Uitw H7 - Lauran van Oers

1
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Hoofdstuk 7
Kern 1
1 a α = 9 + 16 = 25 = 5 en β = 144 + 25 = 169 = 13
b αβ = ( −3 + 4i )(12 − 5i ) = −36 + 15i + 48i + 20 = −16 + 63i =
256 + 3969 = 4225 = 65 = α ⋅ β
c α = a 2 + b2 en β = c 2 + d 2
α β = a 2 + b 2 ⋅ c 2 + d 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 + b 2 d 2
αβ = ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci − bd = ac − bd + (ad + bc )i =
a 2 c 2 − 2abcd + b2 d 2 + a 2 d 2 + 2abcd + b2 c 2 = a 2 c 2 + b2 d 2 + a 2 d 2 + b2c 2
Beide regels leveren hetzelfde op.
2 a
8i
6i
C
–8
–6 –4
B
•
4i
• 2i
–2 O
–2i
A
•2
6
4
8
–4i
–6i
–8i
•
D
b 3 + 4i = 9 + 16 = 25 = 5
c AC = γ − α = −4 + 3i = 16 + 9 = 25 = 5 en AD = δ − α = −5i = 5
3 a middelpunt −i en straal 3.
c middelpunt 5 − 4i en straal 5
8i
2i
6i
–2 O
–2i
4i
2i
–8
–6 –4
–2 O
•A 2
–2i
–4i
–6i
–4i
4
6
8
–6i
2
4
6
8
10 12
•
A
–8i
–10i
–8i
Noordhoff Uitgevers bv
2
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
b middelpunt 3 − 2i en straal 2
–8
–6 –4
d middelpunt 3 en straal 4
8i
8i
6i
6i
4i
4i
2i
2i
–2 O
–2i
2
•
6
4
8
–8
–6 –4
A
–2 O
–2i
–4i
–4i
–6i
–6i
–8i
–8i
2
A
•4
6
8
4 a
z − 4 + 2i = 6
c z − 5i = 3 − 2i = 9 + 4 = 13
b
z + 6 − 5i = 4
d z + 2 = 2 + 4i = 4 + 16 = 20 = 2 5
5 a
b
Im
Im
Im
2i
2i
2i
2
6 a
c
Re
Re
2
Re
2
z −4+i = 5
b ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 9
7 a 2 en 1 of 1 en 2
b Cirkel met middelpunt O door
bijv. 2 + i .
Zie figuur rechts.
c z + 4−i = 5
Im
•
•
2i
•
•
i
1
2
Re
•
•
•
•
Noordhoff Uitgevers bv
3
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
8
9
Im
2i
4i
i
2i
1
10 a
2
Re
4
2
Re
c
Im
Im
i
i
1
b
Im
Re
1
d
Im
i
Re
Im
2i
1
Re
2
4
Re
Noordhoff Uitgevers bv
4
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Kern 2
f (0) = 2 + i
f (1) = 3 + i
f (i ) = 2 + 2i
f ( −i ) = 2
g (0) = 0
g (1) = 2 + i
g (i ) = −1 + 2i
g (−i ) = 1 − 2i
h(0) = 0
h(1) = 1
h(i ) = −1
h(−i ) = −1
e
f (1 + i ) = 3 + 2i
f
f (3 + 4i ) = 5 + 5i
g (1 + i ) = (2 + i )(1 + i )
= 1 + 3i
g (3 + 4i ) = (2 + i )(3 + 4i )
= 2 + 11i
h (1 + i ) = (1 + i ) 2
= 2i
h (3 + 4i ) = (3 + 4i ) 2
= −7 + 24i
11 a
b
c
d
12 a f: z + 2 + i = 0 → z = −2 − i
g: (2 + i ) z = 0 → z = 0
h: z 2 = 0 → z = 0
b f: z + 2 + i = 1 → z = −1 − i
1 2−i 2−i 2 1
⋅
=
= − i
g: (2 + i ) z = 1 → z =
2+i 2−i
5
5
5
2
h: z = 1 → z = ±1
13 a w(0) = 2 − 3i
w(3) = 5 − 3i
w(3 + 2i ) = 5 − i
w(2i ) = 2 − i
b w = x + 2 + ( y − 3)i
→u = x+2∧v = y −3
c translatie T (2, −3)
f (0) = 0
f (3) = 3i
f (3 + 2i ) = −2 + 3i
f (2i ) = −2
w = i ( x + iy ) = − y + ix
→ u = −y ∧v = x
Dit is een rotatie om O(0, 0)
over 900.
b f (0) = 0
f (3) = 6
f (3 + 2i ) = 6 + 4i
f (2i ) = 4i
w = 2( x + iy ) = 2 x + 2iy
→ u = 2x ∧ v = 2 y
Dit is een puntvermenigvuldiging
vanuit O(0, 0) met factor 2.
