FACULTEIT WETENSCHAPPEN
Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek
Temperatuurderivaten
Sarah Vanhuylenbroeck
Promotor: Prof. dr. M. Vanmaele
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de
wiskunde, afstudeerrichting toegepaste wiskunde.
Academiejaar 2013 - 2014
Voorwoord
Door te kiezen voor de minor economie in mijn bachelor en de minor economie en verzekeringen in mijn masteropleiding, wilde ik in mijn masterproef een onderwerp behandelen
dat bij deze opleidingen aanleunt. De keuze voor een onderwerp in verband met financiele wiskunde was dus snel gemaakt. Ik wilde ook graag een onderwerp behandelen dat
aansluit bij het dagelijkse leven. Toen mijn promotor Prof. dr. M. Vanmaele mij vertelde dat recent de focus eerder op weerderivaten, zoals afgeleide producten met wind en
temperatuur als onderliggende, gevestigd is en daar de aandacht in het bijzonder gaat
naar het modelleren van wind en temperatuur, heb ik besloten om mijn masterproef
aan temperatuurderivaten te wijden. Het schrijven van deze masterproef was een zeer
leerrijke ervaring en ik ben dan ook erg blij dat ik voor dit onderwerp gekozen heb.
Eerst en vooral wil ik mijn promotor Prof. dr. M. Vanmaele bedanken voor de tijd die
zij vrijgemaakt heeft om mij te begeleiden bij het schrijven van deze masterproef. Ik wil
haar ook danken voor de raad die ze mij gegeven heeft en voor het nalezen en verbeteren
van eerdere versies van mijn masterproef.
Ik dank ook het KMI, en in het bijzonder Alex Dewalque, omdat zij hun temperatuurgegevens ter beschikking stelden voor mijn masterproef.
Vervolgens wil ik ook mijn ouders bedanken, omdat zij het voor mij mogelijk hebben
gemaakt om te studeren en zij nog steeds op alle mogelijke manieren voor mij klaarstaan.
Verder bedank ik ook Linda Golden, Chuanhou Yang, Maximilian Wimmer en David
Stillberger omdat zij de tijd namen om mijn vragen over hun papers te beantwoorden.
Tot slot dank ik ook mijn vrienden en mijn vriend, omdat zij voor de nodige ontspanning
zorgden, niet alleen tijdens de periode waarin ik mijn masterproef schreef, maar in mijn
volledige carri`ere als student.
i
ii
Toelating tot bruikleen
De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen
en delen van de masterproef te kopi¨eren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik
valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de
verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze
masterproef.
Sarah Vanhuylenbroeck, mei 2014
iii
iv
Inhoudsopgave
Inleiding
1
1 Temperatuurderivaten en temperatuurindices
3
2 Modellering van de temperatuur
7
2.1
Dynamische econometrische modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.1
MA-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.2
AR-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1.3
ARMA-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.4
ARIMA-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.5
SARIMA-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.6
GARCH-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
CAR-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Tijdscontinue modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3.1
Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.2
Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Praktijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4.1
Het model van Campbell en Diebold . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.2
Het Alaton-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4.3
Het Benth-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.4.4
Econometrische modellen voor Belgische temperatuurdata . . . .
29
Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.4
2.5
3 Temperatuurderivaten prijzen
55
3.1
Black-Scholes-Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2
Historical burn analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2.1
Prijzen op basis van HBA met Belgische temperatuurdata . . . .
62
Indexmodellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.3
v
3.4
3.5
3.6
Dagelijkse simulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.4.1
Discreet proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.4.2
Continu proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.4.3
Prijzen op basis van discrete dagelijkse simulatie . . . . . . . . . .
70
3.4.4
Prijzen op basis van continue dagelijkse simulatie . . . . . . . . .
71
3.4.5
Prijzen met behulp van weersvoorspellingen . . . . . . . . . . . .
97
Alternatieve methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5.1
Indifference valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.5.2
Equilibrium valuation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A Anderstalige samenvatting
119
B R-code
123
B.1 Algemene eigenschappen van de tijdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.2 Differentie-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B.3 Fourierreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.4 Prijzen op basis van discrete dagelijkse simulatie . . . . . . . . . . . . . . 133
C Figuren
135
vi
Inleiding
Op klimatologisch vlak leek 2013 een jaar van grote extremen. De koude winter, met nog
een sneeuwstorm op 12 maart, werd moeiteloos gevolgd door een prachtige zomer. Dit
soort onverwachte weersomstandigheden houden echter een zeker risico in voor bepaalde
bedrijven (denk bijvoorbeeld aan bioscopen die tijdens een mooie zomer het aantal bezoekers zien dalen) en hebben hierdoor een grote invloed op de economie. Dit betekent
dat het weer steeds vaker een bijkomende zorg wordt voor de risicomanagers van bedrijven. De financi¨ele markt biedt sinds 1996 − 1997 echter een product aan om weerrisico’s
te hedgen, namelijk weerderivaten. Deze speciale vorm van derivaten is er vooral gekomen onder impuls van de elektriciteitsbedrijven. Zij zijn immers zeer gevoelig voor de
weersomstandigheden (gedurende een zachte winter verwarmen de mensen hun huizen
minder) en zochten naar een middel om deze gevoeligheid te milderen. Weerderivaten
zijn geen verzekeringen, dit wil zeggen dat ze ingevoerd werden om niet-catastrofale
weersomstandigheden te dekken. Op die manier zullen zij niet de schade door een orkaan (dit komt zelden voor) dekken, maar wel bijvoorbeeld het verlies aan inkomsten
van een horecazaak aan de kust door een slechte zomer. Derivaten, in het algemeen,
zijn financi¨ele instrumenten die hun waarde ontlenen aan een onderliggend actief (de
onderliggende), bijvoorbeeld aandelen of goud. Weerderivaten hebben als specifieke onderliggende het weer (met name temperatuur, regen, sneeuwval,. . . ). Zoals de andere
financi¨ele derivaten kunnen weerderivaten zowel gebruikt worden om een risico te hedgen
als voor speculatie. Er is echter ook een belangrijk verschil met andere derivaten. De
onderliggende (d.i. het weer) is niet verhandelbaar en heeft hierdoor geen waarde. Om
dit probleem op te lossen worden weerindices ingevoerd, deze worden dan gebruikt als
onderliggend actief. De meerderheid van de verhandelde weerderivaten wordt geschreven op temperatuurindices. Dit is hoofdzakelijk het geval omdat de meerderheid van de
bedrijven die in weerderivaten handelen energiebedrijven zijn en hun inkomsten vooral
afhankelijk zijn van de temperatuur. Hierdoor zullen we ons in deze studie dan ook
beperken tot temperatuurderivaten. Deze studie is tweeledig, zowel het modelleren van
1
2
de temperatuur als het prijzen van een derivaat zal worden besproken.
Deze masterproef is opgebouwd uit drie hoofdstukken. Hoofdstuk 1 is eerder een inleidend hoofdstuk waarin we de definities geven van de temperatuur en de verschillende
temperatuurindices die we beschouwen. Deze definities zullen doorheen de masterproef
gebruikt worden.
In Hoofdstuk 2 behandelen we het eerste aspect van deze studie, namelijk het modelleren van de temperatuur. Eerst en vooral belichten we de theorie van de vaak gebruikte
econometrische basismodellen en stochastische differentiaalvergelijkingen. Daarna beschrijven we in Sectie 2.4 enkele modellen die in de literatuur vaak besproken worden.
We stellen, tot slot, ook zelf twee econometrische modellen voor om de Belgische temperatuur te beschrijven. Het eerste model specifieert de seizoenseffecten aan de hand
van de differentie-operator, terwijl het tweede model een Fourierreeks gebruikt om deze
effecten voor te stellen. Dit laatste model gaan we vervolgens in Hoofdstuk 3 gebruiken
om een fictieve calloptie te prijzen.
Het derde en laatste hoofdstuk behandelt het tweede aspect van deze studie, het effectief prijzen van temperatuurderivaten. We bespreken er verschillende methoden om
temperatuurderivaten te gaan prijzen. Eerst en vooral gaan we kijken naar het BlackScholes-Merton-model, maar dit bekende model voor het prijzen van financi¨ele derivaten
kan voor temperatuurderivaten niet gehanteerd worden. Hierdoor bestaan er heel wat
alternatieven. De eenvoudigste van deze methoden is historical burn analysis en
deze aanpak wordt dan ook als eerste besproken. Aangezien deze methode simpel uit
te voeren is, berekenen we in Sectie 3.2.1 de numerieke prijs van een fictieve calloptie
gebruik makend van Belgische temperatuurdata. Een volgende, iets complexere methode
is indexmodellering. Deze methode onderstelt een bepaalde verdeling voor de gebruikte
temperatuurindex. Daaropvolgend bespreken we een techniek die nauwkeuriger is dan
de twee voorgaande methodes. Dit is het prijzen van temperatuurderivaten aan de hand
van dagelijkse simulatie. Deze methode maakt gebruik van een model voor de temperatuur om een derivaat te prijzen, hier komt de kennis uit Hoofdstuk 2 dus van pas. We
bespreken in Sectie 3.4.3 en 3.4.4, respectievelijk, hoe we een discreet en een continu model voor de temperatuur kunnen gebruiken om temperatuurderivaten expliciet te gaan
prijzen. Tot slot bespreken we in Sectie 3.5 enkele methoden die ontwikkeld werden om
derivaten in incomplete markten te prijzen. Omdat de markt voor het weer incompleet
is, kunnen deze methoden ook gebruikt worden om temperatuurderivaten te prijzen. Het
zijn voornamelijk methoden die gebruik maken van zogenaamde nutsfuncties.
Hoofdstuk 1
Temperatuurderivaten en
temperatuurindices
Zoals reeds in de inleiding vermeld werd, zijn temperatuurderivaten financi¨ele instrumenten waarvan de payoff afhankelijk is van de temperatuur. Daar temperatuur niet
kan worden opgeslagen en dus ook niet verhandelbaar is, heeft deze geen prijs. Omdat
dit betekent dat de onderliggende geen waarde heeft, worden vaak zogenaamde temperatuurindices gebruikt als onderliggende. Volgens Alexandridis and Zapranis (2013) zijn
de meest gebruikte indices de Heating Degree Days (HDD), de Cooling Degree Days
(CDD), de Cumulative Average Temperature (CAT) en de Pacific Rim (PR) index.
Vooraleer we deze indices kort bespreken, merken we nog op dat de temperatuur volgens
Alaton et al. (2002) als volgt wordt gedefinieerd.
Definitie 1. Gegeven een specifiek weerstation. Zij Timax en Timin respectievelijk de
maximum- en minimumtemperatuur (in graden Celsius) gemeten op dag i, dan is de
temperatuur op dag i
Ti =
Timax + Timin
.
2
(1.1)
De meerderheid van de temperatuurderivaten is gebaseerd op de accumulatie van HDDs
of CDDs tijdens een bepaalde periode (een maand of de winter/zomerperiode) en deze
worden het vaakst gebruikt in de VSA, Canada en Australi¨e. Gewoonlijk omvat het
HDD-seizoen de wintermaanden van november tot en met maart en omvat het CDDseizoen de zomermaanden van mei tot en met september; april en oktober worden vaak
de flankmaanden genoemd.
De referentiewaarde voor de HDD- en CDD-index is 18◦ C. De reden hiervoor is dat
3
4
Hoofdstuk 1. Temperatuurderivaten en temperatuurindices
mensen bij een temperatuur lager dan 18◦ C hun huis verwarmen (heating) en bij een
temperatuur boven 18◦ C eerder hun airco gebruiken (cooling). Een HDD staat dan
ook voor het aantal graden dat de dagtemperatuur lager is dan 18◦ C en een CDD geeft
het aantal graden aan dat de dagtemperatuur boven 18◦ C is. Samengevat krijgen we de
volgende definitie volgens Alaton et al. (2002).
Definitie 2. Zij Ti de temperatuur op dag i. We defini¨eren de heating degree days,
HDDi , en de cooling degree days, CDDi , gegenereerd op die dag als
HDDi = max{18 − Ti , 0},
(1.2)
CDDi = max{Ti − 18, 0},
(1.3)
en
respectievelijk.
In Europa worden hoofdzakelijk temperatuurderivaten voor de zomer met als onderliggende de CAT-index verhandeld. De CAT-index wordt berekend als de som van de
gemiddelde dagtemperaturen tijdens de contractperiode. Zoals in Benth and Benth
(2012), nemen we als referentie voor de gemiddelde dagtemperatuur het gemiddelde van
de maximum- en minimumtemperatuur, zoals in Definitie 1. We krijgen dan de volgende
definitie voor de CAT-index.
Definitie 3. Zij Ti de temperatuur op dag i, dan wordt de cumulative average temperature index over een periode [t1 , t2 ] gedefinieerd als
CAT(t1 , t2 ) =
t2
X
Ti ,
(1.4)
i=t1
waar de periode meestal een kalendermaand of een bepaald seizoen is.
De Pacific Rim index is nog een ander soort temperatuurindex, die hoofdzakelijk gebruikt
wordt in Azi¨e, met name Japan. In Alexandridis and Zapranis (2013) wordt deze index
simpelweg gedefinieerd als het gemiddelde van de CAT-index over een specifieke periode.
Definitie 4. Zij CAT(t1 , t2 ) de CAT-index bepaald over de periode [t1 , t2 ], dan wordt de
Pacific Rim index als volgt gedefinieerd
Pt2
PR(t1 , t2 ) =
Ti
CAT(t1 , t2 )
=
.
t2 − t1
t2 − t1
i=t1
(1.5)
5
De gebruikte temperatuurindex is een belangrijke factor, het is namelijk ´e´en van de parameters die het contract definieert. Volgens Schiller et al. (2012), Alaton et al. (2002)
en Alexandridis and Zapranis (2013) worden temperatuurderivaten bepaald door de volgende parameters:
• de onderliggende index;
• het type contract (calloptie, putoptie, future,. . . );
• de looptijd (contractperiode);
• het uitoefenniveau;
• de tick size, d.i. de hoeveelheid geld die de houder van het contract ontvangt
voor elke indexwaarde boven het uitoefenniveau, vaak gedefinieerd als een bedrag
per indexpunt;
• het weerstation waarvan de gegevens worden verkregen;
• de maximale uitbetaling (als er een bovengrens voor uitbetaling is);
• de premie die door de koper aan de verkoper betaald wordt (bespreekbaar).
6
Hoofdstuk 1. Temperatuurderivaten en temperatuurindices
Hoofdstuk 2
Modellering van de temperatuur
Omdat temperatuurderivaten de temperatuur(index) als onderliggende hebben, zullen
we in dit hoofdstuk een model proberen te vinden dat de temperatuur beschrijft. In de
literatuur worden doorgaans twee groepen van modellering beschouwd, zoals in Schiller
et al. (2012) onderscheiden we de aanpak die gebruik maakt van econometrische (discrete) processen enerzijds en de tijdscontinue aanpak anderzijds. Beiden hebben het
voorspellen van de temperatuur a.d.h.v. een geconstrueerd proces, dat door het model
beschreven wordt, tot doel. De econometrische aanpak is gesteund op het bouwen van
discrete, econometrische modellen die de eigenschappen van de temperatuur implementeren. De tijdscontinue aanpak steunt op stochastische differentiaalvergelijkingen die de
temperatuursveranderingen beschrijven. Omdat de uiteindelijke prijs van het derivaat
deels bepaald wordt door de temperatuur(index), is het belangrijk dat het model de
realiteit goed weergeeft. Zo zal het verkregen model rekening moeten houden met de
seizoenen, aangezien de temperatuur in de winter wel degelijk lager is dan in de zomer.
Er bestaan verschillende modellen die de temperatuurschommelingen beschrijven, velen
zijn echter slechts een toepassing/aanpassing van onderstaande basismodellen.
2.1
Dynamische econometrische modellen
In de literatuur zijn er verschillende studies terug te vinden waarin de temperatuur
gemodelleerd wordt aan de hand van econometrische modellen. Een mooi voorbeeld
hiervan is het model dat voorgesteld wordt door Campbell en Diebold, dit model wordt
in Sectie 2.4.1 besproken. Cao and Wei (2000a) en Caballero et al. (2002) modelleren
de temperatuur eveneens vanuit een econometrisch standpunt. Om deze gedetailleerde
modellen voor de temperatuur te kunnen begrijpen, bespreken we eerst de fundamentele
7
8
