uitdrukking 1: 
2
 Sin (2 x)dx 
Uitdrukking 2:
te
1
1
x  Cos (4 x )  c te
2
8
Welke uitdrukkingen zijn wiskundig juist?
Oplossing:
Uitdrukking 1: gebruik partiële integratie toegepast op ∫ 1. ln
∫ ln
=
ln − ∫
=
−
+
, dus uitdrukking 1 is fout
Uitdrukking 2: zet het kwadraat om door gebruik te maken van machtsreductieregel:
(
=
)
De integraal uit uitdrukking 2 wordt dan
∫
(
)
=∫ -
∫ cos(4 )
= x - ∫ cos( )
=
(met u = 4x en du = 4dx)
= x - sin +
= x - sin 4 +
Ook uitdrukking 2 is fout
 Antwoord B
2012 – Juli Vraag 6 versie 1
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
 x .e
3 ex 2
2
dx
Oplossing:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
Gebruik substitutie:
=
du =
De integraal wordt dan: ∫
= ∫
 Antwoord C
=
)′ = 3 ex dx  dx =
.(
=
=
2010 – Juli Vraag 6 versie 2
 x .e
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
2 2
x
3
dx
Oplossing:
Gebruik subsitutie:
du = (e
dx = du/e
)′ = e
.
x
e
. ( x )′ = e
De integraal wordt dan: ∫
Antwoord B
.
=u
. ( x)dx
= ∫
=
=
e
+ Cte
2012 – Augustus Vraag 6
Bereken de volgende onbepaalde integraal:
 5x  2 
 . dx
2 
 Sin 
Oplossing:
Gebruik substitutie:
=
du = 5/2 dx, dus: dx = 2/5 du
De integraal wordt dan: ∫
 Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
=−
=−
www.keu6.be
+ Cte
Page 12
2014 – Juli – Vraag 2
Gevraagd: bereken I = ∫
( )+
Oplossing: splits de som I = ∫
( )
+ ∫
Bereken de eerste term van de som dmv partiële integratie:
∫
( )1
( )− ∫
=
(ln( )) = x.ln(x) - ∫ .
= x.ln(x) – x
Bereken de tweede term dmv substitutie:
¼ x = t, dus dt = d(1/4x) = ¼ dx en dus is dx = 4.dt
Vervang: ∫
= ∫ 4.
Dus I = x.ln(x) – x + 4.
= 4.
= 4.
+C
 Antwoord A
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13

Download Report