y
v
2i
2i
2
14 a
x
4
y
v
2i
2i
2
O
4
x
O
2
u
v
y
2i
2i
O
u
4
2
–i
2
4
x
O
2
4
u
Noordhoff Uitgevers bv
5
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
c w(0) = 0
w(3) = 3
w(3 + 2i ) = 3 − 2i
w(2i ) = −2i
w( x + iy ) = x − iy
→ u = x ∧v = −y
Dit is een spiegeling
in de reële as.
d w(0) = 0
w(3) = −3
w(3 + 2i ) = −3 − 2i
w(2i ) = −2i
w( x + iy ) = − x − iy
→ u = −x ∧ v = − y
Dit is een puntspiegeling
in O(0, 0) .
e w(0) = 0
w(3) = −3
w(3 + 2i ) = −3 + 2i
w(2i ) = 2i
w( x + iy ) = − x + iy
→ u = −x ∧ v = y
Dit is een spiegeling
in de imaginaire as.
f w(0) = 0
w(3) = 3i
w(3 + 2i ) = i (3 − 2i ) = 2 − 3i
w(2i ) = i (−2i ) = 2
w( x + iy ) = i ( x − iy ) = y + ix
→u = y ∧v = x
Dit is een spiegeling in de
lijn Im(z) = Re(z).
v
y
2i
2i
2
O
4
x
O
2
y
v
2i
2i
2
O
4
x
O
y
2
4
x
2
u
2i
2i
2
O
f ( x + ix) = i ( x + ix) = − x + ix met x > 0 .
O
v
y
16 a
u
2i
O
w = z − 3 + 4i
w= z
w = −z
w = −4 z
2
v
2i
15 a
b
c
d
u
4
e
f
g
h
4
x
O
2
4
u
w = −iz
w = −z
w = iz
w = −iz
3
De halve lijn arg(z) = π .
4
b
f ( x + ix) = x − ix met x > 0 .
1
De halve lijn arg(z) = − π .
4
Noordhoff Uitgevers bv
6
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
17 a
f (4 + i ) = −(4 − i ) + 4 = i
f (7 + i ) = −(7 − i ) + 4 = −3 + i
f (5 + 4i ) = −(5 − 4i ) + 4 = −1 + 4i
y
v
C
2i
O
C'
A
2
B
4
x
6
2i
A'
B'
–2 O
2
u
b De lijn Re(z) = 2.
18 a w − α = −i ( z − α )
→ w = −i ( z − α ) + α = −i ( z − 4 + i ) + 4 − i = −iz + 4i + 1 + 4 − i = −iz + 5 + 3i
b w − α = i( z − α )
→ w = i ( z + 1) − 1 = iz − 1 + i
c w − α = −i ( z − α )
→ w = −i ( z + 1) − 1 = −iz − 1 − i
d w − α = i( z − α )
→ w = i ( z − a − bi ) + a + bi = iz − ai + b + a + bi = iz + a + b + (b − a )i
19 a w − α = −( z − α ) → w − 2i = −( z − 2i )
b g ( z ) = − z + α + α = − z + 2α = − z + 4i
c w = − z + 2a + 2bi
20 a
Im
z
4i
z – 3i
2i
w
2
4
Re
z – 3i = w – 3i
b w = z − 3i + 3i = z + 3i + 3i = z + 6i .
c w + 2i = z + 2i → w = z − 2i − 2i = z − 4i
d w − 3 = −i ( z − 3) → w = −iz + 3 + 3i
Noordhoff Uitgevers bv
7
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
1
1
f (1) = = 1
f (−1) =
= −1
1
−1
1 i
1 i
f (i ) = = = i
f ( −i ) = =
= −i
−i 1
i −1
1
1+ i 1 1
b f (1 + i ) =
=
= + i
1− i
2
2
2
1
1− i 1 1
f (1 − i ) =
=
= − i
1+ i
2
2
2
b
c z = a + bi → arg(z) = inv tan
a
21 a
b
1
a + bi
a
b
a + b 2 = inv tan b =arg(z)
arg(w)
=
inv
w=
= 2
=
+
i
→
tan
a
a − bi a + b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2
a
2
2
a +b
of
1
arg(w) = arg( ) = arg(1) − arg( z ) = 0 − − arg(z) = arg(z)
z
1
1
1
d w=
=
=
z
z
z
2
e
z = 1 wordt afgebeeld op w =
f
z ≠1→ w =
g
1 1
= =1.
z 1
1
≠1
z
1
a + bi
= 2
= c + di = β
a − bi a + b 2
a
b
a2
b2
1
2
2
c= 2
en
d
=
,
dan
is
c
+
d
=
+
= 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
a +b
a +b
(a + b ) (a + b )
a + b2
1
c + di
a
b
f ( β ) = f (c + di ) =
= 2
= (a 2 + b 2 )( 2
+ 2
i ) = a + bi = α
2
2
c − di c + d
a + b a + b2
of
1
f (α ) = = β
f (α ) = f (a + bi ) =
α
f (β ) =
1
β
=
1
1
= =α
1
1
( )
α
α
h Spiegelen in een lijn.
i De dekpuntenverzameling is de cirkel zelf en uit vraag g volgt dat er sprake is van een
spiegeling.