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
econometrische modellen.
Voorspellingen maken een belangrijk deel uit van de econometrische analyse, in deze
sectie worden enkele voorspellingsmethoden besproken. Voor deze bespreking baseren
we ons op Gujarati and Porter (2009) en Croux (2013). Om voorspellingen te doen,
hebben we een model nodig, dit model moet de gegevens in de tijdreeks weergeven.
Het proces dat we willen voorspellen moet dan voldoen aan het gevonden model. Aan
de hand van regressie-analyse kunnen we een model opstellen dat de waarschijnlijke
uitkomst van de tijdreeks in de nabije toekomst, gegeven de kennis van de meest recente
uitkomsten, probeert te beschrijven. De econometrische modellen die gebruikt worden
om de temperatuur te modelleren zijn voornamelijk autoregressieve (AR) modellen.
Definitie 5. Een model is autoregressief wanneer het ´e´en of meerdere vorige waarden
van de afhankelijke variabele (Y ) bevat naast de verklarende variabelen (X).
Een voorbeeld van een autoregressief model is
Yt = α + β · Xt + γ · Yt−1 + ut .
Deze modellen worden ook vaak dynamische modellen genoemd, omdat ze een beeld
vormen van het tijdspad van de afhankelijke variabele in relatie tot zijn voorbije waarden.
We zullen nu de verschillende variaties iets meer in detail bespreken. Voor de meeste
van deze variaties is stationariteit van het stochastisch proces Y vereist, we defini¨eren
dit zoals in Croux (2013).
Definitie 6. Zij Y = (Yt )t≥0 het stochastisch proces waaruit de tijdreeks verkregen wordt,
dan is Yt (zwak) stationair als:
• E[Yt ] gelijk is voor elke t;
• Var(Yt ) gelijk is voor elke t;
• Cov(Yt , Yt−k ) gelijk is voor elke t en voor elke k > 0.
2.1.1
MA-model
In deze sectie defini¨eren we het voortschrijdend gemiddelde1 (MA) model. Veronderstel
dat we een stationair stochastisch proces Y als volgt modelleren
Yt = µ + ut + β1 · ut−1 ,
1
In het Engels moving average.
2.1. Dynamische econometrische modellen
9
met µ een constante en u een ongecorreleerde stochastische storingsterm met gemiddelde
0 en constante variantie σ 2 (witte ruis). Hier is Y op tijdstip t gelijk aan een constante
plus een voortschrijdend gemiddelde van de huidige en voorgaande storingstermen. In
dit geval zeggen we dat Y een eerste orde voortschrijdend gemiddelde, MA(1), proces
volgt. Wanneer Y echter voldoet aan
Yt = µ + ut + β1 · ut−1 + β2 · ut−2 ,
dan is het een MA(2)-proces.
Algemeen geldt dat een MA(q)-proces als volgt voorgesteld wordt
Yt = µ + ut + β1 · ut−1 + β2 · ut−2 + · · · + βq · ut−q .
Kortom, een MA-proces is gewoonweg een lineaire combinatie van witte ruis storingstermen.
Tot slot geven we nog mee hoe men kan nagaan of een MA-proces een goed model is om
een bepaalde tijdreeks te beschrijven. De autocorrelaties van een MA-proces gedragen
zich op een bijzondere manier.
Definitie 7. Voor een stationair stochastisch proces Y defini¨eren we de autocorrelatie
van orde k als volgt
Cov(Yt , Yt−k )
Cov(Yt , Yt−k )
ρk = Corr(Yt , Yt−k ) = p
=
.
Var(Yt )
Var(Yt )Var(Yt−k )
De autocorrelaties kunnen geschat worden door
PT
(yt − y¯)(yt−k − y¯)
.
ρˆk = t=k+1
PT
¯)2
t=1 (yt − y
De autocorrelaties van een MA(1)-proces worden in het bijzonder gegeven door
ρ0 = 1,
ρ1 = Corr(Yt , Yt−1 ) =
β1
,
1 + β12
ρ2 = 0,
ρ3 = 0,
...
Dit kunnen we ook waarnemen in het correlogram dat hoort bij een MA(1)-proces.
Definitie 8. Een grafiek die ρˆk plot tegenover k wordt een correlogram genoemd.
10
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Op een correlogram kunnen we ook steeds twee lijnen waarnemen, deze corresponderen
√
met de kritieke waarden van de teststatistiek ρˆk T om de nulhypothese ρk = 0 te testen
voor een specifieke k. Op die manier weten we dat de tijdreeks afkomstig is van een
MA(1)-proces wanneer enkel de waarden voor ρˆ0 en ρˆ1 ´e´en van deze lijnen overschrijden
(zie Figuur 2.1). In het algemeen geldt voor de autocorrelaties van een MA(q)-proces
Figuur 2.1: Correlogram van een MA(1)-proces.
dat deze allen gelijk aan nul zijn voor lags groter dan q. Als het correlogram een sterke
afname vertoont en niet significant wordt na lag q, kan men vermoeden dat de tijdreeks
gegenereerd werd door een MA(q)-proces.
We merken nog op dat we in alle volgende afbeeldingen van correlogrammen de autocorrelatie bij lag nul weglaten, want deze is toch steeds gelijk aan ´e´en.
2.1.2
AR-model
Een stationair stochastisch proces Y = (Yt )t≥0 is autoregressief van orde ´e´en, AR(1), als
het voldoet aan
Yt = µ + α1 · Yt−1 + ut ,
met µ en α1 ongekende parameters en u de witte ruis stochastische storingsterm. De
waarde van Y op tijdstip t is hier afhankelijk van zijn waarde op het vorige tijdstip
enerzijds en van een stochastische term anderzijds. Dit model zegt met andere woorden
dat de waarde van Y op tijdstip t, op een constante na, gewoon een proportie (= α1 )
van zijn waarde op tijdstip (t − 1) plus een willekeurige schok of storing op tijdstip t is.
2.1. Dynamische econometrische modellen
11
Wanneer we het volgende model beschouwen
Yt = µ + α1 · Yt−1 + α2 · Yt−2 + ut ,
dan zeggen we dat Y een tweede orde autoregressief, AR(2), proces volgt. Dat is, de
Y -waarde op tijdstip t hangt af van zijn waarde op de twee voorgaande tijdstippen, t − 1
en t − 2, en van een willekeurige storing op tijdstip t.
In het algemeen hebben we: Y is een autoregressief proces van orde p, AR(p), wanneer
Yt = µ + α1 · Yt−1 + α2 · Yt−2 + · · · + αp · Yt−p + ut
geldt.
Merk op dat in alle voorgaande modellen alleen de Y -waarden voorkomen, we hebben
eventuele andere regressoren buiten beschouwing gelaten.
Uit de autocorrelaties van een AR-proces kunnen we niet zo veel afleiden als voor een
MA-proces. Zo worden de autocorrelaties voor een AR(1)-proces gegeven door
ρ0 = 1,
ρ1 = Corr(Yt , Yt−1 ) = α1 ,
ρ2 = α12 ,
ρ3 = α13 ,
...
Hier kunnen we niet veel uit afleiden. Voor AR-processen is het beter om naar de parti¨ele
correlaties te kijken.
Definitie 9. De parti¨
ele correlaties worden voor k = 0, 1, 2, . . . gegeven door
πk = Corr(Yt , Yt−k |Yt−1 , . . . , Yt−k+1 ).
Dit is gelijk aan de correlatie tussen Yt−k en de residuen van een regressie van Yt op de
variabelen Yt−1 , . . . , Yt−k+1 .
Specifiek voor een AR(1)-proces worden de parti¨ele autocorrelaties gegeven door
π0 = 1,
π1 = Corr(Yt , Yt−1 ) = α1 ,
π2 = 0,
π3 = 0,
...
Het partieel correlogram kan ons dus helpen om een AR(1)-proces te herkennen.
12
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Definitie 10. Stel dat de parti¨ele autocorrelaties kunnen geschat worden door π
ˆk . Een
grafiek die π
ˆk plot tegenover k wordt een partieel correlogram genoemd.
Zoals bij het correlogram zijn er op het partieel correlogram ook twee lijnen aanwezig.
√
Deze corresponderen met de kritieke waarden van de teststatistiek π
ˆk T om de nulhypothese πk = 0 te testen voor een specifieke k. Op die manier weten we dat de tijdreeks
afkomstig is van een AR(1)-proces wanneer enkel de waarden voor π
ˆ0 en π
ˆ1 ´e´en van deze
lijnen overschrijden2 (zie Figuur 2.2).
In het algemeen zijn de parti¨ele correlaties van lag groter dan p gelijk aan nul voor een
AR(p)-proces.
Figuur 2.2: Partieel correlogram van een AR(1)-proces.
2.1.3
ARMA-model
Onderstel dat Y een stationair stochastisch proces is. Het is evident dat wanneer Y een
ARMA-proces volgt, het kenmerken van zowel een AR- als een MA-proces heeft. Dus, Y
volgt een ARMA(1,1)-proces, met ´e´en autoregressieve en ´e´en voortschrijdend gemiddelde
term, als het kan geschreven worden als
Yt = θ + α1 · Yt−1 + ut + β1 · ut−1 ,
waarbij θ een constante, α1 en β1 ongekende parameters en u de witte ruis stochastische
storingsterm is. In het algemeen hebben we dat er in een ARMA(p,q)-proces enerzijds p
2
We merken op dat, gebruik makend van R, in het partieel correlogram de parti¨ele correlatie voor
lag 0 niet weergegeven wordt. Uit het bovenstaande weten we dat steeds π0 = 1 geldt.
2.1. Dynamische econometrische modellen
13
autoregressieve en anderzijds q voortschrijdend gemiddelde termen zijn, Y voldoet dan
aan
Yt = θ + α1 · Yt−1 + · · · + αp · Yt−p + ut + β1 · ut−1 + · · · + βq · ut−q ,
met θ een constante.
2.1.4
ARIMA-model
Zoals in Sectie 2.1.3 aangegeven werd, zijn ARMA-processen stationair. Soms geldt stationariteit voor een tijdreeks echter niet, maar is deze wel ge¨ıntegreerd van een bepaalde
orde.
Definitie 11. Y is ge¨ıntegreerd van orde ´
e´
en wanneer na het toepassen van de
differentie-operator ∆ (∆Yt = Yt − Yt−1 ) een stationair proces verkregen wordt.
Wanneer dus stationariteit verkregen wordt door de differentie-operator op de tijdreeks
te laten inwerken, kunnen we een ARIMA-model specifi¨eren. Yt is een ARIMA(p,d,q)proces als ∆d Yt , met ∆d Yt = Yt −Yt−d , een ARMA(p,q)-proces is. De orde van integratie
d is vaak nul of ´e´en.
2.1.5
SARIMA-model
De algemene regel is dat wanneer er seizoenseffecten van orde s (vaak s = 12 of s = 4)
aanwezig zijn, de seizoensgebonden differentie-operator ∆s gebruikt moet worden om
stationariteit te verkrijgen. Vaak zal er echter nog enige seizoensgebondenheid in de
correlatiestructuur van de tijdreeks achterblijven. Een sobere manier om zulke correlatiestructuren te modelleren is door gebruik te maken van SARMA-modellen. Een
SARMA(0,1)(0,1)-model voor s = 12 wordt als volgt gespecifieerd
Yt = c + (I − θ1 L)(I − Θ1 L12 )ut
= c + (I − θ1 L)(ut − Θ1 ut−12 )
= c + ut − Θ1 ut−12 − θ1 ut−1 + θ1 Θ1 ut−13 ,
waarbij I de identiteitsoperator (I Yt = Yt ), L de lag-operator (L Yt = Yt−1 ) en u witte
ruis is.
Een SARMA(1,0)(0,1)-model voor s = 12 wordt als volgt gespecifieerd
(I − φ1 L)Yt = c + (I − Θ1 L12 )ut
⇒Yt − φ1 Yt−1 = c + (ut − Θ1 ut−12 )
14
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
⇒Yt = c + φ1 Yt−1 + ut − Θ1 ut−12 ,
waarbij I de identiteitsoperator, L de lag-operator en u witte ruis is.
In het algemeen geldt dat een stationair stochastisch proces Y een SARMA(p,q)(P ,Q)proces van orde s is als
(I − φ1 L − . . . − φp Lp )(I − Φ1 Ls − . . . − Φp LsP )Yt
= c + (I − θ1 L − . . . − θq Lq )(I − Θ1 Ls − . . . − ΘQ LsQ )ut ,
waarbij I de identiteitsoperator, L de lag-operator en u witte ruis is.
Wanneer de tijdreeks niet stationair is, kunnen we –analoog aan de ARIMA-processen–
de SARIMA-processen defini¨eren. De SARIMA-processen houden er rekening mee dat
de tijdreeks een trend en seizoenseffecten kan vertonen, en op die manier dus niet stationair is. Immers, een lineaire trend kan verwijderd worden door de differentie-operator
∆ toe te passen en seizoenseffecten kunnen verwijderd worden door de seizoensgebonden
differentie-operator ∆s te laten inwerken op de tijdreeks. Een SARIMA(p,d,q)(P ,D,Q)specificatie voor Yt komt dan ook overeen met een SARMA(p,q)(P ,Q)-model voor de
variabele ∆d ∆D
s Yt , het impliceert immers dat de differentie-operator d keer werd toegepast en de seizoensgebonden differentie-operator D keer werd gebruikt.
2.1.6
GARCH-model
Een veralgemeend autoregressief conditioneel heteroscedastisch3 (GARCH) model is een
model voor de met de tijd vari¨erende variantie van een bepaalde tijdreeks. Het eenvoudigste GARCH-model is het GARCH(1,1)-model, dat men als volgt kan schrijven
2
σt2 = α0 + α1 · u2t−1 + α2 · σt−1
.
De conditionele variantie van u op tijdstip t hangt dus af van de gekwadrateerde storingsterm in de voorgaande tijdsperiode (u2t−1 ), maar ook van de conditionele variantie
2
in de voorgaande tijdsperiode (σt−1
). Dit model kan natuurlijk veralgemeend worden tot
een GARCH(p,q)-model dat p vorige waarden van de gekwadrateerde storingsterm en q
vorige waarden van de conditionele variantie bevat, namelijk
2
2
.
σt2 = α0 + α1 · u2t−1 + · · · + αp · u2t−p + β1 · σt−1
+ · · · + βq · σt−q
3
In het Engels generalized autoregressive conditional heteroscedasticity.
2.2. CAR-model
2.2
15
CAR-model
Het tijdscontinue autoregressieve (CAR) proces is een overgang tussen de econometrische
aanpak en de tijdscontinue methode. Het proces vertrekt van het econometrische ARmodel en maakt het continu door differentialen te beschouwen. Een goede illustratie van
deze link tussen econometrische en tijdscontinue modellen is het Ornstein-Uhlenbeckproces, dat hieronder besproken wordt, het kan immers beschouwd worden als het tijdscontinue analogon van het AR(1)-proces. In het algemeen zijn de CAR-processen de
tijdscontinue analogi van de AR-processen. We volgen de definitie van Benth and Benth
(2011), zij defini¨eren de temperatuur T (t) als volgt
T (t) = Λ(t) + Υ(t) t ≥ 0,
waarbij Λ(t) de functie is die het deterministische seizoensgemiddelde voorstelt en Υ een
stochastisch proces is dat de fluctuaties rond het gemiddelde modelleert. Met andere
woorden Υ(t) = T (t)−Λ(t) is de deseasonalized temperatuur. Uit empirisch onderzoek
van de data blijkt dat Υ een autoregressieve structuur heeft op dagelijkse schaal. Dit
motiveert het gebruik van een tijdscontinu autoregressief proces voor Υ. Voor p ≥ 1
wordt een CAR(p)-proces als volgt gedefinieerd.
Definitie 12. Een tijdscontinu autoregressief proces van orde p wordt gedefinieerd als
Υ(t) = e01 X(t),
waarbij de notatie x0 de getransponeerde van x weergeeft. e01 is de canonische eerste
eenheidsvector in Rp en X(t) voldoet aan (2.2), zie Sectie 2.3.1.
2.3
Tijdscontinue modellen
Ge¨ınspireerd door Benth and Benth (2012), zullen we in deze sectie de tijdscontinue modellen bespreken. De processen die door deze modellen gedefinieerd worden, zijn immers
het best geschikt wanneer we derivaten willen gaan prijzen. Daarnaast evolueert de temperatuur continu in de tijd, hierdoor is het zeer logisch om een tijdscontinu stochastisch
proces te gebruiken om de temperatuurschommelingen te modelleren ook al zullen de
gegevens vaak op dagelijkse basis verkregen worden (bv. gemiddelde dagtemperatuur).
In tijdscontinue modellering wordt het proces verkregen als een oplossing van een stochastische differentiaalvergelijking. Omdat wij ge¨ınteresseerd zijn in het verkrijgen van
16
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
een temperatuurproces zullen we modellen beschouwen die de mean-reverting eigenschap bezitten, cf. Alaton et al. (2002). Deze specificatie is ingegeven door het volgende
kenmerk van de temperatuur: het is niet mogelijk dat de temperatuur dag na dag blijft
stijgen (of dalen) gedurende een lange periode. Dit wil zeggen dat de temperatuur altijd zal schommelen rond de gemiddelde waarde en na een stijging of daling ook altijd
zal terugkeren naar dit gemiddelde. Hierdoor zal ons model enkel afwijkingen van de
gemiddelde waarde over korte tijdsintervallen mogen toelaten, en dit wordt uitgedrukt
door de mean-reverting eigenschap. We bespreken de twee meest gebruikte modellen
om het temperatuurproces continu te beschrijven, het Ornstein-Uhlenbeck-model en het
Hull-White-model. De literatuur is niet altijd even duidelijk over het onderscheid tussen
beide modellen, wij gebruiken de volgende definities.
2.3.1
Ornstein-Uhlenbeck
Aan de basis van het Ornstein-Uhlenbeck-model ligt, volgens Smith (2010), de volgende
stochastische differentiaalvergelijking
dX(t) = λ · (µ − X(t))dt + σdW (t),
(2.1)
met positieve parameters λ, µ en σ en {W (t), t ≥ 0} een Brownse beweging. Het komt
vaak voor dat λ = 0 wordt gekozen, cf. Valdivieso et al. (2009). Het stochastisch proces
X = {X(t), t ≥ 0} wordt verkregen door de stochastisch differentiaalvergelijking op te
lossen met behulp van een integrerende factor. We vermenigvuldigen beide leden van
dX(t) = λ · (µ − X(t))dt + σdW (t)
⇔ dX(t) + λX(t)dt = µλdt + σdW (t),
met eλt om te komen tot
eλt dX(t) + λeλt X(t)dt = eλt · (µλdt + σdW (t))
d(eλt X(t)) = µλeλt dt + σeλt dW (t).
⇔
De laatste vergelijking is nu onmiddellijk integreerbaar, we integreren over [0, T ]
Z T
Z T
Z T
λt
λt
d(e X(t)) =
µλe dt +
σeλt dW (t)
0
⇔
⇔
λT
e X(T ) − e
0
λ·0
0
λt
e
X(0) = µλ
λ
T
T
Z
σeλt dW (t)
+
0
eλT X(T ) − X(0) = µ · (eλT − eλ·0 ) +
0
Z
0
T
σeλt dW (t)
2.3. Tijdscontinue modellen
17
e X(T ) = X(0) + µ · (e
λT
Z
T
σeλt dW (t)
0
Z T
−λT
−λT
−λT
eλt dW (t),
⇔ X(T ) = e
X(0) + µ · (1 − e
) + σe
⇔
λT
− 1) +
0
als X(T ) van deze vorm is, volgt X een Ornstein-Uhlenbeck-proces.
In Benth and Benth (2011) wordt gebruik gemaakt van het p-dimensionaal OrnsteinUhlenbeck-proces om een CAR(p)-proces te defini¨eren. Definieer de p × p-matrix A als
volgt

