onderzocht

HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE
Onderzoeksopdracht
Stelling van Ptolemaeus
Henrik Bastijns en Joachim Nelis
22-4-2014
Inhoudstafel





Historische achtergrond
Bewijs van de stelling van Ptolemaeus
Toepassingen
Oefeningen
Bronnen
1
Historische achtergrond
Claudius Ptolemaeus was een beroemd Grieks sterrenkundige, geograaf, wiskundige en
muziektheoreticus die leefde in Alexandrië van 87 tot 150 na Christus. Zijn belangrijkste werk schreef
hij in het jaar 137 onder de naam ‘Megalè suntaxis tès astronomias’. Dat betekent: ‘Grote verhandeling
over de sterrenkunde’. Dit werk bestaat uit maar liefst 13 delen. Het geeft een compleet overzicht van
de sterrenkunde in de Oudheid.
Ook bevat het werk de oudst bekende catalogus van helderheden van
meer dan duizend sterren alsmede 48 namen van sterren beelden die
heden ten dage nog steeds word en gebruikt.
In de negende eeuw werd dit werk vanuit het Grieks in het Arabisch
vertaald. Onder zijn Arabische titel ‘ Almagest’ dat ‘grootste’ betekent, is
dit werk wereldberoemd geworden. In de 12e eeuw volgde nog een
Latijnse vertaling. Tot in de 16e eeuw is de Almagest het belangrijkste
sterrenkundige werk geweest. Het geeft een compleet overzicht van de
sterrenkunde in de Oudheid.
Ptolemaeus dacht dat de aarde in het middelpunt van het heelal stond. De zon, planeten en sterren
zouden om de aarde heen bewegen. Dit wereldbeeld noemen we het geocentrische wereld
beeld omdat de aarde hierin centraal staat.
Ptolemaeus heeft nog veel meer wetenschappelijke boeken geschreven. Zijn ‘Geographia’, een gids
voor het maken van kaarten, heeft grote invloed gehad. Niet alleen op ontdek kingsreizen, maar ook
op de cartografie. Dat is de weten schap die betrekking heeft op geografische kaarten en haar
vervaardiging.
Andere werken van Ptolemaeus waarin wiskundige hulpmiddelen
voor de astronomie behandeld worden zijn ‘Analemna, Planis
phaerium’ en ‘Hypotheses planetarum’ dat over de beweging van
de planeten gaat. Zijn ‘Optica’ bevat onder meer metingen over
lichtbreking en zijn ‘Harmonica’ vormt een van de belangrijkste
bronnen voor de kennis van de antieke muziektheorie.
2
Bewijs van de stelling van Ptolemaeus
Wij gaan de stelling bewijzen op de manier zoals Ptolemaeus het had gedaan. Er zijn nog andere
manieren om de stelling van Ptolemaeus te bewijzen.
Stelling
ALS ABCD is een vierhoek die is ingeschreven in een cirkel DAN de som van de producten van lengtes
van de paren overliggende zijden is gelijk aan het product van de lengtes van de diagonalen.
Met andere woorden: AB . CD + AD . BC = AC . BD
Kies op de diagonaal BD een punt P,
zodat ACB = ∆PCD.
Omdat de hoeken BAC en BDC op dezelfde
boog staan, zijn ze aan elkaar gelijk. De
driehoeken ABC en DPC zijn dus gelijkvormig,
waaruit volgt, dat CD/PD = CA/BA, of
AB . CD = AC . PD.
De hoeken BCP en ACD zijn eveneens gelijk,
zodat de driehoeken BCP en ACD eveneens
gelijkvormig zijn, waaruit volgt BC/BP =
AC/AD, of BC . AD = AC . BP
Tellen we beide resultaten op, dan vinden we
AB . CD + BC . AD= AC . PD + AC . BP
= AC . (BP + PD)
= AC . BD
AB . CD + BC . AD = AC . BD (Q.E.D.)
3
Toepassingen
De stelling van Ptolemaeus kan gebruikt worden om verschillende stellingen en regels te bewijzen.
Het belang van deze stelling wordt vaak over het hoofd gezien. In de wiskrant van december 2012
wordt het belang van de stelling “voor de ontwikkeling van de goniometrie” erg benadrukt. Al moet
de schrijver van het artikel helaas opmerken dat zelfs zijn collega’s niet met de stelling bekend zijn.
De eerste regel die bewezen kan worden met de stelling van Ptolemaeus, is de cosinusregel. Men
maakt hier gebruik van een gelijkbenige trapezium (uiteraard een koordenvierhoek).
Cosinusregel
Geg: koordenvierhoek ABCD is een gelijkbenige trapezium
 AD = CB
 AC = BC
 Hoek A = hoek B
TB: b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
Bewijs:
Cos A = AE/AD
AE = AD cos A
AE = AD cos B
AE = a cos B
d = c – 2 AE
d = c – 2 a cos B
Stelling Ptolemaeus:
b . b = a . a + c . d = a . a + c (c – 2 a cos B)
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
4
Som- en verschilformule
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
geg: koordenvierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel met diameter BC = 1
TB: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Bewijs:
 ABC is een omtrekshoek
(Thales)
Hoek BAC = 90°
(rechthoekige driehoek)
cos α = AB/BC en sin α = AC/BC
(BC = 1)
AB = cos α, AC = sin α, BC = 1
 BCD is een omtrekshoek
(Thales)
Hoek BDC = 90°