Noordhoff Uitgevers bv
8
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Kern 3
22 a
f '( x) = e2 x ⋅ 2 = 2 f ( x)
b g '( x) = − sin x + i cos x = i cos x + i 2 sin x = i (cos x + i sin x) = i ⋅ g ( x)
23 a r = 4 ∧ ϕ = 0 → 4e0
1
b r = 2 ∧ ϕ = π → 2e
Im
1
πi
3
3i•
3
c r = 3 ∧ ϕ = π → 3eiπ
2i
1
1 πi
4
1
d r = 18 ∧ ϕ = 1 π → 18 e
1
1
e r = 7 ∧ ϕ = π → 7e 2
πi
•
–1
2
1
f r = 2 ∧ ϕ = − π → 2e
•
i
4
1
− πi
6
1
2
Re
•
–i
6
1
1
1
2
2
2
24 a r = 3 ∧ ϕ = π → 3(cos π + i sin π ) = 3i (zie tekening rechtsboven)
1
1
1
1
4
4
4
2
b r = 2 ∧ ϕ = π → 2(cos π + i sin π ) = 2(
2 +i⋅
1
1
1
1
4
4
4
2
c r = 2 ∧ ϕ = − π → 2(cos − π + i sin − π ) = 2(
d r = 1 ∧ ϕ = π → 1(cos π + i sin π ) = −1
25 a
1
2
2) = 1 + i
2 + i⋅−
1
2
2) = 1 − i
i
1
5
–1
π
1
–i
1
3
πi
7
πi
9
πi
b ϕ wordt π groter, je krijgt dan e 5 , eπ i , e 5 , e 5 , e
5
26 a 3, 61e0,98i
b 3, 61e −0,98i
27 a −2, 08 + 4,55i
1
2 πi
5
.
c 5,10e 2,94i
e 13, 00e −0,39i
d 7, 21e −2,16i
f 7, 28e1,29i
b 2, 08 − 4,55i
c 1, 73 + i
Noordhoff Uitgevers bv
9
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
1
28 a α = 9 + 3 = 12 = 2 3 en ϕ = 16 π → α = 2 3e 6
β = 4 + 4 = 8 = 2 2 en ϕ = 14 π → β = 2 2e
πi
1
πi
4
b αβ = (3 + i 3)(2 + 2i ) = 6 + 6i + 2i 3 − 2 3 = 6 − 2 3 + (6 + 2 3)i
αβ = α β = 12 ⋅ 8 = 96 = 4 6 en ϕ = 16 π + 14 π = 125 π → αβ = 4 6 e
π=
6+2 3
36 + 12
6+ 2 1
=
=
= ( 6 + 2)
4
4
4 6
4 6
cos 750 = cos π =
6−2 3
36 − 12
6− 2 1
=
=
= ( 6 − 2)
4
4
4 6
4 6
c sin 750 = sin
5
12
5
12
tan 750 = tan
5
πi
12
5
6 + 2 3 6 + 2 3 6 + 2 3 36 + 24 3 + 12 48 + 24 3
=
⋅
=
=
= 2+ 3
π=
12
36 − 12
24
6−2 3 6−2 3 6+2 3
29 a (eix ) 2 = eix ⋅ eix = e 2ix
eiu
= ei ( u − v )
eiv
c eiϕ = (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos ϕ − i sin ϕ , e− iϕ = cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ ) = cos ϕ − i sin ϕ
b eiv ⋅ ei (u − v ) = eiv +iu −iv = eiu →
eix + e − ix cos x + i sin x + cos(− x) + i sin(− x) cos x + i sin x + cos x − i sin x
=
=
= cos x
2
2
2
eix − e− ix cos x + i sin x − cos(− x) − i sin(− x) cos x + i sin x − cos x + i sin x
b
=
=
= sin x
2i
2i
2i
30 a
(eiϕ ) 2 = (cos ϕ + i sin ϕ )2 = cos 2 ϕ + 2i cos ϕ sin ϕ − sin 2 ϕ = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + 2i cos ϕ sin ϕ
31
ei⋅2ϕ = cos 2ϕ + i sin 2ϕ
Hier staat twee keer hetzelfde, dan is cos 2ϕ = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ en sin 2ϕ = 2sin ϕ cos ϕ
32 a z 2 = ei⋅(π + k ⋅2π ) → z = e
b z =e
2