0
1
0
···
0




 0
0
1
·
·
·
0


 .
..
..
.. 
..
A =  ..
.
.
.
. ,


 0
0
0
···
1 


−ap −ap−1 −ap−2 · · · −a1
waarbij ai , i = 1, . . . , p, positieve constanten zijn. Voor een ´e´en-dimensionale Brownse
beweging {W (t), t ≥ 0} wordt het p-dimensionaal Ornstein-Uhlenbeck-proces X gedefinieerd als
dX(t) = AX(t)dt + σep dW (t),
(2.2)
 
0
 
0
 
.
waarbij σ > 0 constant en ep =  .. , de canonische p-de eenheidsvector in Rp . De
 
0
 
1
oplossing {X(t), t ≥ 0} van (2.2) voldoet aan
Z t
At
X(t) = e X(0) +
eA(t−u) σep dW (u).
0
Dit kan ingezien worden door dezelfde redenering te volgen als voor (2.1) en −λ = A,
µ = 0 en σ = ep σ te kiezen.
2.3.2
Hull-White
In het Hull-White-model wordt het stochastisch proces verkregen door het oplossen van
volgende stochastische differentiaalvergelijking (cf. Shreve (2004))
dX(t) = (α(t) − β(t)X(t))dt + σ(t)dW (t),
(2.3)
18
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
met α(t), β(t) en σ(t) niet stochastische, positieve functies van de tijdsveranderlijke t en
{W (t), t ≥ 0} een Brownse beweging. Om de vergelijking
dX(t) = (α(t) − β(t)X(t))dt + σ(t)dW (t)
⇔ dX(t) + β(t)X(t)dt = α(t)dt + σ(t)dW (t),
op te lossen, maken we opnieuw gebruik van een integrerende factor en vermenigvuldigen
hiertoe beide leden met e
Rt
e
0
β(s)ds
0
β(s)ds
dX(t) + β(t)e
Rt
⇔
Rt
d(e
0
β(s)ds
Rt
0
β(s)ds
X(t)dt = e
Rt
X(t)) = α(t)e
0
β(s)ds
Rt
0
β(s)ds
· (α(t)dt + σ(t)dW (t))
Rt
dt + σ(t)e
0
β(s)ds
dW (t).
Dit resultaat is onmiddellijk integreerbaar, integratie over [0, T ] levert
⇔
⇔
⇔
0
β(s)ds
R0
Z
X(T ) − e
0
β(s)ds
T
Rt
Z
β(s)ds
T
Rt
X(0) =
α(t)e 0
dt +
σ(t)e 0 β(s)ds dW (t)
0
0
Z T
Z T
Rt
Rt
RT
σ(t)e 0 β(s)ds dW (t)
α(t)e 0 β(s)ds dt +
e 0 β(s)ds X(T ) − X(0) =
0
0
Z T
Z T
Rt
Rt
RT
σ(t)e 0 β(s)ds dW (t)
α(t)e 0 β(s)ds dt +
e 0 β(s)ds X(T ) = X(0) +
0
0
Z T
Z T
Rt
Rt
RT
β(s)ds
β(s)ds
− 0 β(s)ds
σ(t)e 0
dW (t)
α(t)e 0
dt +
X(T ) = e
X(0) +
0
0
Z T
Z T
R
R
RT
− 0T β(s)ds
− tT β(s)ds
X(T ) = e
X(0) +
α(t)e
dt +
σ(t)e− t β(s)ds dW (t),
e
⇔
RT
0
0
X(T ) voldoet aan (2.3), het is een Hull-White-proces.
2.4
Praktijk
In deze sectie zullen we in het kort enkele modellen bespreken die in de praktijk gebruikt
worden om de temperatuur te modelleren. Het Alaton-model dat we hieronder uitgebreider zullen bespreken, is een model dat de temperatuur als een tijdscontinu proces
beschouwt. Het Benth-model gaat ditzelfde proces discretiseren, maar is nog steeds te
plaatsen onder de continue modellen. De keuze van deze twee modellen werd ingegeven
door Schiller et al. (2012). Om te beginnen bespreken we een model dat te plaatsen is
bij de modellen die een discreet proces gebruiken om de dagtemperatuur te modelleren,
namelijk het model voorgesteld door Campbell en Diebold.
2.4. Praktijk
2.4.1
19
Het model van Campbell en Diebold
Het is niet noodzakelijk om over een structureel model te beschikken wanneer men succesvol wil voorspellen. In Campbell and Diebold (2005) vertrekt men van deze gedachte
en vraagt men zich af of het mogelijk is om de temperatuur te modelleren en te voorspellen via een niet-structurele tijdreeksbenadering. Campbell en Diebold modelleren en
voorspellen direct de gemiddelde dagtemperatuur4 (Temp) gemeten in graden Fahrenheit en doorlopen hiervoor de stappen om een model te bouwen.
Eerst en vooral analyseren ze de gegevens, het is immers nuttig om een algemene indruk
over de temperatuurdata te krijgen. De grafiek van de tijdreeks vertoont een sterke aanwezigheid van seizoenseffecten in de temperatuur, de temperatuur beweegt herhaaldelijk
en regelmatig door perioden van hoge temperatuur (zomer) en lage temperatuur (winter). Tot nu toe blijkt dat een seizoensgebonden component belangrijk zal zijn in ieder
tijdreeksmodel dat de temperatuur beschrijft, omdat de temperatuur een uitgesproken
seizoensgebonden variatie bezit. Campbell en Diebold verkiezen het gebruik van een
Fourierreeks van lage orde om deze seizoensgevoeligheid te modelleren, omdat dit twee
voordelen heeft. Enerzijds produceert het een glad seizoenspatroon, dit is in overeenstemming met de fundamentele intu¨ıtie dat het doorlopen van de verschillende seizoenen
eerder gradueel in plaats van discontinu gebeurt. Anderzijds bevordert het parsimony
(de drang om verschijnselen te verklaren met behulp van minder parameters), wat de
complexiteit van het model verlaagt en dus de numerieke stabiliteit van schattingen verhoogt.
Men kan vermoeden dat naast deze seizoenseffecten ook niet-seizoensgebonden factoren
kunnen meespelen in de dynamiek van de temperatuur. Een dergelijke factor is de trend,
deze kan relevant zijn maar is hier waarschijnlijk gering, gezien de korte (40 jaar) observatieperiode die Campbell en Diebold hanteren. Zij kiezen dus voor een eenvoudige
polynomiale deterministische trend van lage orde. Nog zo’n factor is de cyclus waarmee
ze elk ander persistent verschijnsel, afgezien van de seizoenseffecten en de trend, bedoelen. Deze cyclische dynamiek leggen ze vast door gebruik te maken van autoregressieve
lags.
Tot nu toe lag de focus op de dynamiek van het conditioneel gemiddelde, met bijdragen
van de trend, de seizoenseffecten en de cyclische component. Campbell en Diebold nemen
echter ook de dynamiek van de conditionele variantie (volatiliteit) in aanmerking, met
4
Zoals in Benth and Benth (2012), nemen we als referentie voor de gemiddelde dagtemperatuur het
gemiddelde van de maximum- en minimumtemperatuur, zoals in Definitie 1. Wij zullen in deze sectie
dus “temperatuur”gebruiken waar Campbell en Diebold “gemiddelde dagtemperatuur”gebruiken.
20
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
bijdragen uit zowel de seizoens- als de cyclische component. Ze benaderen de seizoensgebonden volatiliteit aan de hand van een Fourierreeks en de cyclische volatiliteit aan
de hand van een veralgemeend autoregressief conditioneel heteroscedastisch (GARCH)
proces, zie Sectie 2.1.6.
Na het analyseren van de gegevens stellen ze een model voor, dat de besproken kenmerken
bevat. Ze schatten het volgende model voor de temperatuur op dag t
Tempt = Trendt + Seasonalt +
L
X
ρt−l Tempt−l + σt εt ,
(2.4)
l=1
met
Trendt =
M
X
βm tm ,
m=0
P X
d(t)
d(t)
Seasonalt =
σc,p cos 2πp
+ σs,p sin 2πp
,
365
365
p=1
X
Q S
K
X
X
d(t)
d(t)
2
2
2
βs σt−s
,
αk (σt−k εt−k ) +
γc,q cos 2πq
+ γs,q sin 2πq
+
σt =
365
365
s=1
q=1
k=1
εt ∼ iid(0, 1),
waarbij d(t) een repeterende trapfunctie is die door 1, . . . , 365 loopt (laat in alle schrikkeljaren 29 februari vallen). Campbell en Diebold kiezen L = 25, M = 1, P = 3,
Q = 3, K = 1 en S = 1, op basis van zowel het Akaike-informatiecriterium (AIC) als het
Schwarz-informatiecriterium (SIC). Men wil de AIC- en SIC-waarde zo klein mogelijk
houden, met
p
AIC = ln(MSE) + 2 ,
T
p ln(T )
,
SIC = ln(MSE) +
T
waarbij p het aantal parameters in het model aangeeft en MSE staat voor de Mean
T
1X 2
(t−1)
Squared Error
uˆ met uˆt de one-step ahead forecast errors uˆt = yt − yˆt
T t=1 t
(cf. Croux (2013)). Op die manier penaliseren het AIC en het SIC (zelfs meer dan het
AIC) voor de complexiteit van het model.
Het regressiemodel wordt geschat aan de hand van de quasi-maximum-likelihoodmethode,
volgens Bollerslev and Wooldridge (1992) gaat dit als volgt. Zij {(yt , zt ) : t = 1, 2, . . .}
een rij van observeerbare stochastische vectoren met yt en zt respectievelijk een K × 1 en
een L × 1 matrix. Stel dat de vector yt de endogene en de vector zt de exogene variabelen
2.4. Praktijk
21
bevat. Zij xt = (zt , yt−1 , zt−1 , . . . , y1 , z1 ) de vooraf bepaalde variabelen. Het conditionele
gemiddelde en de variantie zijn gezamenlijk geparametriseerd door een eindigdimensionale vector θ
{µt (xt , θ) : θ ∈ Θ},
{Ωt (xt , θ) : θ ∈ Θ},
waarbij Θ een deelverzameling van Rp is en waarbij µt en Ωt gekende functies van xt en
θ zijn. Voor observatie t geldt er dat de quasi-conditionele log-likelihood gelijk is aan
(op een constante na)
1
1
lt (θ; yt , xt ) = − ln |Ωt (xt , θ)| − (yt − µt (xt , θ))0 Ω−1
t (xt , θ)(yt − µt (xt , θ)).
2
2
Stel nu εt (yt , xt , θ) ≡ yt − µt (xt , θ) de K × 1 residuele vector. Door het achterwege laten
van de xt - en yt -afhankelijkheid in εt en Ωt , bekomen we de compactere notatie
1
1
lt (θ) = − ln |Ωt (θ)| − εt (θ)0 Ω−1
t (θ)εt (θ).
2
2
De quasi-maximum-likelihoodschatter (QMLE) θˆT wordt verkregen door het maximaliseren van de quasi-log-likelihoodfunctie
LT (θ) =
T
X
lt (θ).
t=1
Na de schatting van de parameters in het model, moet het model nog gevalideerd worden. Campbell en Diebold concluderen dat voor het model dat de dynamiek van het
conditionele gemiddelde beschrijft (vergelijking (2.4) samen met de vergelijkingen voor
Trendt en Seasonalt ) alle termen statistisch significant zijn. Zowel de trend, de seizoensgevoeligheid als de cyclische persistentie zijn significant. De residuen voldoen eveneens
aan de nodige voorwaarden. Daarbovenop vertoont dit deel van het model een determinatieco¨effici¨ent5 R2 die groter is dan 90%, wat betekent dat meer dan 90% van de
variatie van de temperatuur verklaard wordt door het model. Het model is dus goed
aangepast aan de data.
Uit bepaalde grafieken is de seizoensgebonden conditionele heteroscedasticiteit (de conditionele variantie is niet constant) in de temperatuur af te leiden. Het model voor
de volatiliteit (de formule voor σt2 ) werd ontworpen om deze conditionele heteroscedasticiteit te benaderen. Uit de schatting van dit model blijkt dat beide termen, zowel
5
De determinatieco¨effici¨ent R2 is een maat die informatie geeft over de mate waarin een model de
werkelijke data benadert.
22
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
de seizoensgebonden (Fourier) als de cyclische (GARCH) component, significant zijn.
Campbell en Diebold vinden dat de component van de seizoensgebonden volatiliteit
(Fourier) relatief gezien belangrijker is, hij is significant en tamelijk groot. De nietseizoensgebonden GARCH-volatiliteit heeft een kleiner effect, de persistentie wordt gemeten door de GARCH-parameter β. Om af te sluiten hebben Campbell en Diebold het
correlogram van de gekwadrateerde gestandaardiseerde residuen6 geplot, waaruit ze konden concluderen dat er geen significant verschil was met het gedrag van witte ruis. Met
andere woorden, het door hen gekozen model is voldoende om de data te beschrijven.
2.4.2
Het Alaton-model
Volgens Schiller et al. (2012), die zich tevens baseren op Alaton et al. (2002), past het
Alaton-model de parameters van het Hull-White-model (zie Sectie 2.3.2) aan zodanig dat
ze de kenmerken van de temperatuur weerspiegelen. Zij S(t) een deterministische functie
die de seizoensgevoeligheid modelleert, dan kan deze als volgt gedefinieerd worden
S(t) = A + Bt + C sin(ωt + φ).
(2.5)
Deze keuze is afkomstig van het feit dat Alaton et al. (2002) in hun temperatuurgegevens
een sterke seizoensgebonden variatie terugvinden, die te modelleren is aan de hand van
een sinusfunctie sin(ωt + φ). Hier staat t voor de tijd uitgedrukt in dagen en voor de pe2π
riode geldt ω =
, omdat het seizoensgebonden karakter van de temperatuur jaarlijks
365
terugkeert en de temperatuur op dagelijkse basis gemodelleerd wordt (we verwaarlozen
de schrikkeldagen, in de praktijk worden ze uit de gegeven data verwijderd). De fase
φ ∈ [−π, π] geeft weer dat de jaarlijkse minimum- en maximumtemperatuur niet noodzakelijk, respectievelijk, op 1 januari en 1 juli voorkomen7 . Daarnaast vertoont hun data
ook een positieve trend, d.w.z. dat de temperatuur jaarlijks stijgt. Deze stijging is heel
klein, waardoor ze veronderstellen dat ze de trend lineair kunnen voorstellen (A + Bt).
De parameter C definieert de amplitude van het verschil tussen de jaarlijkse minimale
en maximale gemiddelde dagtemperatuur. De parameters A, B, C en φ moeten zodanig
gekozen worden dat de curve de data op een correcte manier weergeeft.
Omdat de temperatuur niet deterministisch is, moeten we ook rekening houden met
eventuele ruis. Alaton et al. (2002) kiezen ervoor om hiertoe de Brownse beweging
6
De gestandaardiseerde residuen worden weergegeven door
Tt −Tbt
σ
ˆt ,
waarbij Tbt de gefitte waarde van
de temperatuur is.
7
Het interval [−π, π] is het enige relevante interval dat men moet doorlopen, omdat een cos-functie
eigenlijk een sin-functie met een fase is.
2.4. Praktijk
23
{W (t), t ≥ 0} te gebruiken.
Op die manier wordt de temperatuur op tijdstip t, T (t), gemodelleerd aan de hand van
de volgende specifieke stochastische differentiaalvergelijking
dS(t)
dT (t) = a · (S(t) − T (t)) +
dt + σ(t)dW (t),
dt
t ≥ 0,
(2.6)
met a de snelheid van mean-reversion, σ(t) de seizoensgevoeligheid van de dagelijkse
temperatuurverandering van de residuen en {W (t), t ≥ 0} een Brownse beweging. De
oplossing van deze stochastische differentiaalvergelijking kan bekomen worden zoals in
Sectie 2.3.2 met X(t) = T (t) − S(t), α(t) = 0 en β(t) = a, dit levert
Z t
−at
T (t) = S(t) + e · (T (0) − S(0)) +
e−a(t−s) σ(s)dW (s).
(2.7)
0
Om een bruikbaar model te verkrijgen, moeten de parameters geschat worden, zodanig
dat ze de data goed weergeven.
Om de numerieke waarden van de constanten in (2.5) te vinden, passen Alaton et al.
(2002) de volgende functie aan de temperatuurdata aan
Yt = a1 + a2 t + a3 sin(ωt) + a4 cos(ωt),
(2.8)
en dit volgens de methode van de kleinste kwadraten. Dit betekent dat we de parametervector ξ = (a1 a2 a3 a4 ) moeten vinden die een oplossing is van
min ||Y − X||2 ,
ξ
waarbij Y de vector met elementen (2.8) is en X de vector die de data bevat. De
constanten in (2.5) worden dan als volgt verkregen
S(t) = Yt
⇔ A + Bt + C sin(ωt + φ) = a1 + a2 t + a3 sin(ωt) + a4 cos(ωt)
⇒ A = a1 ,
B = a2 ,
C sin(ωt + φ) = a3 sin(ωt) + a4 cos(ωt).
Uit de laatste gelijkheid kunnen we de schatting voor C en φ als volgt bepalen
C sin(ωt + φ) = a3 sin(ωt) + a4 cos(ωt)
⇔ C[sin(ωt) cos(φ) + cos(ωt) sin(φ)] = a3 sin(ωt) + a4 cos(ωt)
24
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
(
⇒
C sin(ωt) cos(φ) = a3 sin(ωt)
C cos(ωt) sin(φ) = a4 cos(ωt)
(
C cos(φ) = a3
⇒
.
C sin(φ) = a4
We merken op dat het koppel (φ, C) eigenlijk het koppel poolco¨ordinaten van P (a3 , a4 )
is, er geldt dus

a
 tan(φ) = 4
q a3
,
 C = a2 + a2
4
3
met C ≥ 0 en φ ∈ [−π, π].
Hieruit volgt dat de constanten in (2.5) gegeven worden door
A = a1 ,
B = a2 ,
q
C =
a23 + a24 ,

a4


Bgtan
als a3 > 0



a3 


a4


Bgtan
+ π als a3 < 0, a4 ≥ 0



a3 a4
.
φ =
− π als a3 < 0, a4 < 0
Bgtan



a3


π


als a3 = 0, a4 > 0



2π


 −
als a3 = 0, a4 < 0
2
Specifiek voor het Alaton-model wordt er verondersteld dat de variantie σ 2 (t) maande2
, gebruiken
lijks ongeveer constant blijft. Als schatter van de maandelijkse variantie, σm
we de kwadratische variatie van T (t), d.w.z.
2
ˆ¯m,y
σ
Nm −1
1 X
=
(T (t + 1)m,y − T (t)m,y )2 ,
Nm t=0
2
σ
ˆm
Ny
1 X 2
ˆ¯ ,
=
σ
Ny y=1 m,y
met Nm het aantal dagen in maand m, T (t)m,y de temperatuur op dag t in maand m in
jaar y en Ny het aantal gebruikte jaren.
Nu moet enkel nog de mean-reversion parameter a geschat worden, we volgen de aanpak
van Alaton et al. (2002) die de martingale estimation functions methode gebruiken.
2.4. Praktijk
25
Normaal wordt parameterinferentie gebaseerd op de likelihoodfunctie L, de maximumlikelihoodschatter heeft immers meestal de nodige eigenschappen. Inferentie voor discrete
˜ van de continue likelihoodfuncobservaties kan gebaseerd worden op een benadering, L,
˜ verkregen wordt, is niet consistent wanneer de tijd
tie. Echter, de schatter die via L
tussen de observaties een ondergrens heeft die strikt groter is dan nul. Daarnaast kan de
schatter vertekend zijn, wanneer de tijd tussen de observaties te groot is. Deze gebreken
van de schatter worden vermeden door de constructie van een martingale estimation
˜ zie ook Bibby and Sørensen (1995). Het is toepasselijk om deze mefunction van L,
thode hier te gebruiken, want de tijd tussen de observaties van de temperatuur (meestal
een dag) is duidelijk strikt groter dan nul. De methode werkt als volgt. Een effici¨ente
schatter a
ˆn voor a (die gebaseerd is op observaties die over n dagen verzameld werden),
voldoet aan de volgende vergelijking
Gn (ˆ
an ) = 0,
(2.9)
waarin Gn als volgt gedefinieerd wordt
Gn (a) =
n
X
b0 (T (i − 1); a)
i=1
2
σi−1
(T (i) − E[T (i)|T (i − 1)]) ,
met b0 (T (t); a) de afgeleide naar a van de driftterm b(T (t); a) = a · (S(t) − T (t)) +
Gn is een schattingsfunctie die een martingaal is, immers
(2.10)
dS(t)
.
dt
E[Gn+1 (a) | n, n − 1, n − 2, . . .]
#
" n+1
X b0 (T (i − 1); a)
=E
(T
(i)
−
E[T
(i)|T
(i
−
1)])
n
2
σ
i−1
" i=1
n
X
b0 (T (i − 1); a)
=E
(T (i) − E[T (i)|T (i − 1)])
2
σ
i−1
i=1
b0 (T (n); a)
+
(T (n + 1) − E[T (n + 1)|T (n)]) n
2
σn
b0 (T (n); a)
n
(T
(n
+
1)
−
E[T
(n
+
1)|T
(n)])
= E Gn (a) +
σn2
b0 (T (n); a)
= Gn (a) +
(E[T (n + 1) | n] − E[T (n + 1)|T (n)])
σn2
= Gn (a).
Om (2.9) op te lossen, is het voldoende dat we alle termen E[T (i)|T (i − 1)] in de definitie
van Gn bepalen. Via (2.7), hebben we voor t ≥ s
−a(t−s)
T (t) = S(t) + e
Z
· (T (s) − S(s)) +
s
t
e−a(t−τ ) σ(τ )dW (τ ),
26
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
dit levert voor t = i en s = i − 1
Z
i
e−a(i−τ ) σ(τ )dW (τ )
· (T (i − 1) − S(i − 1)) +
i−1
Z i
e−a(i−τ ) σ(τ )dW (τ ).
= S(i) + e−a · (T (i − 1) − S(i − 1)) +
T (i) = S(i) + e
−a(i−(i−1))
i−1
Via de eigenschappen van de conditionele verwachtingswaarde, krijgen we het volgende
E[T (i)|T (i − 1)]
Z
−a
= E S(i) + e · (T (i − 1) − S(i − 1)) +
i
e
−a(i−τ )
i−1
σ(τ )dW (τ )T (i − 1)
= E[S(i)|T (i − 1)] + E[e−a · (T (i − 1) − S(i − 1))|T (i − 1)]
Z i
−a(i−τ )
+E
e
σ(τ )dW (τ )T (i − 1)
i−1
Z i−1
−a
= E[S(i)|T (i − 1)] + e · (T (i − 1) − S(i − 1)) +
e−a(i−1−τ ) σ(τ )dW (τ )
i−1
−a
= S(i) + e (T (i − 1) − S(i − 1)).
De voorlaatste gelijkheid geldt door de martingaaleigenschap van de stochastische integraal en de laatste door het deterministisch karakter van S(t).
We kunnen dit nu invullen in (2.10), er komt
Gn (a) =
n
X
S(i − 1) − T (i − 1)
i=1
2
σi−1
(T (i) − (T (i − 1) − S(i − 1))e−a − S(i)),
nu moeten we hier enkel nog de nulwaarde van zoeken om een schatter voor a te vinden.
S(i − 1) − T (i − 1)
We zullen voor de eenvoud van notatie Yi−1 =
noteren. Stel Gn (a) =
2
σi−1
0, dit levert
n
X
Yi−1 (T (i) − (T (i − 1) − S(i − 1))e−a − S(i)) = 0
i=1
⇔
n
X
−a
Yi−1 (T (i − 1) − S(i − 1))e
i=1
=
n
X
Yi−1 (T (i) − S(i))
i=1
Pn
Yi−1 (T (i) − S(i))
⇔ e−a = Pn i=1
Yi−1 (T (i − 1) − S(i − 1))
i=1 Pn
Yi−1 (T (i) − S(i))
i=1
⇔ −a = ln Pn
.
i=1 Yi−1 (T (i − 1) − S(i − 1))
We verkrijgen dus de volgende schatter
Pn
Yi−1 (T (i) − S(i))
i=1
a
ˆn = − ln Pn
i=1 Yi−1 (T (i − 1) − S(i − 1))
2.4. Praktijk
27