(rechthoekige driehoek)
cos β = BC/BC en sin β = DC/BC
(BC = 1)
BC = cos β en DC = sin β
 ABD is ingeschreven in de cirkel met diameter 1
(sinusregel)
AD/sin(α+β) = 2r = 1
sin(α+β) = AD
Stelling Ptolemaeus
AD . BC = AC . BC + AB . CD
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (q.e.d.)
5
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
geg: koordenvierhoek ABCD is ingeschreven in een cirkel met diameter BC = 1
TB: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Bewijs:
 ABC is een omtrekshoek
(Thales)
Hoek BAC = 90°
(rechthoekige driehoek)
cos α = AB/BC en sin α = AC/BC
(BC = 1)
AB = cos α, AC = sin α, BC = 1
 BCD is een omtrekshoek
(Thales)
Hoek BDC = 90°
(rechthoekige driehoek)
cos β = BC/BC en sin β = DC/BC
(BC = 1)
BC = cos β en DC = sin β
6
 ABD is ingeschreven in de cirkel met diameter 1
(sinusregel)
AD/sin(α-β) = 2r = 1
sin(α-β) = AD
Stelling Ptolemaeus
AD . BC = AC . BC + AB . CD
AD . BC = AC . BC – AB . CD
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β (q.e.d.)
Stelling van Pythagoras
TB: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
Bewijs:
Stel: koordenvierhoek ABCD is een rechthoek  AB = CD en BC = AD
(Stelling Ptolemaeus)
AB . CD + AD . BC = AC . BC
𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷 2 = 𝐴𝐶 2
7
Stelling van Ptolemaeus: gelijkzijdige driehoek
Gegeven:
∆ABC is gelijkzijdig met zijde z
P is willekeurig punt op omgeschreven cirkel van ∆ABC
Te Bewijzen:
|PC| = |PA| + |PB|
Bewijs:
APBC is een koordenvierhoek  Stelling Ptolemaeus
 |AP|.|CB| + |AC|.|PB| = |AB|.|PC|
 |AP|.z + |PB|.z = |PC|.z
(∆ABC is
gelijkzijdig)
 |PA| + |PB| = |PC|
(Beide leden delen door z)
Q.E.D.
Stelling van Ptolemaeus: De ongelijkheid van Ptolemaeus
Gegeven:
Driehoek ΔABD
Punt C willekeurig punt binnen de omgeschreven cirkel van ΔABD
Te Bewijzen:
|BA|.|DC| + |BC|.|AD| ≥ |AC|.|BD|
Bewijs:
Constructie: P zodat ΔBPA en ΔDCB gelijkvormig zijn.
 |BD|/|DC|= |BA|/|AP| (1)
Omdat dit een draaigelijkvormigheid is is ΔABD gelijkvormig met ΔPBC
 |BD|/|AD| = |BC|/|PC| (2)
Uit (1) en (2) volgt: |BD| = (|BA|.|DC|)/|AP| = (|BC|.|AD|)/|PC|
Uit de driehoeksongelijkheid volgt: |AP|+|PC| ≥ |AC|
We vermenigvuldigen beide kanten met |BD|
 |BA|.|DC| + |BC|.|AD| ≥ |AC|.|BD| (Q.E.D)
Oefeningen
Ring van leuven
Om onze stelling uit te testen gaan we afstanden meten binnen Leuven. Helaas is de ring niet een
correcte cirkel, dus nemen we als middelpunt onze klas en dan een straal van 1.2 km om ongeveer bij
de ring uit te komen. We testen of de stelling hier uitkomt. Als eerste punt nemen we het
Martelarenplein. De tweede is Sportoase en meer bepaald de speeltuin want die komt beter uit onze
de straal. Dan de Abdij Keizersberg, en uiteindelijk aan de Vaartkom.
8
AB: Station - Sportoase :1 300m
BC:2 250m
BD:2 000m
AC:1 467.5m
AD:900m
CD:700m
AB . CD + BC . AD = 2 935 000
AC . BD = 2 935 000
Vwo vraag
Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen 1, 2 en 3 en een gelijkzijdige driehoek
zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van deze driehoek ligt.
Bereken de lengte van de zijden van deze driehoek .
© Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
BEWIJS.
De omgekeerde stelling van Ptolemaeus zegt:
“Als het product van de lengtes van de diagonalen van een convexe vierhoek gelijk is aan de som van
de producten van de lengtes van de paren overstaande zijden, dan is deze vierhoek een
koordenvierhoek (m.a.w. de vier hoekpunten van deze vierhoek liggen op een cirkel).
9
Stel dat M het middelpunt is van de drie concentrische cirkels (zie figuur) en dat A,B en C de
hoekpunten zijn van de driehoek.
Dan is |MA|.|BC|= |AC|.|MB|+|AB|.|MC| (want |AB|=|AC|=|BC| en |MA|=3= 2+1 = |MB|+|MC|)
zodat de omgekeerde stelling van Ptolemaeus geldig is.
̂ = 𝐴𝐵𝐶
̂ (omtrekshoeken op dezelfde boog) en dus is 𝐴𝑀𝐶
̂ = 60°.
Dan is 𝐴𝑀𝐶
Pas nu in driehoek AMC de cosinusregel toe: |AC|² = |MA|² + |MC|² – 2. |MA|.|MC|.cos 60°.
Hieruit volgt dat |AC|² = 9 + 1 – 2.3.1.(1/2) = 7 zodat |𝐴𝐶| = √7.
De zijden van driehoek ABC hebben lengte √7 .
Bronnen







http://www.sterrenkunde.nl/index/encyclopedie/ptolemaeus.html
http://www.pandd.nl/downloads/wbptol.pdf
http://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/322/322december_wtbi59.pdf
http://www.bloggen.be/gnomon/archief.php?ID=2233936
http://www.stuvia.com/doc/22136/de-stelling-van-ptolemaeus-pratische-opdracht
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Ptolemy%27s_Inequality
KINDT, M. Wat te bewijzen is Nieuwe Wiskrant, Nr. 2, Jaargang 32, 2012, p. 11
10

Download Report