i ⋅( − 12 π + k ⋅2π )
i ⋅ 12 π
→z=e
=i∨z =e
i⋅1 12 π
= −i
i ⋅− 14 π
=
i ⋅ 61 π
=
1
2
6 + 12 i 2 ∨ z = 2e
i⋅116 π
= − 12 6 − 12 i 2
i ⋅ 13π
=
1
2
2 + 12 i 6 ∨ z = 2e
i ⋅113π
= − 12 2 − 21 i 6
c z 2 = 2e
i⋅( 13π + k ⋅2π )
→ z = 2e
d z 2 = 2e
i⋅( 23 π + k ⋅2π )
→ z = 2e
1
2
2 − 12 i 2 ∨ z = e
i ⋅ 43 π
= − 12 2 + 12 i 2
33 a z 2 = 40ei .(0,32+ k ⋅2π ) → z = 2,514ei⋅0,161 = 2, 48 + 0, 40i ∨ z = 2,514ei⋅3,302 = −2, 48 − 0, 40i
b z 2 = 34ei⋅(2,601+ k ⋅2π ) → z = 2, 415ei⋅1,301 = 1,19 + 2,10i ∨ z = 2, 415ei⋅4,442 = −1,19 − 2,10i
c z 2 = 50ei⋅( −0,14 + k ⋅2π ) → z = 2, 659ei⋅−0,071 = 2, 65 − 0,19i ∨ z = 2, 659ei⋅3,071 = −2, 65 + 0,19i
d z 2 = 89ei⋅(4,26 + k ⋅2π ) → z = 9, 434ei⋅2,129 = −5 + 8i ∨ z = 9, 434ei⋅5,271 = 5 − 8i
e z 2 = 50ei⋅( −0,79+ k ⋅2π ) → z = 2, 659ei⋅−0,393 = 2, 46 − 1, 02i ∨ z = 2, 659ei⋅2,749 = −2, 46 + 1, 02i
f
z 2 = 5ei⋅( −0,93+ k ⋅2π ) → z = 2, 336ei⋅−0,464 = 2 − i ∨ z = 2,336ei⋅2,678 = −2 + i
Opmerking: Je kunt ook één van de antwoorden direct via de GRM vinden met de
normale worteltoets. Het tweede antwoord is dan geen probleem meer.
Noordhoff Uitgevers bv
10
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
34 z 3 = α ei⋅ϕ + k ⋅2π → z = 3 α e
1
2
i ⋅( ϕ + k ⋅ π )
3
3
→z=3 αe
1
i⋅ ϕ
3
∨z= 3 αe
1 2
i ⋅( ϕ + π )
3 3
∨z= 3 αe
1 4
i ⋅( ϕ + π )
3 3
waarbij ϕ = arg( α )
i ⋅(0 + k ⋅2π )
2
i⋅ π
3
i ⋅0
4
i⋅ π
3
35 a z = e
→z=e ∨z=e ∨z=e
1
z = 1 ∨ z = − 2 + 12 i 3 ∨ z = − 12 − 12 i 3 (tekeningen hieronder)
3
1
i ⋅( π + k ⋅2π )
2
1
2
i ⋅( π + k ⋅ π )
6
3
b z =e
→z=e
→z=e
1
1
1
1
z = 2 3 + 2 i ∨ z = − 2 3 + 2 i ∨ z = −i
3
1
i⋅ π
6
1
2
i ⋅( π + k ⋅ π )
3
3
i ⋅(π + k ⋅2π )
∨z=e
5
i⋅ π
6
1
i⋅ π
3
∨z=e
1
i ⋅1 π
2
2
i ⋅1 π
3
i ⋅π
c z = 27e
→ z = 3e
→ z = 3e ∨ z = 3e ∨ z = 3e
1
1
1
1
z = 3( 2 + 2 i 3) = 1 2 + 1 2 i 3 ∨ z = −3 ∨ z = 3( 12 − 12 i 3) = 1 12 − 1 12 i 3
3
1
1
i ⋅( π + k ⋅ π )
4
2
i ⋅( π + k ⋅2 π )
1
i⋅ π
4
3
i⋅ π
4
1
i ⋅1 π
4
3
i ⋅1 π
4
d z =e
→z=e
→z=e ∨z=e ∨z=e
∨z=e
1
1
1
1
1
1
z = 2 2 + 2 i 2 ∨ z = − 2 2 + 2 i 2 ∨ z = − 2 2 − 2 i 2 ∨ z = 12 2 − 12 i 2
4
2
i ⋅( π + k ⋅2π )
3
1
1
i ⋅( π + k ⋅ π )
6
2
1
i⋅ π
6
2
i⋅ π
3
→ z = 2e
→ z = 2e ∨ z = 2e ∨ z = 2e
e z = 16e
1
1
z = 2( 2 3 + 2 i ) = 3 + i ∨ z = 2( − 12 + 12 i 3) = −1 + i 3 ∨
4
1
i ⋅1 π
6
∨ z = 2e
2
i ⋅1 π
3
z = 2( − 12 3 − 12 i ) = − 3 − i ∨ z = 2( 12 − 12 i 3) = 1 − i 3
f
z = 729e
6
i ⋅(0 + k ⋅2π )
→ z = 3e
1
i⋅ π
3
i ⋅0
1
i ⋅(0+ k ⋅ π )
3
→
2
i⋅ π
3
1
i ⋅1 π
3
i⋅π
2
i ⋅1 π
3