Pn
S(i−1)−T (i−1)
(T (i)
2
i=1
σi−1
= − ln  Pn
S(i−1)−T (i−1)
(T (i
2
i=1
σi−1
− S(i))
− 1) − S(i − 1))

.
Na de schatting van de parameters, is het mogelijk om het proces te gaan simuleren
(bv. via Monte Carlo-simulatie) en zo de distributie van de temperatuur te voorspellen.
2.4.3
Het Benth-model
Volgens Schiller et al. (2012), die zich tevens baseren op Benth and Benth (2007), maakt
het Benth-model ook gebruik van de stochastische differentiaalvergelijking (2.6). Het
verschil met het Alaton-model zit hem enerzijds in de specificatie van de parameters S(t)
en σ(t). De deterministische functie die de seizoensgevoeligheid en de trend specifieert,
S(t), wordt hier gedefinieerd als een afgeknotte Fourierreeks met lineaire trend
X
I1
J1
X
2iπ(t − fi )
2jπ(t − gj )
S(t) = b + ct + a0 +
ai sin
+
.
bj cos
365
365
i=1
j=1
De variantie, σ 2 (t), wordt in het Benth-model als volgt gespecifieerd
X
I2
J2
X
2iπt
2jπt
2
σ (t) = d +
+
.
ci sin
dj cos
365
365
i=1
j=1
Merk op dat ook in dit model de schrikkeldagen verwaarloosd worden (in de praktijk
worden de schrikkeldagen uit de gegevens verwijderd). Daarnaast merken we eveneens
op dat we σ 2 (t) als een afgeknotte Fourierreeks defini¨eren en niet σ(t) zelf, dit is het
meest geschikt voor de data-analyse. Daarnaast is het ook beter vanuit het oogpunt om
derivaten te prijzen, omdat σ 2 (t) vaker voorkomt dan σ(t).
In Benth and Benth (2007) worden I1 = 1 en J1 = 1 gesteld om de functie S(t) aan
de data aan te passen. De numerieke waarden die hierdoor voor a0 , a1 en b1 verkregen
worden, zijn voldoende om de seizoensgebonden variatie van de temperatuur te beschrijven. Ze vinden eveneens dat het voldoende is om I2 = 4 en J2 = 4 te kiezen wanneer de
variantie van de temperatuur bepaald moet worden, dit levert immers gepaste numerieke
waarden voor d, ci en di , i = 1, . . . , 4.
Zoals bij het Alaton-model, krijgen we de volgende oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking
T (t) = S(t) + e
−at
Z
· (T (0) − S(0)) +
t
e−a(t−s) σ(s)dW (s).
0
Hieruit kunnen we afleiden dat de temperatuur op elk tijdstip t normaal verdeeld is,
maar terugkeert naar het gemiddelde S(t). De snelheid van mean-reversion is a, en de
28
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
variantie van de temperatuur varieert seizoensgebonden met σ(t).
Naast de specificaties van de parameters is er nog een ander verschil met het Alatonmodel, in het Benth-model wordt het temperatuurproces beschouwd als een discreet
proces. Aangezien er wordt vertrokken van dezelfde stochastische differentiaalvergelijking (2.6), kan het discrete proces verkregen worden door discretisatie van (2.7). Dit
gaat als volgt, beschouw T (t + 1) en T (t)
−a(t+1)
T (t + 1) = S(t + 1) + e
Z
t+1
e−a(t+1−s) σ(s)dW (s)
· (T (0) − S(0)) +
0
Z
t+1
e−a(t−s) σ(s)dW (s),
· (T (0) − S(0)) + e
0
Z t
T (t) = S(t) + e−at · (T (0) − S(0)) +
e−a(t−s) σ(s)dW (s),
−a −at
−a
= S(t + 1) + e e
0
dit impliceert
T (t + 1) − T (t) = S(t + 1) − S(t) + (e−a − 1)e−at · (T (0) − S(0))
Z t
Z t+1
−a
−a(t−s)
−a
+(e − 1)
e
σ(s)dW (s) + e
e−a(t−s) σ(s)dW (s).
0
t
Uit (2.7) volgt dat
(e
−a
− 1)e
−at
−a
· (T (0) − S(0)) + (e
Z
− 1)
t
e−a(t−s) σ(s)dW (s) = (e−a − 1) · (T (t) − S(t)),
0
hierdoor kunnen we T (t + 1) − T (t) op de volgende manier herschrijven
Z t+1
−a
−a
T (t + 1) − T (t) = S(t + 1) − S(t) + (e − 1) · (T (t) − S(t)) + e
e−a(t−s) σ(s)dW (s).
t
Noteren we nu ∆X(t) = X(t + 1) − X(t), dan komt er
−a
∆T (t) = ∆S(t) − (1 − e ) · (T (t) − S(t)) + e
−a
Z
t+1
e−a(t−s) σ(s)dW (s).
t
Zoals in Einmahl (2012) kan men stochastische integralen via een soort Riemann-som
benaderen
Z
T
f (s)dW (s) ≈
0
n
X
f (ti−1,n ) · (W (ti,n ) − W (ti−1,n )),
i=1
Z t+1
T ·i
waarbij ti,n =
. Wij willen de integraal
e−a(t−s) σ(s)dW (s) benaderen, uit het
n
t
bovenstaande volgt dat dit op de volgende manier kan
Z t+1
e−a(t−s) σ(s)dW (s) ≈ e−a(t−t) σ(t) · (W (t + 1) − W (t)) = σ(t)∆W (t).
t
2.4. Praktijk
29
Via de benadering voor de stochastische integraal vinden we dus
∆T (t) ≈ ∆S(t) − (1 − e−a ) · (T (t) − S(t)) + e−a σ(t)∆W (t).
Wanneer we deze uitdrukking vereenvoudigen, komt er
T (t + 1) − T (t) ≈ S(t + 1) − S(t) − (1 − e−a ) · (T (t) − S(t)) + e−a σ(t)∆W (t)
⇔ T (t + 1) − S(t + 1) ≈ T (t) − S(t) − (1 − e−a ) · (T (t) − S(t)) + e−a σ(t)∆W (t)
≈ e−a · (T (t) − S(t)) + e−a σ(t)∆W (t).
Stellen we nu Te(t) = T (t) − S(t), α = e−a en σ
˜ (t) = ασ(t), dan krijgen we de onderstaande tijdreeks
Te(t + 1) = αTe(t) + σ
˜ (t)εt ,
waarbij εt i.i.d. standaard normaal verdeeld is. Dat εt normaal verdeeld moet zijn volgt
uit ∆W (t) = W (t + 1) − W (t) en de definitie van een Brownse beweging, deze vereist
dat voor 0 ≤ s < t < ∞ geldt dat W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s).
Om deze tijdreeks aan de data aan te passen, gaat men te werk in verschillende stappen.
Empirische studies tonen aan dat data van de dagtemperatuur een significante lineaire
trend vertonen, dus moet er eerst gecontroleerd worden of er in de gegeven data ook
zo een trend aanwezig is. Vervolgens kunnen we S(t) numeriek bepalen via de methode
van de kleinste kwadraten. Hierboven hebben we reeds vermeld dat de keuze van I1 = 1
en J1 = 1 voldoende is om een goede weergave van de data te krijgen. Daarna, voeren
we een lineaire regressie uit die de temperatuur van vandaag tegenover de temperatuur
van de voorgaande dagen plaatst. Ten slotte kunnen we de dagelijkse variantie van de
regressie residuen schatten om de functie σ
˜ 2 (t) te bekomen. Merk op dat we hierboven
al vermeld hebben dat de keuze van I2 = 4 en J2 = 4 voor de data in Benth and Benth
(2007) voldoende was om σ 2 (t) te bepalen. De enige parameter die dus nog moet geschat
worden in dit discrete proces is a, en dit kan eveneens met behulp van lineaire regressie.
2.4.4
Econometrische modellen voor Belgische temperatuurdata
In deze sectie zullen we zelf twee modellen opstellen voor Belgische temperatuurdata.
Het gaat hier over de zogenaamde dynamische econometrische modellen, die kunnen
gespecifieerd worden via de analyse van een tijdreeks. We zullen enkele modellen specifi¨eren, schatten en valideren. We volgen de aanpak die aangeleerd werd in het vak
Statistiek voor Actuari¨ele Wiskunde (cf. Croux (2013)).
30
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
De temperatuurgegevens waarmee we werken, werden geleverd door het KMI8 . Het zijn
gegevens over de maximale en minimale temperatuur per dag gemeten in Ukkel van
01/01/1981 tot en met 31/12/2010.
Om een model te specifi¨eren voor de temperatuur (zie Definitie 1), moeten we eerst de
gegevens naar de gewenste vorm transformeren. We hebben informatie over de maximale
(Timax ) en minimale (Timin ) temperatuur per dag gekregen en kunnen dus de temperatuur
(Ti ) op dag i als volgt berekenen
Ti =
Timax + Timin
.
2
Om op een goede manier een model te kunnen specifi¨eren, moet de tijdreeks regelmatig
gespreid zijn. Er moet, met andere woorden, evenveel tijd tussen de observaties zijn. De
temperatuurgegevens bevatten geen ontbrekende waarden, dus dit vormt geen probleem.
Echter, de schrikkeljaren hebben steeds een dag meer dan de andere jaren, namelijk
29 februari. Wanneer we de observaties op de schrikkeldagen in de tijdreeks zouden
houden, bekomen we een tijdreeks die niet regelmatig gespreid is. Sommige jaren tellen
dan immers 366 dagen in plaats van 365. De makkelijkste oplossing om toch een tijdreeks
te verkrijgen waarbij er evenveel tijd tussen de observaties zit, is om de observaties op de
schrikkeldagen uit de dataset te verwijderen. Dit is een standaardmethode, we merken
op dat Campbell and Diebold (2005), Alaton et al. (2002) en Benth and Benth (2007)
dit ook deden om respectievelijk het model van Campbell en Diebold, het Alaton-model
en het Benth-model te specifi¨eren. Wij hebben in het bijzonder de waarnemingen op 29
februari 1984, 1988, 1992, 1996, 2000, 2004 en 2008 uit de gegevens verwijderd. Op die
manier telt elk jaar 365 dagen en kunnen we werken met 10 950 gegevens in verband met
de dagtemperatuur.
We zullen een model opbouwen gebruik makend van het statistisch programma R, de
belangrijkste output wordt doorheen de tekst meegegeven, de gebruikte R-code vindt u
in Bijlage B. De gegevens die ons door het KMI geleverd werden, stonden in een Excelfile. Om deze in R te kunnen inladen, hebben we het bestand opgeslagen als txt-file.
Hierdoor konden we de gegevens zonder problemen in R inladen en aan het programma
meegeven dat het deze gegevens als een tijdreeks moet behandelen.
Om een model op te kunnen stellen, moeten we eerst een globaal beeld krijgen van de
tijdreeks. Hiertoe bekijken we de plot in Figuur 2.3. In deze figuur is er duidelijk sprake
van seizoenseffecten. Het is logisch dat we seizoenseffecten waarnemen in een tijdreeks
die de dagtemperatuur beschrijft, in de zomer is het immers gemiddeld warmer dan in
8
Het Koninklijk Meteorologisch Instituut van Belgi¨e.
2.4. Praktijk
31
de winter. Een eventuele trend is niet onmiddellijk waarneembaar in Figuur 2.3. Om na
Figuur 2.3: Plot van de tijdreeks.
te gaan of er toch een (stijgende) trend aanwezig is, hebben we in Excel de gemiddelde
jaartemperatuur9 in een grafiek uitgezet. Hierna hebben we aan de grafiek een lineaire
trendlijn toegevoegd, zie Figuur 2.4. Deze lineaire trendlijn werd automatisch door Excel
berekend, Excel maakt hiervoor gebruik van de methode van de kleinste kwadraten. Uit
Figuur 2.4: Plot van de gemiddelde jaartemperatuur en een lineaire trendlijn.
de figuur kunnen we opmaken dat er mogelijk een licht stijgende trend aanwezig is. We
zouden voor deze trend ook een verklaring kunnen bedenken. We zouden de toename in
9
De gemiddelde jaartemperatuur werd berekend als het gemiddelde van de reeds berekende dagtem365
1 X
peratuur over ´e´en jaar, namelijk via de formule
Ti .
365 i=1
32
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
de gemiddelde jaartemperatuur eventueel kunnen toeschrijven aan de opwarming van de
aarde, de verstedelijking,. . .
Het is belangrijk om te weten of er seizoenseffecten en een trend aanwezig zijn in de
tijdreeks, want de meeste modellen (AR, MA, ARMA) zijn gedefinieerd voor stationaire
tijdreeksen (zie Definitie 6). Vooraleer we een model specifi¨eren, moeten we dus de trend
en de seizoenseffecten uit de tijdreeks verwijderen. We zullen dit op twee manieren doen,
door gebruik te maken van de differentie-operator enerzijds en door gebruik te maken
van een Fourierreeks anderzijds.
2.4.4.1
Differentie-operator
De differentie-operator ∆ wordt als volgt gedefinieerd
∆Yt = Yt − Yt−1 .
Een lineaire trend kan worden uitgeschakeld door ∆ ´e´en keer toe te passen. Seizoenseffecten van orde s kunnen daarentegen ge¨elimineerd worden door het toepassen van de
seizoensgebonden differentie-operator van orde s, ∆s Yt = Yt − Yt−s . In deze sectie zullen
we dus de trend en seizoenseffecten op deze manier verwijderen uit de tijdreeks alvorens
een AR-, MA- of ARMA-model te specifi¨eren.
Het is altijd het eenvoudigst wanneer we een model kunnen specifi¨eren voor de oorspronkelijke tijdreeks, de resultaten zijn dan immers het makkelijkst te interpreteren.
Wanneer we dit in het achterhoofd houden, is een SARIMA-model aangewezen. Het is
een model dat op de oorspronkelijke tijdreeks toegepast wordt, maar waarbij er toch
rekening wordt gehouden met de aanwezige trend en seizoenseffecten. Wanneer we via
de differentie-operatoren de trend en seizoenseffecten verwijderen, zal er echter vaak nog
enige seizoensgebondenheid in de correlatiestructuur van de tijdreeks achterblijven. Om
te bepalen welk SARIMA-model het meest geschikt is voor de temperatuurtijdreeks,
bekijken we het correlogram van de tijdreeks nadat we de differentie-operator en de
seizoensgebonden differentie-operator op de tijdreeks hebben laten inwerken. Wanneer
Yt de oorspronkelijke tijdreeks voorstelt, zien we in Figuur 2.5 het correlogram van de
tijdreeks ∆∆365 Yt . Wanneer we inzoomen op het begin van het correlogram, krijgen we
het resultaat in Figuur 2.6. Deze figuur suggereert een MA(7)-structuur, aangezien de
eerste zeven autocorrelaties significant verschillend van nul zijn10 . In Figuur 2.5 merkten
we eveneens significante correlaties op rond lag 365, dit is de orde van de seizoensgevoeligheid. Hierdoor is het vanzelfsprekend om een SARMA(0,7)(0,1)-model voor te stellen
10
Zie Sectie 2.1.1 voor meer informatie over de relatie tussen een MA-model en het correlogram.
2.4. Praktijk
33
Figuur 2.5: Correlogram van de tijdreeks ∆∆365 Yt .
Figuur 2.6: Correlogram van de tijdreeks ∆∆365 Yt .
voor de tijdreeks ∆∆365 Yt , dit komt overeen met een SARIMA(0,1,7)(0,1,1)-model voor
de oorspronkelijke tijdreeks Yt . Wanneer we dit model echter proberen te specifi¨eren in
R, stuiten we op een fout: maximum supported lag is 350. Deze fout geeft aan dat
het niet zo gebruikelijk is om voor dagelijkse gegevens de seizoenseffecten te verwijderen
via een differentie-operator. Door gebruik te maken van die differentie-operator gaan
we een bepaalde dag vergelijken met dezelfde dag een jaar voordien. Maar waarom zou
de temperatuur op 24/10/2013 enkel vergelijkbaar zijn met 24/10/2012 en niet met de
temperatuur op elke andere dag in de maand oktober? Aangezien de SARIMA-modellen
enkel deze vergelijking maken, worden ze zeer zelden gebruikt om dagelijkse tijdreeksen
met seizoenseffecten te beschrijven. Een oplossing wordt gegeven door de seizoenseffec-
34
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
ten te modelleren via een Fourierreeks, zie Sectie 2.4.4.2.
Wanneer we toch een eenvoudig, eerste model willen specifi¨eren, kunnen we om deze
“fout” in R heen werken. We kunnen een AR-, MA- of ARMA-model proberen specifi¨eren voor de tijdreeks ∆∆365 Yt in plaats van rechtstreeks voor de oorspronkelijke
tijdreeks. Hiertoe bekijken we ook eens het partieel correlogram van deze tijdreeks in
Figuur 2.7, bijna alle zichtbare autocorrelaties zijn significant verschillend van nul.
Figuur 2.7: Partieel correlogram van de tijdreeks ∆∆365 Yt .
Via Figuur 2.6 is een MA(7)-model voor de tijdreeks ∆∆365 Yt een eerste voorstel. Wanneer we dit model schatten in R, het commando maakt gebruik van de maximumlikelihoodmethode om de parameters te schatten (we nemen normaliteit van de innovaties
aan), krijgen we onderstaande output
Series: temperatuurzondertrendenseizoen
ARIMA(0,0,7) with non-zero mean
Coefficients:
s.e.
ma1
ma2
ma3
ma4
ma5
ma6
ma7
0.0015
-0.2603
-0.2058
-0.1644
-0.1159
-0.1254
-0.0952
0.0097
0.0096
0.0096
0.0105
0.0102
0.0092
0.0094
intercept
-2e-04
s.e.
9e-04
2.4. Praktijk
35
sigma^2 estimated as 6.904:
AIC=50505.87
AICc=50505.89
log likelihood=-25243.94
BIC=50571.28
Om na te gaan of de termen in het model significant verschillend van nul zijn, controleren we of nul al dan niet een element is van het betrouwbaarheidsinterval [Zn −
1.96 · SE(Zn ); Zn + 1.96 · SE(Zn )], waarbij Zn een schatter en SE(Zn ) de standaardfout
van die schatter is. Voor de ma1-term krijgen we bijvoorbeeld het betrouwbaarheidsinterval [0.0015 − 1.96 · 0.0097; 0.0015 + 1.96 · 0.0097] = [−0.017512; 0.020512], er geldt
0 ∈ [−0.017512; 0.020512] waaruit volgt dat de ma1-term niet significant is. Via dezelfde
werkwijze vinden we dat alle andere termen wel significant zijn. Hierdoor houden we de
ma1-term toch in het model. De AIC-waarde11 van dit model is 50 505.87, het is een
in-sample criterium dat in tegenstelling tot de MSE ook penaliseert voor de complexiteit
van het model wanneer men de goodness-of-fit van dat model test. Hierdoor is een
kleine AIC-waarde beter. BIC en AICc testen eveneens voor de goodness-of-fit, er
geldt ook dat een lage waarde voor deze criteria beter is.
Nu rest ons nog dit model te valideren. Hiertoe gaan we na of de residuen van het gefitte
model zich gedragen als witte ruis. We bekijken eerst en vooral het correlogram van de
residuen. Daarnaast doen we ook de Box-Ljung-test aan de hand van de Q-statistiek
kmax
X
ρˆ2k , deze statistiek wordt vaak gebruikt om te testen of de reeks afkomstig is
Q=T
k=1
van een witte ruis stochastisch proces. De nulhypothese van de test is dat de autocorrelaties van de residuen gezamenlijk gelijk aan nul zijn, H0 : ρ1 = ρ2 = . . . = ρkmax = 0.
Over de keuze van kmax kan gediscussieerd worden, wij kiezen kmax = 20. Wanneer we
deze test uitvoeren voor het gefitte MA(7)-model, verkrijgen we een p-waarde die kleiner
is dan 2.2 · 10−16 . Er geldt p-waarde < 0.05, waardoor we de nulhypothese verwerpen op
het significantieniveau 0.05. In het correlogram van de residuen, Figuur C.1 in Bijlage C,
zien we ook dat enkele autocorrelaties significant verschillen van nul. Het MA(7)-model
is met andere woorden niet geschikt om de tijdreeks te beschrijven.
We gaan nu op zoek naar een ander model. Uit Figuur 2.7 kunnen we afleiden dat een
gewoon AR-model geen goede keuze is12 . Hierdoor stellen we het eenvoudigste ARMAmodel voor, namelijk het ARMA(1,1)-model nog steeds voor de tijdreeks ∆∆365 Yt . Analoog aan het bovenstaande kunnen we het model gaan schatten, zowel de ar1- als de
ma-1 term blijken significant. De AIC-waarde voor dit model is 51 511.28. Wanneer we
testen of de residuen zich gedragen als witte ruis, krijgen we opnieuw een p-waarde die
11
Het Akaike-informatieccriterium ln(MSE) + 2 Tp met p het aantal parameters in het model, zie ook
Sectie 2.4.1.
12
Zie Sectie 2.1.2 voor meer informatie over de relatie tussen een AR-model en het partieel correlogram.
36
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
kleiner is dan 2.2 · 10−16 . In het correlogram, zie Figuur C.2, zijn ook opnieuw enkele
significante autocorrelaties waarneembaar. Het voorgestelde ARMA(1,1)-model is dus
ook niet gevalideerd.
We zouden ook eens een ARMA(1,2)-model kunnen proberen. Wanneer we dit model
schatten zijn de drie termen (ar1, ma1 en ma2) significant, de AIC-waarde is 50 350.1.
Het correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,2)-model is veelbelovend, er
vallen slechts enkele significante autocorrelaties waar te nemen (zie Figuur C.3). De
test voor witte ruis levert echter een p-waarde van 0.009466 < 0.05, we verwerpen de
nulhypothese. Het model is opnieuw niet gevalideerd.
Vervolgens specifi¨eren we een ARMA(2,2)-model. De geschatte ar1-, ma1- en ma2parameters zijn significant, de ar2-parameter is echter niet significant. Het correlogram
van de residuen ziet er opnieuw redelijk goed uit, zie Figuur C.4. De Box-Ljung-test
daarentegen levert een p-waarde gelijk aan 0.01431 op, we verwerpen de nulhypothese,
wat het model niet geschikt maakt om de tijdreeks te beschrijven.
Omdat in het voorgaande model de ar2-parameter niet significant verschillend van nul
was, gaan we nu verder met het verhogen van het aantal MA-termen in het ARMA-model
met ´e´en AR-term. Het volgende model dat we specifi¨eren, is daardoor het ARMA(1,3)model. Bij schatting van het model blijkt de ma3-term niet significant te zijn. De
AIC-waarde is 50 350.01. Alhoewel er in het correlogram van de residuen (zie Figuur
C.5) weinig significante autocorrelaties zichtbaar zijn, kunnen we op basis van de BoxLjung-test het model nog steeds niet valideren. De test leverde immers een p-waarde van
0.01551 op en dit is kleiner dan het door ons gekozen significantieniveau 0.05.
Omdat we nog steeds geen gevalideerd model gevonden hebben, gaan we door met het
verhogen van het aantal MA-termen, ook al was de ma3-term van het vorige model niet
significant. We schatten dus het ARMA(1,4)-model. De ar1-, ma1- en ma2-term zijn
duidelijk significant, de ma3-term is opnieuw niet significant en de bijkomende ma4-term
is net wel significant. De AIC-waarde voor dit model is 50 348.03. Het correlogram van
de residuen is te vinden in Figuur C.6. De p-waarde van de test voor witte ruis is 0.04086,
we verwerpen de nulhypothese nog net op het significantieniveau 0.05. We kunnen het
model dus niet valideren.
We stellen nu het ARMA(1,5)-model voor. Wanneer we dit model schatten, krijgen we
de volgende output
Series: temperatuurzondertrendenseizoen
ARIMA(1,0,5) with non-zero mean
2.4. Praktijk
37
Coefficients:
s.e.
ar1
ma1
ma2
ma3
ma4
ma5
intercept
0.8097
-0.8138
-0.2544
0.0168
0.0184
0.0331
0
0.0149
0.0179
0.0125
0.0133
0.0132
0.0125
0
sigma^2 estimated as 6.797:
AIC=50343.29
AICc=50343.3
log likelihood=-25163.64
BIC=50401.42
De ma3- en ma4-term in dit model is niet significant, de vier andere termen zijn echter
wel significant verschillend van nul. Omdat de ma5-term wel nog significant is, laten
we de ma3- en ma4-term ook nog tot het model behoren. De AIC-waarde van dit
geschatte model is 50 343.29. Wanneer we overgaan tot de validatie van het model
bekijken we het correlogram in Figuur 2.8. We nemen drie autocorrelaties waar die
Figuur 2.8: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,5)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
significant verschillend van nul zijn. Wanneer we de Box-Ljung-test uitvoeren, krijgen
we het volgende resultaat
Box-Ljung test
data:
mymodel6$res
X-squared = 25.3615, df = 20, p-value = 0.188
Voor de p-waarde geldt 0.188 > 0.05, we verwerpen met andere woorden de nulhypothese
niet. We kunnen dus besluiten dat de eerste twintig autocorrelaties gezamenlijk gelijk
38
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
aan nul zijn, dit betekent dat de residuen van het gefitte ARMA(1,5)-model zich gedragen
als witte ruis. Het model is hiermee gevalideerd en geschikt bevonden om de tijdreekst
∆∆365 Yt te beschrijven.
Tot slot hebben we ook nog gecontroleerd of we een beter model bekomen door nog
enkele extra MA-termen toe te voegen. We hebben het ARMA(1,6)-, het ARMA(1,7)-,
het ARMA(1,8)- en ARMA(1,9)-model ook nog geschat. Echter de extra MA-termen die
er voor deze modellen bijkomen, zijn niet meer significant en de AIC-waarde zakt ook
niet onder deze van het ARMA(1,5)-model. Door extra MA-parameters toe te voegen,
kunnen we niet beter doen dan het ARMA(1,5)-model.
We concluderen dus dat het ARMA(1,5)-model geschikt is om de tijdreeks ∆∆365 Yt te
beschrijven. Voor de definitie van een algemeen ARMA-proces verwijzen we naar Sectie
2.1.3. Wanneer we de geschatte parameters van het ARMA(1,5)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt invullen, krijgen we de volgende specificatie
∆∆365 Yt =0.8097∆∆365 Yt−1 + ut − 0.8138ut−1 − 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3
+ 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5 .
We kunnen het volgende resultaat gebruiken om deze gelijkheid om te vormen
∆∆365 Yt = ∆(Yt − Yt−365 )
= Yt − Yt−1 − Yt−365 + Yt−366 ,
we krijgen dus
Yt − Yt−1 − Yt−365 + Yt−366
= 0.8097(Yt−1 − Yt−2 − Yt−366 + Yt−367 ) + ut − 0.8138ut−1 − 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3
+ 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5
= 0.8097Yt−1 − 0.8097Yt−2 − 0.8097Yt−366 + 0.8097Yt−367 + ut − 0.8138ut−1
− 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3 + 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5 .
Een model voor de Belgische temperatuur wordt dus gegeven door
Yt =1.8097Yt−1 − 0.8097Yt−2 + Yt−365 − 1.8097Yt−366 + 0.8097Yt−367 + ut
− 0.8138ut−1 − 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3 + 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5 ,
waarbij Yt staat voor de temperatuur op dag t.
2.4. Praktijk
2.4.4.2
39
Fourierreeks
In het algemeen zijn de seizoensversies van de ARIMA-modellen ontworpen voor korte
periodes van seizoenseffecten, met name 12 voor maandelijkse gegevens of 4 voor kwartaalgegevens. Het gebruik van de seizoensgebonden differentie-operator van zeer hoge
orde heeft echter niet veel nut. Voor dagelijkse gegevens (periode 365) vergelijken we dan
immers wat er vandaag gebeurd is met wat er precies een jaar geleden heeft plaatsgevonden, dit is voor een tijdreeks die de temperatuur beschrijft niet zinvol. Voor dagelijkse
data is het beter, of alleszins meer standaard, om het seizoenspatroon te modelleren met
behulp van een Fourierreeks.
We gaan in deze sectie dan
ook van
startmet het schatten van de seizoenseffecten door
2πs
2πs
steeds enkele sin q
- en cos q
-termen, met s = 1, . . . , 365 en q = 1, 2, 3, . . .,
365
365
toe te voegen aan een model met enkel een lineaire trend. We krijgen uiteindelijk een
model voor de seizoenseffecten dat er als volgt uitziet
2πs
2πs
4πs
4πs
fs = a + b · s + c1 sin
+ c2 cos
+ c3 sin
+ c4 cos
+ ··· .
365
365
365
365
Het is aan ons om te bepalen hoeveel sin- en cos-termen we moeten toevoegen om een
geschikt seizoenspatroon te bekomen. We zullen het model voor de seizoenseffecten
kiezen aan de hand van de determinatieco¨effici¨ent R2 en de AIC-waarde. We kiezen
het model waarvoor deze waarden “in evenwicht” zijn, met name de R2 waarde zo hoog
mogelijk en de AIC-waarde zo laag mogelijk. Wanneer we immers enkel naar een hoge
waarde voor de determinatieco¨effici¨ent zouden streven, zou dit in het voordeel zijn van
de complexere modellen (deze met meer parameters).
Wanneer we het eerste model met enkel een lineaire trend gaan schatten (fs = a + b · s),
krijgen we via de R-commando’s in Bijlage B.3 de volgende output
Call:
lm(formula = temperatuur ~ oneyear)
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-20.8615
-4.5287
0.2171
4.7750
17.7506
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.4209962
0.1221703
68.93
<2e-16 ***
40
oneyear
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
0.0118918
0.0005786
20.55
<2e-16 ***
--Signif. codes:
0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1
1
Residual standard error: 6.379 on 10948 degrees of freedom
Multiple R-squared:
0.03716,Adjusted R-squared:
F-statistic: 422.5 on 1 and 10948 DF,
0.03707
p-value: < 2.2e-16
Hieruit kunnen we afleiden dat zowel het intercept als de oneyear-co¨effici¨ent significant
verschillend van nul zijn, aangezien respectievelijk 0 ∈
/ [8.421 − 1.96 · 0.122; 8.421 + 1.96 ·
0.122] = [8.182; 8.660] en 0 ∈
/ [0.012−1.96·0.001; 0.012+1.96·0.001] = [0.010; 0.014]. We
zouden dit ook kunnen concluderen via de respectievelijke p-waarden, die beide kleiner
zijn dan 0.05. Via de p-waarde bij de F-statistiek verwerpen we de nulhypothese dat alle
regressieparameters, behalve deze van het intercept, gelijk zijn aan nul. In dit model is
het logisch dat we deze nulhypothese verwerpen, aangezien we reeds gezien hebben dat
de oneyear-co¨effici¨ent significant is. De waarde voor de determinatieco¨effici¨ent is 0.03716,
wat betekent dat 3.716% van de variatie in de temperatuur verklaard wordt door het
model. Wanneer we de AIC-waarde berekenen, bekomen we 71 659.55. Tot slot plotten
we ook nog eens het patroon dat we in dit model beschrijven, we verwachten een rechte
en dit is ook wat we te zien krijgen in Figuur 2.9.
Figuur 2.9: Patroon beschreven door het model fs = a + b · s.
We gaan nu over naar een volgend model door aan hetvorige
een eerste sin-term toe te
2πs
. Bij het schatten van dit
voegen, hierdoor komen we aan fs = a + b · s + c1 sin
365
model, bekomen we de volgende output
2.4. Praktijk
41
Call:
lm(formula = temperatuur ~ oneyear + sin(sp))
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-23.374
-4.430
0.245
4.665
17.119
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 11.3304685
0.1756989
64.488
< 2e-16 ***
oneyear
-0.0040069
0.0009032
-4.436 9.24e-06 ***
sin(sp)
-3.0385199
0.1345852 -22.577
< 2e-16 ***
--Signif. codes:
0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1
1
Residual standard error: 6.236 on 10947 degrees of freedom
Multiple R-squared:
0.07999,Adjusted R-squared:
F-statistic: 475.9 on 2 and 10947 DF,
0.07983
p-value: < 2.2e-16
Zowel het intercept, de oneyear-co¨effici¨ent als de sin-term zijn significant, want de bijhorende p-waarden zijn respectievelijk < 2 · 10−16 , 9.24 · 10−6 en < 2 · 10−16 en dit is
allemaal kleiner dan 0.05. Via de p-waarde bij de F-statistiek (< 2.2 · 10−16 ) verwerpen
we opnieuw de nulhypothese dat alle regressieparameters, behalve deze van het intercept,
gelijk zijn aan nul. Gezamenlijk zijn de regressieparameters dus significant verschillend
van nul. De waarde voor de determinatieco¨effici¨ent is 7.999%, wat groter is dan bij het
voorgaande model. De AIC-waarde voor dit model is 71 163.21, dit is kleiner dan voor
het voorgaande model. Op basis van de R2 - en AIC-waarde is dit dus een beter model.
Ter vergelijking plotten we in Figuur 2.10 het patroon van dit model.
Het voorgaande model was reeds beter dan het eerste, daardoor
voegen wenu ook
nog
2πs
2πs
een extra cos-term toe en bekijken we fs = a + b · s + c1 sin
+ c2 cos
. We
365
365
geven de verkregen output niet mee, maar bespreken deze wel kort. We zien dat zowel
het intercept, de oneyear-co¨effici¨ent, de sin-term als de cos-term significant zijn, want de
bijhorende p-waarden zijn respectievelijk < 2·10−16 , 1.88·10−10 , < 2·10−16 en < 2·10−16 .
Via de p-waarde bij de F-statistiek (2.2 · 10−16 ) kunnen we opnieuw concluderen dat de
regressieparameters gezamenlijk significant verschillend van nul zijn. De R2 -waarde is
72.31%, wat veel groter is dan bij het model met enkel een sin-term. De AIC-waarde
42
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Figuur 2.10: Patroon beschreven door het model fs = a + b · s + c1 sin
2πs
365
.
voor het model is 58 017.51, dit is op zijn beurt veel kleiner dan de AIC-waarde van het
voorgaande model. We verkrijgen dus opnieuw een beter model.
Vervolgens
voegen weopnieuw
toe, we bekomen fs = a + b · s +
een extra
sin-term
2πs
2πs
4πs
c1 sin
+ c2 cos
+ c3 sin
. Voor dit model is de oneyear-term niet
365
365
365
meer significant verschillend van nul, alle andere termen zijn wel significant. Echter via
de p-waarde bij de F-statistiek (< 2.2 · 10−16 ) verwerpen we de nulhypothese dat alle
regressieparameters, behalve deze van het intercept, gelijk zijn aan nul. We hoeven dus
niet onmiddellijk de oneyear-term uit het model te verwijderen. De waarde voor de
determinatieco¨effici¨ent is 72.4% en de AIC-waarde is 57 984.51. We merken op dat de
R2 -waarde niet veel stijgt maar dat de AIC-waarde wel nog afneemt, we beschouwen dit
dus als een beter model dan het voorgaande.
We voegen
toe enbekomen fs = a + b ·
aanhet voorgaande
model nog
eencos-term 2πs
2πs
4πs
4πs
s + c1 sin
+ c2 cos
+ c3 sin
+ c4 cos
. Voor dit model zijn
365
365
365
365
alle termen, behalve de oneyear-term, significant. De p-waarde bij de F-statistiek levert
echter opnieuw een waarde die kleiner is dan 0.05, waardoor we de oneyear-term niet
onmiddellijk laten vallen. De waarde van de determinatieco¨effici¨ent is in dit geval 72.42%
en de AIC-waarde is 57 977.92. Omdat de AIC-waarde nog steeds daalt, ook al stijgt de
R2 -waarde maar lichtjes, beschouwen we dit model opnieuw als een beter resultaat.
We voegen opnieuween extra
sin-term
model
toe
om toteen volgend
tekomen, namelijk
2πs
2πs
4πs
4πs
6πs
+c2 cos
+c3 sin
+c4 cos
+c5 sin
.
fs = a+b·s+c1 sin
365
365
365
365
365
Voor dit patroon zijn opnieuw alle termen significant, zowel afzonderlijk als gezamenlijk.
De R2 -waarde is 72.44% en de AIC-waarde is 57 973.62, wat opnieuw respectievelijk iets
2.4. Praktijk
43
hoger en iets lager is dan voor het voorgaande model. We beschouwen dit model dus
opnieuw als een betere voorstelling van de seizoenseffecten.
Vervolgens voegen we een cos-term
specificatie,
we verkrijgen
toe aande voorgaande
2πs
2πs
4πs
4πs
dan fs = a + b · s + c1 sin
+ c2 cos
+ c3 sin
+ c4 cos
+
365
365
365
365
6πs
6πs
c5 sin
+ c6 cos
. Voor dit model zijn alle termen, behalve de laatste cos365
365
term, significant verschillend van nul. De p-waarde bij de F-statistiek geeft echter aan
dat de regressieparameters allen significant verschillend van nul zijn. Dit laatste is in
het voordeel van onze niet significante cos-term. Maar we merken op dat de verkregen
determinatieco¨effici¨ent gelijk is aan 72.44% en de AIC-waarde gelijk is aan 57 974.61.
De R2 -waarde stijgt dus niet, terwijl de AIC-waarde wel groter wordt dan deze van het
voorgaande model. Hieruit kunnen we besluiten dat dit model niet beter is dan het
voorgaande.
We kunnen op deze manier doorgaan en steeds een sin- en een cos-term toevoegen. Omdat de analyse van deze nieuwe modellen steeds analoog is, laten we dit hier buiten
beschouwing. We geven onmiddellijk de output en analyse van het, volgens ons, meest
geschikte model mee.
Het beste model13 voldoet aan de volgende specificatie voor de seizoenseffecten
fs = a +
8 X
i=1
2πs
2πs
18πs
cs,i sin i
+ cc,i cos i
+ cs,9 sin
.
365
365
365
We merken op dat er geen lineaire term in s meer aanwezig is. We hebben deze term uit
het model gelaten, omdat hij niet significant verschillend van nul was en het model zonder
deze term een betere (lagere) AIC-waarde opleverde. De output voor deze specificatie is
als volgt
Call:
lm(formula = temperatuur ~ sin(sp) + cos(sp) + sin(2 * sp) +
cos(2 * sp) + sin(3 * sp) + cos(3 * sp) + sin(4 * sp) + cos(4 *
sp) + sin(5 * sp) + cos(5 * sp) + sin(6 * sp) + cos(6 * sp) +
sin(7 * sp) + cos(7 * sp) + sin(8 * sp) + cos(8 * sp) + sin(9 *
sp))
13
We merken hier op dat het geen verschil maakt of we eerst de sin- en dan pas de cos-term toevoegen
2πs
of omgekeerd. We hebben immers steeds het koppel sin i 2πs
365 en cos i 365 , i = 1, . . . , 8, in het model
opgenomen. Daarnaast hebben we ook getest of we een beter model konden bekomen door de sin 9 2πs
365
te vervangen door de corresponderende cos-term, dit leverde echter geen beter resultaat. Het koppel
2πs
sin 9 2πs
365 en cos 9 365 leverde ook geen beter model op.
44
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Residuals:
Min
1Q
Median
3Q
Max
-15.2086
-2.3178
-0.1242
2.3046
11.7484
Coefficients:
Estimate Std. Error
t value Pr(>|t|)
(Intercept) 10.597201
0.032460
326.473
< 2e-16 ***
sin(sp)
-2.572994
0.045905
-56.050
< 2e-16 ***
cos(sp)
-7.375602
0.045905 -160.671
< 2e-16 ***
0.397405
0.045905
8.657
< 2e-16 ***
cos(2 * sp) -0.136062
0.045905
-2.964
0.00304 **
sin(3 * sp) -0.066995
0.045905
-1.459
0.14448
cos(3 * sp)
0.044629
0.045905
0.972
0.33097
sin(4 * sp)
0.250385
0.045905
5.454 5.02e-08 ***
cos(4 * sp)
0.012405
0.045905
0.270
0.78698
sin(5 * sp)
0.029808
0.045905
0.649
0.51614
cos(5 * sp)
0.254952
0.045905
5.554 2.86e-08 ***
sin(6 * sp)
0.184267
0.045905
4.014 6.01e-05 ***
cos(6 * sp) -0.077406
0.045905
-1.686
0.09178 .
sin(7 * sp)
0.078660
0.045905
1.714
0.08664 .
cos(7 * sp) -0.185825
0.045905
-4.048 5.20e-05 ***
sin(8 * sp) -0.206164
0.045905
-4.491 7.16e-06 ***
cos(8 * sp)
0.006139
0.045905
0.134
sin(9 * sp) -0.126467
0.045905
-2.755
sin(2 * sp)
0.89361
0.00588 **
--Signif. codes:
0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1
1
Residual standard error: 3.397 on 10932 degrees of freedom
Multiple R-squared:
F-statistic:
0.7274,Adjusted R-squared:
0.727
1716 on 17 and 10932 DF, p-value: < 2.2e-16
2πs
2πs
2πs
2πs
We kunnen zien dat de sin 3
-, de cos 3
-, de cos 4
-, de sin 5
-,
365
365
365
365 2πs
2πs
2πs
de cos 6
-, de sin 7
- en de cos 8
-term niet significant is. Doorheen
365
365
365
de zoektocht naar ons model hebben we toch besloten om deze termen in het model te
2.4. Praktijk
45
houden, omdat we ook betere AIC- en R2 -waarden verkregen zonder de termen te verwijderen. Daarnaast verwerpen we door de grootte van de p-waarde van de F-statistiek
de nulhypothese die stelt dat alle regressieparameters, behalve deze van het intercept,
gelijk zijn aan nul. De waarde voor de determinatieco¨effci¨ent is 0.7274, wat betekent dat
72.74% van de variatie in de temperatuur verklaard wordt door het model. Wanneer we
de AIC-waarde berekenen, bekomen we 57 873.87. Tot slot plotten we in Figuur 2.11 het
patroon dat via dit model beschreven wordt.
Figuur 2.11: Patroon beschreven door het model fs
18πs
cc,i cos i 2πs
365 ] + sin 365 .
=
a +
P8
i=1 [cs,i sin
i 2πs
365
+
De R2 -waarde is hoog (72.74%), het model voor de seizoenseffecten is dus geschikt.
Hierdoor zullen we onze analyse verder zetten met de residuen in plaats van met de
geobserveerde tijdreeks voor de temperatuur. Voor deze residuen geldt
residuen = temperatuur − seizoenseffecten
(2.11)
= temperatuur − fs .
Verder werken met deze residuen is geen verlies van algemeenheid, want eens we het
model kennen voor de residuen kunnen we het geschatte signaal fs er bij optellen om zo
uiteindelijk het totale model voor de temperatuur te bekomen. Op deze residuen gaan
we een gelijkaardige analyse toepassen als in Sectie 2.4.4.1, daar vindt u ook meer uitleg
over de methodes die we hieronder toepassen. We gaan dus voor de residuen een AR-,
MA- of ARMA-model proberen schatten. Om dit te doen, bekijken we in Figuur 2.12
eerst en vooral een plot van de tijdreeks die we restemp noemen, het is de tijdreeks die
bestaat uit de residuen (2.11) waarvoor we een model proberen te schatten.
46
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Figuur 2.12: Plot van de tijdreeks restemp.
Uit deze figuur kunnen we afleiden dat dit een stationaire tijdreeks is. Dit is ook wel
logisch, want we hebben de seizoenseffecten reeds verwijderd door enkel nog naar de
residuen te kijken. Hierdoor kunnen we onmiddellijk verder gaan met onze analyse. We