z = 3e ∨ z = 3e ∨ z = 3e ∨ z = 3e ∨ z = 3e
∨ z = 3e
1
1
1
1
1
1
z = 3 ∨ z = 3( 2 + 2 i 3) = 1 2 + 1 2 i 3 ∨ z = 3( − 2 + 2 i 3) = −1 12 + 1 12 i 3 ∨
z = −3 ∨ z = 3( − 21 − 21 i 3) = −1 21 − 1 21 i 3 ∨ z = 3( 21 − 12 i 3) = 1 12 − 1 12 i 3
a
b
•
•1
–1
1
d
•
•
•
1
•
–i
•
f
i
•
3
–3i
e
–1
•
–3
–i •
–i
•
3i
•
•
–1
•
c
i
i
2i
•
3i
•
•
2
–2
•
–2i
•
•3
•
–3
•
–3i
•
Noordhoff Uitgevers bv
11
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Kern 4
36 a
f (1) = 1 + i; f (i ) = i − 1 = −1 + i; f (−1) = −1 − i; f (1 + i ) = (1 + i )2 = 1 + 2i − 1 = 2i
y
2i
•
b
v
2i •
••
•
4
2
x
f(1 + i)
f(i) •
• f(1)
f(–1)•
2
4
u
f (0) = 0; f (−2 − 2i ) = −4i; f (−4i ) = −4i + 4 = 4 − 4i . Zie de tekening bij vraag a.
c Een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O met factor
1
2 en hoek π rad.
4
37 a Het beeld van het middelpunt is f (3) = 3 + 3i 3 en de straal wordt 2 ⋅ 2 = 4 .
b
z − 3 − 3i 3 = 4
c Het beeld van het middelpunt is f ( 3 + i ) = (1 + i 3)( 3 + i ) = 3 + i + 3i − 3 = 4i en
de straal wordt 2 ⋅ 3 = 6 .
De vergelijking is z − 4i = 6
38
f ( z ) = (3 + 4i ) z is een draaivermenigvuldiging ten opzichte van O met factor 5 en een
4
draaihoek van inv tan = 0,93 = 0,3π rad ofwel 530.
3
f (1) = 3 + 4i en f (1 + i ) = (3 + 4i )(1 + i ) = 3 + 3i + 4i − 4 = −1 + 7i .
Je kunt nu de grenzen tekenen.
y
v
2i
2i
2
39 a α = 2e
1
i ⋅− 14 π
π
4
x
1
i ⋅− π
2
d α = 2e
2
i⋅ π
3
4
u
= 2(cos( − 14 π ) + i sin( − 14 π )) = 2( 21 2 − 12 i 2 ) = 1 − i ; a = 1 ∧ b = −1
b α = e 6 = cos 16 π + i sin 16 π =
c α = 3e
2
1
2
3 + 12 i ; a =
1
2
3 ∧b =
1
2
= −3i ; a = 0 ∧ b = −3
= 2(cos 23 π + i sin 23 π ) = 2( − 12 + 12 i 3) = −1 + i 3 ; a = −1 ∧ b = 3
Noordhoff Uitgevers bv
12
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
40 a Een draaivermenigvuldiging met factor 1 en hoek 13 π .
b Over − 13 π .
c Over −1 13 π of over 23 π .
41 a
f (0) = −1; f (2) = 4i − 1 = −1 + 4i; f (3i ) = −6 − 1 = −7
y
v
2i
2i
2
4
x
2
–2
u
b x + iy → x − 1 + iy → 2ix − 2i − 2 y = 2ix − 2 y − 2i = 2i ( x + iy ) − 2i = 2iz − 2i
De functie is f ( z ) = 2iz − 2i .
42
Voor de punten A, B en C geldt:
2λ + µ = 4
(2 + 2i )λ + µ = 2 + 2i
2iλ + µ = 0 → µ = −2iλ
Als je µ = −2iλ invult in 2λ + µ = 4 krijg je
4
2
2(1 + i )
2λ − 2iλ = 4 → λ =
=
=
= 1 + i , dus µ = −2i (1 + i ) = 2 − 2i .
2 − 2i 1 − i
2
Controle van de derde vergelijking geeft
(2 + 2i )(1 + i ) + 2 − 2i = 2 + 2i + 2i − 2 + 2 − 2i = 2 + 2i en dat klopt.