bekijken zowel het correlogram in Figuur 2.13 als het partieel correlogram in Figuur 2.14.
In Figuur C.7 en Figuur C.8 in Bijlage C werd een uitgebreider correlogram en partieel
correlogram opgenomen. Aan de hand van deze figuren, vooral het partieel correlogram,
kunnen we een AR(3)-model voorstellen voor de tijdreeks restemp.
Figuur 2.13: Correlogram van de tijdreeks restemp.
2.4. Praktijk
47
Figuur 2.14: Partieel correlogram van de tijdreeks restemp.
We schatten dit AR(3)-model met behulp van R en krijgen de volgende output
Series: restemp
ARIMA(3,0,0) with non-zero mean
Coefficients:
s.e.
ar1
ar2
ar3
intercept
1.0041
-0.2570
0.0672
0.0000
0.0095
0.0133
0.0095
0.0947
sigma^2 estimated as 3.387:
AIC=44445.19
AICc=44445.19
log likelihood=-22217.59
BIC=44481.69
Via de constructie van het betrouwbaarheidsinterval van de ar1-term bekomen we 0 ∈
/
[0.98548; 1.02272], waaruit blijkt dat de ar1-term significant verschillend van nul is.
Analoog bekomen we voor de ar2-term en de ar3-term 0 ∈
/ [−0.283068; −0.230932] en
0∈
/ [0.04858; 0.08582], respectievelijk. De drie AR-termen zijn dus significant, het intercept is duidelijk niet significant verschillend van nul. Een verklaring hiervoor kan
gevonden worden in de manier waarop we de seizoenseffecten hebben voorgesteld, daar
was het intercept wel significant verschillend van nul. De AIC-waarde voor dit model
is 44 445.19. Tot slot willen we dit model nog gevalideerd zien. Hiertoe gaan we na
of de residuen van het gefitte AR(3)-model zich gedragen als witte ruis. We bekijken
48
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
om te beginnen het correlogram van deze residuen14 in Figuur 2.15. Op basis van dit
Figuur 2.15: Correlogram van de residuen van het gefitte AR(3)-model voor de tijdreeks
restemp.
correlogram zouden we kunnen besluiten dat de residuen zich gedragen als witte ruis, er
zijn immers slechts twee significante autocorrelaties waar te nemen. Om echt zeker te
zijn dat de reeks afkomstig is van een witte ruis stochastisch proces, doen we ook nog de
Box-Ljung-test. De output van deze test is als volgt
Box-Ljung test
data:
mymodel$res
X-squared = 22.5036, df = 20, p-value = 0.3138
De nulhypothese van deze test is dat de eerste twintig autocorrelaties van de residuen
gezamenlijk gelijk zijn aan nul. Deze nulhypothese wordt hier duidelijk niet verworpen
aangezien voor de p-waarde geldt 0.3138 > 0.05. We kunnen dus concluderen dat de
residuen zich gedragen als witte ruis, het model is gevalideerd.
Nu we een gevalideerd model gevonden hebben, zouden we het hierbij kunnen laten.
Maar het zou kunnen dat het correlogram en het partieel correlogram van de tijdreeks
restemp ons niet op weg gezet hebben naar het best mogelijke model, namelijk dat met
de laagste AIC-waarde. Daarom stellen we ook nog enkele andere modellen voor, die we
dan eveneens schatten en proberen valideren.
14
We willen nog eens duidelijk maken dat dit de residuen van het gefitte AR(3)-model zijn en niet de
residuen waarmee we de tijdreeks restemp geconstrueerd hebben.
2.4. Praktijk
49
Voor de zekerheid hebben we ook eens geprobeerd om een AR(1)- en een AR(2)-model
te schatten en te valideren. Maar zoals het partieel correlogram in Figuur 2.14 reeds
deed vermoeden, kunnen we uit de Box-Ljung-test voor deze modellen besluiten dat dit
geen geschikte modellen zijn voor de tijdreeks. We zouden aan het AR(3)-model nog
een extra parameter kunnen toevoegen en het AR(4)-model overwegen. Uit de schatting
van dit model blijkt dat de toegevoegde ar4-term niet significant verschillend van nul is.
De AIC-waarde voor het AR(4)-model is 44 446.28, wat hoger is dan voor het AR(3)model. We besluiten dus dat het AR(4)-model niet beter is om de tijdreeks restemp te
beschrijven.
We hebben voor de zekerheid ook nog enkele AR-termen van hogere orde toegevoegd.
Enkel het AR(5)-model doet iets beter dan het AR(3)-model, vanaf het AR(6)-model
zijn de bijkomende termen niet meer significant. We bespreken hier nog kort de output
van het AR(5)-model. Alle termen in dit model, behalve het intercept en de ar4-term,
zijn significant. De AIC-waarde die verkregen wordt, is gelijk aan 44 443.76 en dit is
iets lager dan de AIC-waarde van het AR(3)-model. We kunnen het AR(5)-model ook
als geschikt beschouwen want de p-waarde van de Box-Ljung-test is 0.6446, waardoor
we de nulhypothese niet verwerpen. Het correlogram van de residuen van het gefitte
AR(5)-model is te vinden in Figuur C.9.
Zoals het correlogram in Figuur 2.13 reeds impliceerde, zijn de MA-modellen ook niet geschikt om de tijdreeks restemp te beschrijven. We hebben dit ook nog eens gecontroleerd
en kwamen tot de conclusie dat het eerste gevalideerde MA-model het MA(12)-model
is. Dit model bevat reeds zeven parameters meer dan het AR(5)-model en levert ook
(niet totaal onverwacht) een hogere AIC-waarde gelijk aan 44 463.94. Hierdoor verlaten
we het pad van de MA-modellen. De enige overblijvende mogelijkheid is nu een beter
model te vinden binnen de klasse van de ARMA-modellen. We gaan van start met het
meest eenvoudige ARMA-model, namelijk het ARMA(1,1)-model.
Wanneer we het ARMA(1,1)-model schatten, bekomen we in R de volgende output
Series: restemp
ARIMA(1,0,1) with non-zero mean
Coefficients:
s.e.
ar1
ma1
intercept
0.7601
0.2462
0.0000
0.0073
0.0110
0.0914
50
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
sigma^2 estimated as 3.389:
AIC=44450.4
log likelihood=-22221.2
AICc=44450.41
BIC=44479.61
Via de constructie van het betrouwbaarheidsinterval zien we dat zowel de ar1- als de ma1term significant zijn. De AIC-waarde voor het ARMA(1,1)-model is gelijk aan 44 450.4,
wat hoger is dan deze van het AR(5)-model. De p-waarde die bij de Box-Ljung-test hoort,
is zodanig dat het model net gevalideerd is, immers 0.07895 > 0.05. Het correlogram
van het gefitte model is te vinden in Figuur C.10. Op basis van de AIC-waarde is het
model niet beter dan het AR(5)-model, maar het doet het ook niet zo veel slechter. We
moeten er immers rekening mee houden dat er bij de schatting van het AR(5)-model
drie parameters extra moeten geschat worden. Toch geven we nog steeds de voorkeur
aan het AR(5)-model, maar we bekijken ook nog enkele complexere ARMA-modellen,
want misschien vinden we in die klasse van modellen nog een betere specificatie voor de
tijdreeks restemp.
Binnen de klasse van ARMA-modellen vinden we enkele modellen die op basis van de
AIC-waarde beter presteren dan het AR(5)-model. Het beste model onder deze ARMAmodellen is het ARMA(2,2)-model. Wanneer we dit model schatten, krijgen we de
volgende output
Series: restemp
ARIMA(2,0,2) with non-zero mean
Coefficients:
s.e.
ar1
ar2
ma1
ma2
intercept
1.5584
-0.5971
-0.5569
-0.2189
-0.0008
0.1110
0.0869
0.1102
0.0243
0.1017
sigma^2 estimated as 3.386:
AIC=44442.01
AICc=44442.01
log likelihood=-22215
BIC=44485.81
We zien dat alle termen, behalve het intercept, significant verschillen van nul via de
constructie van het betrouwbaarheidsinterval [Zn − 1.96 · SE(Zn ); Zn + 1.96 · SE(Zn )],
waarbij Zn een schatter en SE(Zn ) de standaardfout van die schatter is. We merken ook
dat de AIC-waarde gelijk is aan 44 442.01 en dus lager dan deze van het AR(5)-model.
Als het ARMA(2,2)-model nu ook nog gevalideerd is, beschouwen we dit model als een
beter model. We bekijken in Figuur 2.16 het correlogram van de residuen. De residuen
lijken zich te gedragen als witte ruis, er is slechts ´e´en significante autocorrelatie.
2.4. Praktijk
51
Figuur 2.16: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(2,2)-model voor de tijdreeks
restemp.
Om helemaal zeker te zijn doen we de Box-Ljung-test, de output is als volgt
Box-Ljung test
data:
mymodel6$res
X-squared = 17.9023, df = 20, p-value = 0.5938
Voor de p-waarde geldt 0.5938 > 0.05, waardoor we de nulhypothese niet verwerpen. Het
ARMA(2,2)-model is dus geschikt om de tijdreeks restemp te beschrijven. Omdat we in
dit model een parameter minder moeten schatten dan in het AR(5)-model en de AICwaarde lager is, verkiezen we het ARMA(2,2)-model als specificatie voor de tijdreeks
restemp.
Nu we een model gevonden hebben voor de tijdreeks restemp, kunnen we het model
voor de tijdreeks van de temperatuur opstellen. Dit model heeft de volgende vorm
temperatuur = fourier seizoenseffecten + ARMA(2, 2).
(2.12)
Wanneer we vergelijking (2.12) invullen met wat we in het bovenstaande verkregen hebben, dan bekomen we het volgende model
8 X
2πt
2πt
18πt
Yt =a +
cs,i sin i
+ cc,i cos i
+ cs,9 sin
365
365
365
i=1
(2.13)
+ θ + α1 Yt−1 + α2 Yt−2 + ut + β1 ut−1 + β2 ut−2 ,
waar we Yt noteren voor de temperatuur op dag t. Om de notatie niet onnodig te
verzwaren, zullen we de geschatte parameters niet in de vergelijking substitueren, maar
52
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
weergeven in Tabel 2.1. Aan de hand van dit model zullen we in Sectie 3.4.3 de prijs van
een fictieve optie gaan bepalen.
parameter geschatte waarde
a
10.597201
cs,1
−2.572994
cc,1
−7.375602
cs,2
0.397405
cc,2
−0.136062
cs,3
−0.066995
cc,3
0.044629
cs,4
0.250385
cc,4
0.012405
cs,5
0.029808
cc,5
0.254952
cs,6
0.184267
cc,6
−0.077406
cs,7
0.078660
cc,7
−0.185825
cs,8
−0.206164
cc,8
0.006139
cs,9
−0.126467
θ
−0.0008
α1
1.5584
α2
−0.5971
β1
−0.5569
β2
−0.2189
Tabel 2.1: De geschatte waarde van de parameters in model (2.13).
2.5
Conclusie
In dit hoofdstuk hebben we besproken hoe we de temperatuur kunnen modelleren. Met
het oog op het prijzen van temperatuurderivaten worden er doorgaans twee groepen van
2.5. Conclusie
53
modellering beschouwd, de discrete modellering enerzijds en de continue modellering anderzijds. Met discrete modellering worden de modellen die de temperatuur beschrijven
via econometrische processen bedoeld en met continue modellering worden de modellen
die de temperatuur voorstellen via een stochastische differentiaalvergelijkingen bedoeld.
In dit hoofdstuk zijn we dan ook begonnen met het geven van enkele standaard econometrische modellen en stochastische differentiaalvergelijkingen die in de literatuur vaak
gebruikt worden om de temperatuur te beschrijven. Dit zijn bijvoorbeeld het AR-, MA-,
ARMA-, Ornstein-Uhlenbeck- en Hull-White-proces.
Vervolgens hebben we een voorbeeld gegeven van een discreet model dat in de literatuur
vaak geciteerd wordt, dit is het model van Campbell en Diebold (zie Sectie 2.4.1). We
hebben ook twee voorbeelden van een continu model voor de temperatuur gegeven, namelijk het Alaton-model en het Benth-model.
Tot slot hebben we ook zelf twee modellen opgesteld voor de Belgische temperatuur.
Deze twee modellen beschrijven de temperatuur op dag t, deze variabele wordt in de modellen voorgesteld door Yt . Het eerste model maakt gebruik van de differentie-operator
om de seizoenseffecten te modelleren, dit resulteert in
Yt =1.8097Yt−1 − 0.8097Yt−2 + Yt−365 − 1.8097Yt−366 + 0.8097Yt−367 + ut − 0.8138ut−1
− 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3 + 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5 .
Het tweede model maakt daarentegen gebruik van een Fourierreeks om de seizoenseffecten te beschrijven, dit levert
8 X
2πt
2πt
18πt
Yt =a +
cs,i sin i
+ cc,i cos i
+ cs,9 sin
365
365
365
i=1
+ θ + α1 Yt−1 + α2 Yt−2 + ut + β1 ut−1 + β2 ut−2 ,
waarbij de numerieke waarde voor de parameters opgelijst staat in Tabel 2.1.
54
Hoofdstuk 2. Modellering van de temperatuur
Hoofdstuk 3
Temperatuurderivaten prijzen
In dit hoofdstuk zullen we het prijzen van temperatuurderivaten bespreken. De prijs van
zo een derivaat zal afhankelijk zijn van het type contract, de temperatuurindex,. . . Hier
vinden we dan ook de link met Hoofdstuk 2. Aangezien de waarde van het derivaat
afhankelijk is van de gekozen temperatuurindex, is het noodzakelijk dat we de temperatuur kunnen voorspellen. Hiertoe gebruiken we de modellen gedefinieerd in vorige sectie.
Het prijzen van het derivaat zal dus ook sterk afhangen van het gebruikte model en de
correctheid ervan.
Wanneer men aandelenopties wil gaan prijzen, doet men beroep op het Black-ScholesMerton-model, we zullen zien dat voor temperatuurderivaten zo een algemeen model
niet bestaat. Er bestaat dus nog geen algemeen aanvaard, zowel praktisch bruikbaar als
wiskundig correct, kader voor het prijzen van temperatuurderivaten (Alexandridis and
Zapranis (2013)). Echter, in de praktijk merken we dat de temperatuurderivaten steeds
vaker verhandeld worden, en er dus toch enkele gangbare methoden moeten bestaan om
ze te prijzen. In dit hoofdstuk zullen we deze methoden en hun wiskundige correctheid
belichten. We gaan van start met het bespreken van het bekende Black-Scholes-Mertonmodel en in het bijzonder de tekortkomingen ervan wanneer we het willen gebruiken om
temperatuurderivaten te prijzen. Vervolgens bespreken we drie methoden, om temperatuurderivaten te prijzen, die in de literatuur het meest behandeld worden. De eenvoudigste methode is historical burn analysis. We bespreken deze methode en berekenen
de prijs van een fictieve calloptie voor Belgische temperatuurgegevens in Sectie 3.2. In
Sectie 3.3 bespreken we een iets nauwkeurigere methode, namelijk indexmodellering. De
meest nauwkeurige methode is dagelijkse simulatie. Deze methode maakt gebruik van
een model voor de temperatuur. Op basis van ´e´en van de econometrische modellen voor
de Belgische temperatuur die we in Hoofdstuk 2 hebben opgesteld, tonen we hoe een
55
56
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
optie geprijsd kan worden via discrete dagelijkse simulatie. In Sectie 3.4.4 tonen we ook
aan hoe men via continue dagelijkse simulatie te werk gaat om specifieke temperatuurderivaten (futures en callopties) te prijzen. Tot slot bespreken we ook nog twee eerder
alternatieve methoden om temperatuurderivaten te prijzen, beide methoden maken gebruik van zogenaamde nutsfuncties.
3.1
Black-Scholes-Merton
Aangezien we op zoek zijn naar een methode voor het prijzen van temperatuurderivaten,
is het een logische eerste stap om eens te kijken naar het beroemde Black-Scholes-Mertonmodel. Dit model vormt immers de basis voor het prijzen van andere financi¨ele derivaten.
Zoals in Shreve (2004) kan de Black-Scholes-Merton-differentiaalvergelijking opgesteld
worden, dit is een parti¨ele differentiaalvergelijking voor de prijs van een optie waarbij het
prijsproces van het onderliggend aandeel gemodelleerd is als een geometrische Brownse
beweging. De gezochte continue functie c(t, x) voor de waarde van de calloptie is immers
de oplossing van de Black-Scholes-Merton parti¨ele differentiaalvergelijking
1
ct (t, x) + rxcx (t, x) + σ 2 x2 cxx (t, x) = rc(t, x) voor elke t ∈ [0, T ), x ≥ 0,
2
(3.1)
met eindvoorwaarde c(T, x) = (x − K)+ , waarbij (x − K)+ = max{x − K, 0}. Wanneer
we naast de eindvoorwaarde ook enkele randvoorwaarden specificeren kan de parti¨ele
differentiaalvergelijking opgelost worden. De oplossing is
c(t, x) = xΦ(d+ (T − t, x)) − Ke−r(T −t) Φ(d− (T − t, x)),
met
0 ≤ t < T, x > 0,
1
σ2
x
d± (τ, x) = √ ln
+ r±
τ ,
K
2
σ τ
en Φ de standaard normale cumulatieve verdelingsfunctie, d.w.z.
Z y
z2
1
e− 2 dz.
Φ(y) = √
2π −∞
In de literatuur wordt er echter niet veel aandacht geschonken aan het gebruik van
het Black-Scholes-Merton-model voor het prijzen van weerderivaten. Het Black-ScholesMerton-model toont immers wel hoe de prijs van de optie bepaald kan worden uit het
onderliggend aandeel, maar maakt hiertoe ook enkele belangrijke onderstellingen:
• Het aandeel kan continu verhandeld worden, zonder extra transactiekosten.
3.1. Black-Scholes-Merton
57
• De prijs van het aandeel volgt een geometrische Brownse beweging met drift en
wordt niet be¨ınvloed door het verhandelen van het aandeel (deze transacties worden
ondernomen om de optie te hedgen).
• De markt werkt op zo een manier dat elke mogelijkheid tot arbitrage onmiddellijk
verdwijnt.
Bij het opstellen van de Black-Scholes-Merton parti¨ele differentiaalvergelijking gaat men
er van uit dat de waarde van de call overeenkomt met de portefeuillewaarde (de waarde
van een hedgingstrategie die belegt in de spaarrekening en in het aandeel) en er eveneens
geen mogelijkheid tot arbitrage bestaat. Het Black-Scholes-Merton-model is een houvast
bij het prijzen van derivaten in een complete markt. Een financi¨ele markt is compleet
wanneer elk afgeleid product kan gehedged worden (Shreve (2004)). Desondanks het
succes, brokkelt de aanpak van Black, Scholes en Merton af in incomplete financi¨ele
markten, er is dan niet meer voldaan aan de drie bovenstaande onderstellingen (hoofdzakelijk de eerste). De markt voor weerderivaten is een voorbeeld van een incomplete
markt1 , wat betekent dat niet elk product kan gehedged worden. Het grootste verschil
tussen traditionele financi¨ele derivaten en weerderivaten is dat bij de laatstgenoemde de
prijzen zijn gekoppeld aan het weer (bij temperatuurderivaten in het bijzonder aan de
temperatuur) in plaats van aan een onderliggend aandeel. Zoals in Hoofdstuk 1 reeds vermeld werd, betekent dit dat de onderliggende geen waarde heeft en dat er dus gebruik
gemaakt wordt van temperatuurindices als onderliggende. Deze indices (bijvoorbeeld
HDD en CDD2 ) zijn niet verhandelbaar. Anderzijds is er ook nog weinig of geen liquiditeit in weerderivaten. Op die manier zijn de traditionele niet-arbitrage modellen voor het
prijzen van financi¨ele derivaten, zoals het Black-Scholes-Merton-model, niet toepasbaar
om weerderivaten te prijzen.
Ten slotte vermelden we nog dat de papers die wel aandacht besteden aan het gebruik
van het Black-Scholes-Merton-model voor het prijzen van temperatuurderivaten (zie bijvoorbeeld Meissner and Burke (2011) en Jewson and Zervos (2003)) eerder de aangepaste
versie voor forwards of futures bespreken. Deze derivaten verschillen van opties in het
feit dat opties aan de houder het recht geven om te kopen of te verkopen, terwijl futures
en forwards de verplichting om te kopen of verkopen meebrengen. We merken tevens op
dat wanneer de intrestvoet niet stochastisch is, de forward- en de futureprijs samenvallen
1
De markt voor het weer is een incomplete markt aangezien de onderliggende van het weerderivaat
niet kan opgeslagen of verhandeld worden.
2
Zie Definitie 2.
58
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
(cf. Shreve (2004)). Er wordt in de voornoemde papers gesteld dat wanneer er geen rekening gehouden wordt met het feit dat de financi¨ele markt voor temperatuurderivaten
incompleet is, we gewoon gebruik kunnen maken van het Black-Scholes-Merton-model.
Immers, de payoff van de opties (call of put) met als onderliggende een temperatuurindex
kan op dezelfde manier gedefinieerd worden als deze van opties op aandelen. Het enige
wat we dan echter in ons achterhoofd moeten houden, is dat de prijs van de future of de
forward in dit bijzonder geval afhankelijk is van de temperatuurindex.
Wat we moeten onthouden over deze uiteenzetting is dat het Black-Scholes-Mertonmodel in de praktijk niet gebruikt wordt om temperatuurderivaten te prijzen, omdat de
markt voor weerderivaten incompleet is.
3.2
Historical burn analysis
Het Black-Scholes-Merton-model wordt niet gebruikt in de context van temperatuurderivaten, hierdoor zijn er vele andere methoden ontstaan om temperatuurderivaten te
prijzen. De eenvoudigste van deze methoden is Historical Burn Analysis3 (HBA). In
de literatuur (zie bijvoorbeeld Alexandridis and Zapranis (2013) en Harris (2003)) wordt
deze methode als volgt beschreven.
HBA is een klassieke aanpak voor het prijzen van weerderivaten waarbij simulaties gebaseerd op historische data uitgevoerd worden. Meer bepaald, HBA berekent de gemiddelde
payoff van de weerderivaten in de afgelopen n jaar. Deze methode waardeert de weerderivaten dus gebaseerd op de payoff die men zou verkregen hebben, wanneer het contract
in het verleden werd gehouden. Men stelt zich dus de vraag “Wat zou de uitbetaling
geweest zijn wanneer we een gelijkaardige optie de voorbije n jaar elk jaar zouden hebben verkocht?”Vaak wordt n tussen 10 en 30 jaar gekozen. De keuze van n vereist een
zorgvuldige beoordeling van het evenwicht tussen het gebruik van een tijdreeks die lang
genoeg is om een redelijk niveau van statistische significantie te verkrijgen en een reeks
die kort genoeg is om conclusies te kunnen trekken die nog voldoende relevant zijn.
Wanneer we historical burn analysis willen toepassen in de praktijk, hanteren we
de volgende werkwijze. Eerst en vooral moeten we historische temperatuurdata verzamelen en de noodzakelijke correcties aanbrengen. De correcties zijn nodig omdat de
verkregen gegevens vaak enkele problemen vertonen:
• Ook al is de data beschikbaar, deze kan foute gegevens bevatten en/of er kunnen
zelfs gegevens ontbreken.
3
Deze methode staat ook bekend als actuarieel prijzen.
3.2. Historical burn analysis
59
• Een schrikkeljaar heeft 366 dagen in plaats van 365.
• Het weerstation dat de gegevens levert, kan gedurende de meetperiode significant
gewijzigd zijn. Het weerkundig observatorium kan doorheen de jaren bijvoorbeeld
elders gevestigd worden of er kan bijvoorbeeld een stadseffect ontstaan (de bebouwing rondom het weerstation neemt toe en beton en bakstenen houden de warmte
veel langer vast).
• De gegevens zouden een bepaald jaar kunnen bevatten waarin extreme weersomstandigheden voorkwamen.
Het is echter mogelijk om de data aan te passen zodat deze problemen omzeild worden.
We kunnen dan eveneens de data omzetten naar de gebruikte index, zie Hoofdstuk
1. Vervolgens moeten we voor de voorbije n jaren bepalen wat de optie zou hebben
uitbetaald en het gemiddelde van deze n payoffs berekenen. Ten slotte moeten we dit
gemiddelde verdisconteren naar de waarderingsdatum (de dag waarop het contract begint
te lopen). De prijs wordt dus
n
1X
P (t) = D(t, T ) ·
payoffi ,
n i=1
(3.2)
waarbij D(t, T ) de verdisconteringsfactor van maturiteit T naar t voorstelt.
Er bestaat echter ook nog een onvoorspelbare component van de weerschommelingen,
deze zit vervat in het weerrisico. Wanneer we dus naast het gemiddelde ook de standaarddeviatie van de payoffs beschouwen en het weerrisico voorstellen door deze standaarddeviatie, dan kunnen we de prijs van het contract als volgt neerschrijven
P (t) = D(t, T ) · (µ ± α · σ),
(3.3)
waarbij D(t, T ) de verdisconteringsfactor van maturiteit T naar t voorstelt, µ de historische gemiddelde payoff is, σ de historische standaarddeviatie weergeeft en α een positief
getal is dat de risicotolerantie uitdrukt.
Het is duidelijk dat HBA zeer simplistisch is en ook zeer makkelijk te berekenen, het
is immers niet nodig om de verdeling van de temperatuur te beschouwen of een stochastische differentiaalvergelijking op te lossen. Bovendien worden er in deze methode
erg weinig onderstellingen gemaakt. De eerste en voornaamste onderstelling is dat de
tijdreeks die de temperatuur weergeeft stationair is. Een tijdreeks is, eenvoudig gezegd,
stationair (zie Definitie 6) wanneer ze voor elk tijdsvenster dezelfde algemene eigenschappen heeft. Dit houdt in dat de toekomst zich ongeveer zoals het verleden zal gedragen.
60
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Daarnaast wordt er ook nog aangenomen dat de data voor de verschillende jaren onafhankelijk en identiek verdeeld zijn.
Door de eenvoud van deze methode zijn er ook verschillende nadelen aan verbonden.
Eerst en vooral, wanneer we een tijdreeks van de temperatuur inspecteren, merken we
dat de gemaakte onderstellingen eigenlijk niet correct zijn. Zo geldt stationariteit niet
voor een tijdreeks die de temperatuur weergeeft. Studies tonen immers aan dat de temperatuur een stijgende trend vertoont (als gevolg van verstedelijking, opwarming van de
aarde,. . . ) en er eveneens seizoensgevoeligheid aanwezig is. Dit hebben we in Sectie 2.4.4
ook opgemerkt, we verwijzen hiervoor in het bijzonder naar Figuur 2.3 en 2.4. Daarnaast
geldt er voor observaties in een tijdreeks dat deze niet onafhankelijk zijn.
Vervolgens zal de aanwezigheid van een afwijking in de temperatuurdata4 een significant
effect hebben op de waardering van het weerderivaat.
Omdat de onderstellingen niet correct zijn, er geen voorspellingen worden gebruikt en
het resultaat sterk be¨ınvloed wordt door de gebruikte data, zal HBA een vertekende en
onnauwkeurige methode zijn.
Schiller et al. (2012) breiden het concept van de HBA-methode, zoals deze hierboven beschreven werd, uit. Ze stellen eveneens dat temperatuurderivaten gewaardeerd kunnen
worden door de toekomstige payoff van het contract te bepalen uit de gegeven historische payoffs. Daarnaast benadrukken ze dat de index gekend dient te zijn om de payoff
van het contract te bepalen. Wanneer men bijvoorbeeld een derivaat voor de meetperiode [τ1 , τ2 ] wil prijzen voor het jaar n + 1, kan men de (fictieve) indices (voor hetzelfde
derivaat) in de jaren n, n − 1, n − 2,. . . gaan berekenen. Deze indices kunnen bepaald
worden uit de gebruikte temperatuurdata. Hierdoor bekomt men een stochastisch proces
dat de indices van de voorbije n jaren voorstelt: Y1 , Y2 ,. . . ,Yn . Wat Schiller et al. (2012)
nu extra doen is op basis van deze informatie de index voor het jaar n + 1 (d.i. Yn+1 )
proberen voorspellen. Men kan als volgt te werk gaan. Vertrek van het simpel lineair
regressiemodel
Yi = β0 + β1 · i + εi ,
i = 1, . . . , n,
waarbij
• E[εi ] = 0, i = 1, . . . , n;
• Var(εi ) = σ 2 , i = 1, . . . , n;
• Cov(εi , εj ) = 0, i 6= j.
4
Deze afwijking kan veroorzaakt worden door zowel extreme weersomstandigheden als fouten in de
data.
3.2. Historical burn analysis
61
Hieruit kan men β0 (intercept) en β1 (rico) via de methode van de kleinste kwadraten5
als volgt schatten (cf. Goetghebeur (2011))
!
n
n
X
X
1
n+1 ˆ
βˆ0 =
·
Yi − βˆ1
i =Y −
· β1 ,
n
2
i=1
i=1
Pn
Pn
Pn
n+1
i=1 i
(i
−
)(Y
−
Y
)
i
i=1
i=1 (i − 2 )(Yi − Y )
n
ˆ
P
P
β1 =
,
=
n
Pn
n
n+1 2
i=1 i 2
)
i=1 (i − 2 )
i=1 (i −
n
n
n
X
1X
n · (n + 1)
Yn en
i=
.
n i=1
2
i=1
Uit de Gauss-Markov stelling weten we dat onder de voorwaarden van het simpel lineair
regressiemodel met ongekende foutterm-verdeling, de kleinste kwadraten schatters βˆ0 en
met Y =
βˆ1 onvertekend zijn en minimale variantie6 hebben. Samengevat betekent dit dat onder
de voorwaarden E[εi ] = 0, Var(εi ) = σ 2 en Cov(εi , εj ) = 0, i 6= j, de beste lineaire
onvertekende schatter voor Yi gelijk is aan Ybi = βˆ0 + βˆ1 · i. Dus, de index Yn+1 kan als
volgt voorspeld worden
Ybn+1 = βˆ0 + βˆ1 · (n + 1).
Nu kan men dan de prijs van het derivaat opstellen op basis van de payoff die door
gebruik van deze index bekomen wordt.
Samengevat kan men stellen dat Schiller et al. (2012) niet onmiddellijk de historische
payoffs beschouwen, maar wel de historische index. Op basis van de gegevens over de
historische index gaan zij een model opstellen en gebruiken dit model om de toekomstige
index te bepalen. Die index gebruiken ze dan om het derivaat te prijzen. We merken
nog op dat de in de literatuur meest voorkomende beschrijving van HBA echter geen
voorspellingen incorporeert.
Historical burn analysis wordt beschouwd als de eenvoudigste methode (op het gebied van implementatie) om een derivaat te prijzen en als de meest gevoelige voor grote
fouten in de berekende prijs. Toch wordt HBA nog steeds beschouwd als een aanvaardbare eerste benadering om de prijs van het contract te bepalen, hierdoor wordt het ook
veel gebruikt door marktdeelnemers. Omdat deze methode zo eenvoudig is, gebruiken we
ze om de prijs te bepalen van een calloptie met behulp van Belgische temperatuurdata.
5
De methode van de kleinste kwadraten vertrekt van het simpel lineair regressiemodel Yi = β0 +
Pn
2
β1 · xi + εi en zoekt dewaarden voor β0 en β1 die i=1 (yi − β0 − β
1 xi ) minimaliseren. Deze worden
Pn
P
P
(x −¯
x)(Yi −Y )
n
n
ˆ
ˆ ¯ en βˆ1 = i=1
Pn i
gegeven door βˆ0 = n1 ·
.
i=1 xi = Y − β1 x
i=1 Yi − β1
x) 2
i=1 (xi −¯
P
n
6
Elke onvertekende schatter van de vorm i=1 wi Yi heeft een variantie die minstens gelijk is aan de
variantie van de kleinste kwadraten schatter.
62
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
3.2.1
Prijzen op basis van HBA met Belgische temperatuurdata
In deze sectie gaan we via HBA een fictief contract7 prijzen gebruik makend van de
Belgische temperatuurdata die we ook in Sectie 2.4.4 gebruikt hebben. Het weerstation
waarvan de gegevens worden verkregen, is gevestigd in Ukkel. Het contract is een calloptie geschreven op de CAT-index voor de zomermaanden (in dit geval mei-september).
Het contract heeft dus een looptijd van 153 dagen. We veronderstellen dat het uitoefenniveau 2 500 is, dat de tick size e 20 per indexpunt is en dat er geen maximum op de
uitbetaling staat. We merken op dat de gebruikte temperatuurdata slechts lopen tot en
met 2010 en daarom nemen we aan dat we dit contract voor de zomermaanden in 2011
willen kopen.
Om de prijs van de calloptie via HBA te bepalen, gaan we eerst en vooral na wat de
optie zou hebben uitbetaald in de voorbije jaren. De payoff van deze calloptie ziet er als
volgt uit
payoff = max{CAT − 2 500, 0} × tick size.
(3.4)
De berekeningen zijn eenvoudig in Excel te maken. We bepalen eerst voor elk jaar de
CAT-index8 voor de periode mei-september zoals in Definitie 3. Uit de waarde van de
index kunnen we vervolgens max{CAT − 2 500, 0} bepalen. Uiteindelijk kunnen we de
payoff berekenen door deze waarde te vermenigvuldigen met e 20, zie Tabel 3.1.
Wanneer de prijs van de calloptie bepaald wordt via (3.2), moeten we het gemiddelde
van de payoffs berekenen. Een simpele calculatie levert dat dit gemiddelde gelijk is aan
e 854. De prijs voor de calloptie op tijdstip t wordt dus
P (t) = D(t, T ) · 854,
(3.5)
waarbij D(t, T ) de verdisconteringsfactor van maturiteit T naar t voorstelt.
Wanneer we ook het weerrisico in onze prijs willen opnemen, dan kunnen we de prijs
van de calloptie bepalen via (3.3). Hier hebben we ook de historische standaarddeviatie
van de payoff voor nodig, deze waarde kan ook via een ingebouwde formule in Excel
berekend worden. Deze calculatie levert σ = 1 275.69. De prijs voor de calloptie op
tijdstip t wordt in dit geval
P (t) = D(t, T ) · (854 ± α · 1 275.69),
7
8
De parameters van zo een contract zijn te vinden in Hoofdstuk 1.
We ronden af op de eenheid, omdat de tick size gedefinieerd is per indexpunt.
(3.6)
3.3. Indexmodellering
63
waarbij D(t, T ) de verdisconteringsfactor van maturiteit T naar t voorstelt en α een
positief getal is dat de risicotolerantie uitdrukt. Omdat de prijs van de calloptie positief
854
moet zijn, moet 854 ± α · 1 275.69 ≥ 0 gelden, d.i. α ≤
= 0.67.
1 275.69
Wanneer we veronderstellen dat r = 2.25% de constante intrestvoet is en D(t, T ) =
e−r(T −t) noteren, kunnen we via (3.2) de prijs voor de calloptie op de ingangsdatum van
het contract bepalen. Formule (3.5) verder invullen, levert
153
P (t) = e−0.0225· 365 · 854 = 845.98.
De prijs voor de calloptie op de ingangsdatum van het contract is dus e 845.98.
Wanneer we nu ook nog veronderstellen dat voor de risicotolerantie α = 0.5 geldt, kunnen
we via (3.6) grenzen voor de prijs van de calloptie bepalen. We krijgen
153
P (t) = e−0.0225· 365 · (854 ± 0.5 · 1 275.69)
= e−0.0094 · (854 ± 637.845),
en dus P (t) ∈ [214.13, 1 477.84]. De prijs voor de calloptie op de ingangsdatum van
het contract varieert dus tussen e 214.13 en e 1477.84 wanneer we ook het weerrisico
meenemen in de prijsbepaling.
3.3
Indexmodellering
In deze sectie zullen we een methode bespreken die nog steeds redelijk eenvoudig is,
maar vaak nauwkeurigere resultaten zal opleveren dan de aanpak via historical burn
analysis, die in de vorige sectie uiteengezet werd. We baseren ons op Alexandridis
and Zapranis (2013) en Brix et al. (2002). De methode vereist het opstellen van een
model voor de onderliggende temperatuurindex (zie Hoofdstuk 1) en staat bekend als
indexmodellering. Men kan de index modelleren op basis van zowel parametrische als
niet-parametrische verdelingen.
Een eerste stap in de modellering is de specificatie van het model, hiertoe moet men
een verdeling kiezen. Brix et al. (2002) stellen dat de eenvoudigste vorm van een nietparametrische verdeling, de empirische (historische) distributie van de indices is. Het
gebruik van deze distributie wordt ook burn analysis genoemd. Met andere woorden,
modellering van de index via een niet-parametrische verdeling valt samen met de methode
uit Sectie 3.2. Meer bepaald met de methode die door Schiller et al. (2012) beschreven
werd, omdat deze specifiek focust op de temperatuurindices. Voor het verschil tussen
HBA en indexmodellering volgens Schiller et al. (2012), zie infra.
64
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
jaar
CAT-index
max{CAT − 2 500, 0}
payoff (e)
1981
2 381
0
0
1982
2 583
83
1 660
1983
2 553
53
1 060
1984
2 282
0
0
1985
2 365
0
0
1986
2 348
0
0
1987
2 305
0
0
1988
2 390
0
0
1989
2 599
99
1 980
1990
2 489
0
0
1991
2 389
0
0
1992
2 568
68
1 360
1993
2 385
0
0
1994
2 527
27
540
1995
2 586
86
1 720
1996
2 295
0
0
1997
2 551
51
1 020
1998
2 474
0
0
1999
2 619
119
2 380
2000
2 498
0
0
2001
2 486
0
0
2002
2 512
12
240
2003
2 692
192
3 840
2004
2 499
0
0
2005
2 569
69
1 380
2006
2 756
256
5 120
2007
2 498
0
0
2008
2 547
47
940
2009
2 619
119
2 380
2010
2 497
0
0
Tabel 3.1: Gegegevens die de payoff van het contract bepalen.
3.3. Indexmodellering
65
Wanneer men het heeft over indexmodellering wordt dus eigenlijk modellering van de
index via parametrische verdelingen bedoeld. Men kan verschillende parametrische verdelingen gebruiken en dit afhankelijk van de gebruikte temperatuurindex. Een normale
verdeling is vaak een gepaste keuze voor de HDD en CDD indices, vooral voor contracten
over een langere periode. Dit kan verklaard worden door de centrale limietstelling.
Stelling 1. Als X1 , X2 , . . . , Xn onafhankelijk en identiek verdeelde stochastische variabelen zijn met gemiddelde µ en variantie 0 < σ 2 < ∞, dan geldt
" n
#
X
√
lim Pr
Xi ≤ nµ + xσ n = Φ(x),
n→∞
i=1
met Φ(x) de standaard normale verdelingsfunctie.
Er kan ook worden aangetoond dat wanneer extreme gebeurtenissen (zoals het aantal
dagen met een temperatuur die een hoge drempel overschrijdt) bijna onafhankelijk zijn,
ze ongeveer Poisson verdeeld moeten zijn. Echter, extreme weersomstandigheden komen
vaak voor in clusters en kunnen dus vaak beter gemodelleerd worden door het gebruik van
een negatief binomiale verdeling. Er bestaat echter praktisch geen theorie die aangeeft
welke verdeling effectief het best gebruikt wordt om de index te beschrijven. Hierdoor
bestaat er een significante kans dat een niet geschikte verdeling gebruikt wordt, waardoor
er grote fouten ontstaan in de verkregen prijzen van het contract.
Een volgende stap in de modellering is het schatten van het model. In de parametrische verdelingen komen, vanzelfsprekend, parameters voor en deze zullen moeten geschat
worden. De meest effici¨ente methode om deze parameters te schatten is de maximumlikelihoodmethode. Om schattingen voor de parameters α, β, . . . te bekomen, maximaliseren we de (log-)likelihood
l(α, β, . . . ; ~y ) = log
Y
fYi (yi ; α, β, . . .).
Ten slotte moet het model gevalideerd worden. Het is dus belangrijk om de goodness-offit te testen, zo gaat men na hoe goed het model de gegeven observaties weergeeft. De
schaarste aan gegevens, waarmee men vaak geconfronteerd wordt bij indexmodellering,
kan het moeilijk maken om onderscheid te maken tussen een slechte fit door de steekproeffout enerzijds en een slechte fit die te wijten is aan de keuze van een verkeerd
model anderzijds. Dit maakt het bijzonder belangrijk om in te schatten hoe veel variatie
verwacht wordt door de steekproeffout en om diverse controles van het model toe te
passen.
We kunnen besluiten dat we de volgende stappen moeten doorlopen om de prijs van het
temperatuurderivaat te bepalen:
66
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
• De waarden van de index worden willekeurig getrokken uit een geschikte verdeling.
• De payoffs worden bepaald aan de hand van de verkregen indices in de eerste stap.
• Bepaal de gemiddelde payoff en verdisconteer dit resultaat.
Tot slot geven we nog mee hoe Schiller et al. (2012) de aanpak via indexmodellering
beschrijven. Zij stellen dat modellering van de index verder bouwt op de aanpak via
historical burn analysis, door ook de verdeling van de temperatuurindex te schatten. Wanneer de verdeling relatief goed geschat kan worden, zal deze methode een
stabieler resultaat opleveren.
Wanneer we de drie onderstellingen uit de sectie 3.2 aanvullen met een vierde, namelijk
dat de storingstermen εi , i = 1, . . . , n+1 onafhankelijk en identiek normaal verdeeld zijn,
verkrijgen we een verdelingsfunctie voor de index Yi . Immers wanneer εi ∼ N (0, σ 2 ),
dan geldt Yi ∼ N (β0 + β1 i, σ 2 ). Merk op dat de hypothese van een normale verdeling
d n+1 − Ybn+1 ), d.i. de variantie
het vaakst zal gemaakt worden. We kunnen nu ook Var(Y
van de fout van de voorspelling (Yn+1 − Ybn+1 ), schatten9 . Zoals in Goetghebeur (2011)
geldt
!
n+1 2
n
+
1
−
1
2
Var(Yn+1 − Ybn+1 ) = σ 2 · 1 + + Pn
n+1 2
n
i=1 i − 2