De functie is f ( z ) = (1 + i ) z + 2 − 2i .
of
f is een draaivermenigvuldiging ten opzichte van β met factor 2 en een hoek van 14 π
1
1
4
4
rad. Dus is w − β = δ ( z − β ) met δ = 2(cos π + i sin π ) = 1 + i .
f ( z ) = w = (1 + i )( z − β ) + β = (1 + i )( z − 2 − 2i ) + 2 + 2i
= (1 + i ) z − 2 − 2i − 2i + 2 + 2 + 2i = (1 + i ) z + 2 − 2i
e (3 − 4i ) 2 = 9 − 24i − 16 = −7 − 24i
43 a e2i
b 9e − 2 i
1
f (1 + i 2) 2 = 1 + 2i 2 − 2 = −1 + 2i 2
πi
c 64e 2 =64i
g (7 − i ) 2 = 49 − 14i − 1 = 48 − 14i
d 16e 4i
h ( + i 3) 2 = + i 3 − = − + i 3
1
1
1
1
3
1
1
2
2
4
2
4
2
2
Noordhoff Uitgevers bv
13
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
44 a Zie tekening linksonder.
v
8i •
y
•
•
2i •
•
•2
•
•
2i
•
x
4
•
–4
•4 u
2
–8i •
b De beelden zijn 0, 4, 4, −4, −4,8i, −8i (zie tekening rechtsboven).
2
2
2
3
3
3
c De argumenten worden verdubbeld, arg(z) = π en arg(z) = 2 π of arg(z) = π .
d De modulus wordt gekwadrateerd, z = 9
1
1
2
2
e Het beeld is z = 4 met arg(z) = π en arg(z) = − π , maar wel de rechter helft!
y
v
2i
2i
2
4
x
2
4
u
f De modulus wordt gekwadrateerd, maar 12 = 1. De punten op de eenheidscirkel blijven
op de eenheidscirkel, maar niet op hun plaats want het argument wordt verdubbeld. De
cirkel wordt eigenlijk twee keer doorlopen.
g Na kwadrateren moet het argument 0 + k ⋅ π zijn. Als je deze argumenten halveert kom
je op de reële of de imaginaire as uit.
1
h Na kwadrateren moet het argument π + k ⋅ π zijn.
2
Als je deze argumenten halveert kom je uit op Re(z) = ± Im(z).
1
1
3
6
i Na verdubbeling krijg je π + k ⋅ 2π , dan had je π + k ⋅ π .
1
1
6
6
De originelen: arg(z) = π en arg(z) = 1 π .
Noordhoff Uitgevers bv
14
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
v
45 a Zie tekening linksonder.
8i •
y
•
•
•
•
•
•
2i
2i
4
x
•4 u
2
•
–8i•
b Bijvoorbeeld de volgende getallen:
f (2) = 4; f (2 + i ) = 4 + 4i − 1 = 3 + 4i; f (2 + 2i ) = 4 + 8i − 4 = 8i;
f (2 − i ) = 4 − 4i − 1 = 3 − 4i; f (2 − 2i ) = 4 − 8i − 4 = −8i
c
f (2 + iy ) = 4 − y 2 + i ⋅ 4 y
u = 4 − y2
1
v = 4y → y = v
4
1
1
4
16
y = v invullen geeft u = 4 −
v2
v
d Zie rechtsboven bij vraag a (de rode lijn).
46 a
8i •
y
f (−2 + iy ) = 4 − y 2 − i ⋅ 4 y
•
u = 4 − y2
1
v = −4 y → y = − v
4
1
1
4
16
y = − v invullen geeft u = 4 −
v2 .
•
•
•
•
•
2i
2i
2
4
x
•4 u
2
•
Dit is dezelfde parabool als bij som 45.
–8i •
v
b
8i
f ( x − 3i ) = x − 9 − i ⋅ 6 x
2
•
y
u = x2 − 9
1
v = −6 x → x = − v
1
1
6
36
x = − v invullen geeft u =
2i
2i
6
v2 − 9 .
2
4
x
• –8
–6 –4
2
u
•••••
•
–8i
Noordhoff Uitgevers bv
15
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
c
f ( x + ix) = x 2 − x 2 + i ⋅ 2 x 2 = i ⋅ 2 x 2
u=0
y
v = 2 x2
v
2i
2i
1
Het beeld is arg(w) = π .
2
4
x
2
4
u
2
4
u
2
(de positieve reële as)
d
f ( x − ix) = x 2 − x 2 − i ⋅ 2 x 2 = −i ⋅ 2 x 2
u=0
v = −2 x 2
y
v
2i
2i
1
Het beeld is arg(w) = − π .
2
2
4
x
(de negatieve imaginaire as)
47 a
f ( p + iy ) = p 2 − y 2 + i ⋅ 2 py
u = p2 − y2
v = 2 py → y =
y=
v
2p
v
v2
invullen geeft u = p 2 − 2
2p
4p
f (− p + iy ) = p 2 − y 2 − i ⋅ 2 py
u = p2 − y2
v = −2 py → y = −
b
v
2p
v
v2
2
y=−
invullen geeft u = p − 2
2p
4p
f ( x + iq ) = x 2 − q 2 + i ⋅ 2qx
u = x2 − q 2
v = 2qx → x =
x=
v
2q
v2
v
invullen geeft u = 2 − q 2
2q
4q
f ( x − iq ) = x 2 − q 2 − i ⋅ 2qx
u = x2 − q 2
v = −2qx → x = −
v
v2
x=−
invullen geeft u = 2 − q 2
2q
4q
v
2q
Ja dus.
48 a Zie som 47a: u = a 2 −
v2
.
4a 2
v2
→ 4a 2u = 4a 4 − v 2 → v 2 = −4a 2 (u − a 2 )
2
4a
De top is (a 2 , 0) en 2 p = −4a 2 → p = −2a 2 , de afstand is 12 p = a 2 .
c (0, 0)
d Als a = 0 . Het beeld is dan arg(w) = π , dus de negatieve reële as.
b u = a2 −
Noordhoff Uitgevers bv
16
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Kern 5
49 a z5 –54 + 83i; z6 –3928 – 9143i
b |zn| gaat naar oneindig.
c Nee, in beide gevallen gaat de baan naar –0,14 + 0,39i.
50
0, –i, –1– i, i, –1 –i, i, ...rij periodiek vanaf z3 met periode 2.
i, –1 – i, i, ..... rij periodiek met periode 2.
1, 1 – i, –3i, –9 – i, 80 + 17i, 6111 + 2719i, ..... termen gaan naar oneindig.
–0,3 – 0,625i, …, z10 –0,3036 – 0,63214i, …, z20 –0,5154 – 0,5963, ...
z30 1,8049 – 0,1586i, ... , z35 325005543 – 1240185818i, ....
de termen gaan naar oneindig.
51 a
b
c
d
z 2 + 0,16 = z geeft z 2 − z + 0,16 = 0 ( z − 0, 2)( z − 0,8) = 0
De baan van z0 gaat naar 0,2
De banen van 0,5 en 0,79 gaan naar 0,2; de baan van 0,81 naar oneindig.
0,2
52 a Kies 5 cm als eenheid.
|z0| = 0,8 en arg(z0) = 181 rad = 20°; |z1| = 0,64 en arg(z1) = 40°;
|z2| 0,41 en arg(z2) = 80°; |z3| 0,17 en arg(z3) = 160°;
|z4| = 0,03 en arg(z4) = 320°
1
i
b z0 = e 18 : alle moduli zijn 1, voor argumenten zie a.
1
i
z0 = 1, 2e 18 ; |z1| = 1,44; |z2| 2,1; z3
Voor argumenten zie a.
c z=0 ∨ z=1
d 0 is aantrekkend.
e De baan ligt op de cirkel |z| = 1.
4,3; |z4|
18,5
53 a Als f( ) niet op J(c) ligt, is de baan van f( ) of begrensd, maar niet op J(c), of
onbegrensd. In beide gevallen geldt dat dan ook voor de baan van .
Maar dan ligt niet op J(c)!
b Dat spreekt nu vanzelf
54 a z2 = –1 geeft z = i v z = –i
b z2 = i geeft z = 21 2 + 12 i 2 ∨ z = − 12 2 − 21 i 2
z2 = –i geeft z =
1
2
2 − 12 i 2 ∨ z = − 12 2 + 21 i 2
55 a z 2 − 43 = − 12 geeft z 2 = 14 , dus z = − 12 ∨ z =
zijn − 12 5 en
1
2
5
b De ouders van
1
2
De ouders van
1
2
5 zijn in twee decimalen nauwkeurig 1,37 en –1,37
De ouders van
1
2
5 zijn 0,6i en –0,6i
1
2
Noordhoff Uitgevers bv
17
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
56 a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
57 a
0,25 samenhangend, gaat naar 0,5
0,26 niet samenhangend
0,5 niet samenhangend
–0,5 samenhangend, gaat naar –0,366..
0,5i samenhangend, gaat naar –0,136 + 0,393i
i samenhangend, want baan periodiek, dus ook begrensd
0,6i samenhangend, gaat naar –0,171 + 0,447i
0,7i niet samenhangend
–1 samenhangend (periodiek)
–1,1 samenhangend (tweecyclus tussen 0,09 en –1,09)
–1,5 samenhangend? (lijkt begrensd)
–2 begrensd
1
2
− vn = ( 12 − vn −1 )( 12 + vn −1 ) = 14 − vn −12 . Hieruit: vn = vn −12 + 14 ; c =
1
4
b vn = vn −12 ; c = 0
c
d –0,75 −0, 75 < c ≤ 0, 25
e In de snijpunten van het niervormige gebied met de reële as.
58
|2z| < 1, dus | z | < 12 , dus binnen de cirkel met middelpunt 0 en straal
59 a
b
c
d
e
c = 0: z = 0 (aantrekkend) en z = 1
c = 0,25: z = 0,5 (onbepaald, grensgeval)
c = 0,75: z = –0,5 (onbepaald) en z = 1,5
c = –2: z = –1 en z = 2
c = 14 − 18 i : z = 43 + 14 i ∨ z = 14 − 14 i . De laatste is aantrekkend (|z| < 0,5).
1
2
.
1
3
1
3
f c = − 15
32 i : z = 1 8 + 8 i ∨ z = − 8 − 8 i . De laatste is aantrekkend.
60 a
b
c
d
z = –0,75 en z = 0,25
c = –0,9: limieten: –0,8873 en–0,1127
c = –1 + 0,2i: limieten: –1,0339 + 0,1873i en 0,0339 – 0,1873i
c = –0,8+0,1i: limieten: –0,7844 + 0,1758i en –0,2156 – 0,1758i
Noordhoff Uitgevers bv
18
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
Kern 6
61 a U (t ) = 12ei⋅100
t
b U (t ) = 120ei⋅500
t
62 a U = 230 sin(200 t)
b I ( t ) = 4e
i⋅(100 t + 12 )
63 a Rtot = 30
b Rtot = 6 23 Ω
64
Bij een wisselspanning U hoort de complexe functie U (t ) = U max ⋅ eiωt .
a U ′(t ) = U max ⋅ eiωt ⋅ iω = iω ⋅ U (t )
b I (t ) = C ⋅ U ′(t ) = C ⋅ iω ⋅ U (t ) , dus U (t ) =
c ZC = −
1
i
⋅ I (t ) = −
⋅ I (t ) .
iωC
ωC
i
ωC
d arg(U (t )) = arg( I (t )) − arg( −
1
i) = arg( I (t )) − 12 .
ωC
65 a U (t ) = L ⋅ I ′(t ) = L ⋅ I max eiωt ⋅ iω = iω L ⋅ I (t ) .
b ZL = i L
c arg(U (t )) = arg(ω L ⋅ i) + arg( I (t )) = arg( I (t )) + 12
de stroom loopt een kwart periode in fase achter op de spanning
66
| Z L | = | iω L | = | ω L | , dus L =
67 a ω = 800 rad/s, f =
11000
≈ 1, 2 mH
2 ⋅ 1500000
ω
≈ 127 Hz
2
i
1
1
b | ZC | = | −
|=|
| , 4000 =
, dus
ωC
ωC
0, 000 005ω
68 a U (t ) = 200ei⋅200
= 50 rad/s, f = 8,0 Hz
t
i
≈ −53,05i
200 ⋅ 0,000 030
c Z L = i ⋅ 200 ⋅ 0, 2 ≈ 125,66i
b ZC = −
d Z = Z C + Z L = −53,05i + 125, 66i = 72, 61i ; |Z| = 72,6 en arg(Z) =
1
1
1
e
=
+
≈ −91,8i ; |Z| = 91,8 en arg(Z) = − 12
Z −53,05i 125,66i
1
2
Noordhoff Uitgevers bv
19
Netwerk 5-6 vwo wiskunde D Hoofdstuk 7 uitwerkingen
69
U(t) = 110ei 200 t; ZC = –7957,7i; Z = 50 – 7957,7i; |Z| = 7957,9, arg(Z) = – 1,56
| U (t ) |
110
| I (t ) | =
=
= 13,8mA
|Z |
7957, 9
arg( I (t )) = arg(U (t )) − arg( Z ) = 200 t + 1,56
I = 13,8sin(200 t + 1,56)
70
Z = 49,998 – 0,314i; |Z| = 49,999, arg(Z) = –0,0063;
|I(t)| = 2,2 A; arg( I (t )) = arg(U (t )) − arg( Z ) = 200 t − 0,0063
I = 2,2sin(200 t – 0,0063)
71 a ZL = 10 i; Z = 15 + 10 i; |Z| = 34,81, arg(Z) = 1,1253;
I = 9,3 sin(100 t +1,13)
1
1
1
b ZC = –79,58i; ZL = 12,57i; =
+
≈ 0,0358 − 0, 0100i ;
Z Z C 20 + Z L
Z = 25,90 + 7,19i; |Z| = 26,878 en arg(Z) = 0,27
I = 12,1sin(100 t + 0,27)
c Z = 100 – 6366,20i + 31,42i = 100 – 6334,78i;
|Z| = 6335,6 en arg(Z) = –1,56; I = 6336sin(100 t – 1,56)
72 a U (t ) = 325ei⋅100 t ; ZC = –106,10i; ZL = 37,30i
IR = 3,25 sin(100 t); IC(t) = 3,06i ei⋅100 t =3,06 e
i⋅100 t
i⋅100 t + 12
;
i⋅100 t − 12
IL(t) = – 8,62i e
= 8,62 e
IC = 3,06sin(100 t + 12 ) en IL = 8,62sin(100 t –
b Z = 25,48 + 43,58i; |Z| = 50,48 en arg(Z) = 1,04
I = 6,44sin(100 t + 1,04).
1
2
)
Noordhoff Uitgevers bv

Download Report