n+1 2
( 2 )
1

= σ 2 · 1 + + P n
(n+1)2
n
2
i=1 i − (n + 1)i +
4


2
1
(n + 1)

= σ 2 · 1 + + P (n+1)2
n 4 n
2
i=1 i − (n + 1)i +
4
2
1
(n + 1)
2
P
P
= σ · 1 + + Pn 2
n 4 i=1 i − 4(n + 1) ni=1 i + ni=1 (n + 1)2
!
2
n+1
(n + 1)
= σ2 ·
+ (n+1)(2n+1)n
n
4
− 4(n + 1) n(n+1)
+ n(n + 1)2
6
2
!
(n + 1)
n+1
= σ2 ·
+ (2n+1)n
n
4 6 − 4 n(n+1)
+ n(n + 1)
2
!
n
+
1
(n
+
1)
= σ2 ·
+
n
n 32 (2n + 1) − 2(n + 1) + n + 1
9
Er wordt opnieuw
vertrokken van2 het simpel lineair regressiemodel Yi = β0 + β1 xi + εi , waaruit
(X −¯
x)
2
b
Var(Yp − Yp ) = σ · 1 + 1 + Pn p
bekomen wordt.
2
n
x)
i=1 (xi −¯
3.4. Dagelijkse simulatie
67
(n + 1)
= σ2 ·
4
n + 23 − (n + 1)
3
!
(n
+
1)
n
+
1
+
= σ2 ·
n
n 13 (n − 1)
n + 1 3(n + 1)
2
=σ ·
+
n
n(n − 1)
(n − 1)(n + 1) + 3(n + 1)
2
=σ ·
n(n − 1)
(n − 1 + 3)(n + 1)
2
=σ ·
n(n − 1)
(n + 2)(n + 1)
= σ2 ·
.
n(n − 1)
n+1
+
n
n
!
We willen echter een schatting voor deze variantie, d.w.z. dat we de waarde σ 2 zullen
n
1 X
(Yi − Ybi )2 , dit
moeten schatten. De kleinste kwadraten schatter van σ 2 is σ
ˆ2 =
n − 2 i=1
is tevens een onvertekende schatter. Door gebruik te maken van deze schatter bekomen
we dus
d n+1 − Ybn+1 ) = (n + 2)(n + 1) σ
Var(Y
ˆ2.
n(n − 1)
3.4
Dagelijkse simulatie
In deze sectie bespreken we een methode die nauwkeuriger is dan HBA en indexmodellering, we hebben ons hiervoor gebaseerd op Alexandridis and Zapranis (2013) en
Schiller et al. (2012). Dagelijkse simulatie maakt gebruik van stochastische methoden
om de temperatuur te modelleren op een dagelijkse basis. De temperatuur kan door
zowel een discreet als een continu proces gemodelleerd worden. De dynamische modellen
die hierdoor ontstaan, simuleren het toekomstig gedrag van de temperatuur rechtstreeks.
De geschatte modellen kunnen uiteindelijk gebruikt worden om er de corresponderende
indices uit af te leiden en om verschillende temperatuurderivaten te prijzen. Het effectief
prijzen van de derivaten, steunend op dagelijkse simulatie, wordt besproken in Sectie
3.4.3 en 3.4.4.
Dat men door het gebruik van modellen voor de dagtemperatuur een nauwkeuriger resultaat bekomt dan bij HBA (zie Sectie 3.2) voor de prijs van een derivaat, is vooral
te verklaren doordat de dagelijkse modellering de beschikbare historische gegevens volledig gebruikt. Via dagelijkse modellering van de temperatuur kan eveneens een nauwkeurigere prijs bekomen worden dan via indexmodellering (zie Sectie 3.3). Zo gaat er
68
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
bijvoorbeeld veel informatie (over zowel gewone als extreme gebeurtenissen) verloren
wanneer de temperatuurindex berekend wordt via (bijvoorbeeld) een normaal verdeeld
proces. Op de indices zijn er bijvoorbeeld bepaalde grenzen van toepassing, de degree
days zijn begrensd door nul. Dagelijkse simulatie heeft nog een ander voordeel. Daar
bij indexmodellering voor elke index steeds een ander model moet worden geschat, heeft
men bij dagelijkse simulatie genoeg aan ´e´en model dat aan de data is aangepast. Dit
model kan gebruikt worden voor alle beschikbare contracten op de markt op dezelfde
locatie. Bovendien kunnen we via het gebruik van een dagelijks model een nauwkeurige
representatie van alle indices en hun verdeling bekomen. Ten slotte is het, in tegenstelling tot indexmodellering en HBA, gemakkelijk om weersvoorspellingen te integreren.
Het afleiden van een correct model voor de dagtemperatuur is echter geen eenvoudige
opdracht (we verwijzen hiervoor ook naar Hoofdstuk 2). Observaties van de temperatuur vertonen seizoensgevoeligheid in het gemiddelde, de variantie, de verdeling en de
autocorrelatie. Soms vertonen de waarnemingen ook een stijgende trend. Het is dan ook
belangrijk dat het model deze eigenschappen correct weergeeft. Het risico dat aan de
methode via dagelijkse simulatie verbonden is, is dat kleine fouten in het model kunnen
leiden tot grote fouten in de prijzen van de contracten.
In de literatuur worden twee methodes voorgesteld om de gemiddelde dagtemperatuur
te modelleren, men maakt gebruik van ofwel een discreet ofwel een continu proces.
3.4.1
Discreet proces
Men kan argumenteren dat het voordeliger is om een discreet proces te gebruiken om de
temperatuur te modelleren. Men kan bijvoorbeeld stellen dat er onmiddellijk een discreet
proces moet worden gebruikt, omdat de waarden van de temperatuur in discrete vorm
gegeven worden. Een aanpak via discrete processen valt samen met een werkwijze via
tijdreeksen. De algemene modellen die in dit kader gebruikt worden, werden besproken
in Sectie 2.1. Alexandridis and Zapranis (2013) geven een overzicht van de modellen,
gebaseerd op een discreet proces, die in de praktijk gehanteerd worden. Wij hebben er
voor gekozen om het model voorgesteld door Sean D. Campbell en Francis X. Diebold
uitgebreid te bespreken (zie Sectie 2.4.1), omdat dit model vaak geciteerd wordt in de
literatuur.
3.4. Dagelijkse simulatie
3.4.2
69
Continu proces
De continue modellen maken gebruik van stochastische differentiaalvergelijkingen, dit
zijn vaak varianten van een mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck stochastische differentiaalvergelijking. De temperatuur toont seizoensgevoeligheid in het gemiddelde en in de
variantie, waardoor de component die de seizoensgevoeligheid beschrijft accuraat moet
gemodelleerd worden. Dit werd ook reeds besproken in Sectie 2.3 en 2.4. Het is ook
belangrijk dat een precieze schatting van de snelheid van mean-reversion verkregen
wordt en dat de verdeling van de residuen correct geselecteerd wordt. Tot slot moet
de geschikte lengte van de gebruikte tijdreeks van de temperatuur gekozen worden (zie
hieromtrent ook de bespreking in Sectie 3.3) om de verschillende parameters van de gediscretiseerde versie van het model te kunnen schatten.
Zodra het proces geschat is, kan men de waarde van een voorwaardelijke vordering bepalen door de verwachte waarde van de verdisconteerde toekomstige payoffs te beschouwen. Door de vaak complexe vorm van het proces en de pad-afhankelijke structuur
van de (meeste) payoffs, heeft de uitdrukking voor de prijs van het contract doorgaans
geen oplossingen die in gesloten vorm te schrijven zijn. In dat geval worden Monte
Carlo-simulaties gebruikt. Dit omvat gewoonlijk het genereren van een groot aantal gesimuleerde scenario’s van de temperatuur(indices) om zo de mogelijke payoffs van het
temperatuurderivaat te bepalen. De uiteindelijke prijs van het derivaat is dan het gemiddelde van alle gesimuleerde payoffs, eventueel verdisconteerd (om rekening te houden
met de tijdwaarde van het geld).
De precisie van de Monte Carlo-simulatie hangt natuurlijk af van de keuze van het temperatuurproces. In Alexandridis and Zapranis (2013) wordt een mooi overzicht gegeven
van de in de literatuur reeds gebruikte continue processen. Wij hebben er hier twee van
in detail besproken, namelijk het Alaton-model en het Benth-model (zie Sectie 2.4.2 en
2.4.3, respectievelijk). Om af te sluiten merken we nog op dat wij twee modellen gekozen
hebben die gebruik maken van een Brownse beweging, er bestaan echter ook modellen
die een gefractioneerde Brownse Beweging of een L´evy-proces hanteren.
Het bouwen van een algoritme dat de basiskenmerken van de temperatuur correct zou
defini¨eren, zou leiden tot een nauwkeurige prijsbepaling voor weerderivaten. In de volgende secties beschrijven we hoe we deze modellen nu ook concreet kunnen gebruiken
om temperatuurderivaten te prijzen.
70
3.4.3
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Prijzen op basis van discrete dagelijkse simulatie
In deze sectie zullen we aantonen hoe de discrete, econometrische modellen voor de temperatuur kunnen gebruikt worden om de prijs voor een temperatuurderivaat te bepalen.
We zullen hiertoe het model voor de Belgische temperatuurgegevens, dat we in Sectie
2.4.4.2 opgesteld hebben, gebruiken. Aan de hand van dit model zullen we de prijs
voor de calloptie, die we ook in Sectie 3.2.1 gebruikt hebben, bepalen. De calloptie is
geschreven op de CAT-index over de periode van 1 mei tot en met 30 september. We
veronderstellen dat het uitoefenniveau 2 500 is en dat de tick size e 20 is. De payoff
van de optie wordt gegeven door (3.4). Hieronder zullen we beschrijven hoe we te werk
gaan om de prijs van deze optie te bepalen, wanneer we het contract willen kopen voor
de zomermaanden in 2011. We verwijzen naar Appendix B.4 voor de gebruikte R-code.
Omdat we de prijs van de calloptie voor de zomermaanden in 2011 willen bepalen, hebben we een voorspelling voor de temperatuur in deze maanden nodig. Deze temperaturen
kunnen we met behulp van het model simuleren. Hiertoe hebben we eerst 1 000 simulaties van het ARMA(2,2)-model, dat we gespecifieerd hadden voor de variabele restemp,
voor de periode mei-september 2011 gemaakt. Om de correcte temperaturen te bekomen,
hebben we vervolgens deze gesimuleerde waarden vermeerderd met de seizoenseffecten
fs voor de periode mei-september. Ten slotte hebben we deze temperaturen bij elkaar
opgeteld om de CAT-index te bekomen. We beschikken nu dus over 1 000 gesimuleerde
waarden voor de CAT-index over de periode mei-september. Via deze CAT-index kunnen we de payoff van de calloptie (3.4) bepalen. We bezitten nu 1 000 mogelijke waarden
voor de payoff van de calloptie en van deze waarden kunnen we uiteindelijk het gemiddelde nemen. Dit gemiddelde beschouwen we als de werkelijke payoff van het contract,
we bekomen e 968.46.
Wanneer we veronderstellen dat r = 2.25% de constante intrestvoet is en D(t, T ) =
e−r(T −t) noteren, kunnen we de prijs voor de calloptie op de ingangsdatum van het contract bepalen. Voor de prijs van de calloptie op tijdstip t geldt
P (t) = D(t, T ) · payoff,
waarbij D(t, T ) de verdisconteringsfactor van maturiteit T naar tijdstip t is. Hierdoor is
de prijs van de calloptie op de ingangsdatum van het contract gelijk aan
153
P (t) = e−0.0225 365 · 968.46 = 959.37.
De prijs van de calloptie is e 959.37. Via HBA bekomen we voor hetzelfde contract
e 845.98 (zie Sectie 3.2.1). De prijs voor de optie die we met behulp van een model voor
3.4. Dagelijkse simulatie
71
de Belgische temperatuur bekomen, is dus duurder dan de prijs die we verkrijgen via
HBA.
3.4.4
Prijzen op basis van continue dagelijkse simulatie
In deze sectie, gebaseerd op Alexandridis and Zapranis (2013) en Benth and Benth
(2005), zullen we de formules voor het prijzen van verschillende temperatuurderivaten
presenteren. We zullen hier de derivaten effectief gaan prijzen gebruik makend van dagelijkse simulatie aan de hand van een continu proces. Aangezien we ons hier toespitsen op
de continue processen zullen we, wanneer we gebruik maken van de indices uit Hoofdstuk
1, de som in de definities vervangen door een integraal.
Wanneer de markt compleet is, kan een unieke risiconeutrale kansmaat Q ∼ P verkregen
worden, waarbij P de kansmaat in de echte wereld voorstelt. Deze verandering van maat
maakt van het stochastisch proces een martingaal. Hierdoor kunnen financi¨ele derivaten
geprijsd worden door de verdisconteerde verwachte waarde van de payoff van het derivaat
onder de risiconeutrale maat te nemen. De markt voor het weer is echter incompleet,
in de zin dat de onderliggende van het weerderivaat niet kan opgeslagen en verhandeld
worden. Bovendien is de markt erg illiquide. In principe kan (uitgebreide) risiconeutrale
waardering nog steeds uitgevoerd worden in incomplete markten. Echter, in incomplete
markten kan een unieke prijs niet verkregen worden met behulp van de niet-arbitrage
aanname. Met andere woorden, er bestaan veel equivalente martingalen en daardoor
kunnen alleen boven- en ondergrenzen voor de prijzen van voorwaardelijke vorderingen
worden ingevoerd.
De verandering van maat van de echte wereld naar de risiconeutrale wereld onder de
dynamiek van een Brownse beweging kan worden uitgevoerd door gebruik te maken van
de stelling van Girsanov (cf. Shreve (2004)). De stelling van Girsanov transformeert
een Brownse beweging onder P naar een nieuwe Brownse beweging onder Q en vertelt
ons hoe een stochastisch proces verandert wanneer de maat wijzigt. Door het gebruik
van een Brownse beweging veronderstellen we een normale verdeling, die behouden blijft
door de verandering van maat. Het weer wordt echter niet steeds gedreven door een
normale verdeling. Zo verkrijgt men vaak een beter model voor de temperatuur wanneer
men uitgaat van een ingewikkelder sprongproces, zoals het L´evy-proces. Wanneer we gebruik maken van een L´evy-proces kan de verandering van maat worden uitgevoerd door
gebruik te maken van de Esscher-transformatie, dit is een uitbreiding van de stelling van
72
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Girsanov10 . De Esscher-transformatie behoudt op haar beurt de eigenschappen van de
verdeling van het L´evy-proces. De Esscher-transformatie wordt uitgebreider besproken
in Sectie 3.4.4.2.
Tot slot kan de geactualiseerde verwachte payoff van de verschillende contracten worden
geschat. De oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking die de dynamiek van
de temperatuur beschrijft, moet echter bepaald worden om de verwachte payoff van elk
derivaat te schatten.
3.4.4.1
Brownse beweging
In deze sectie nemen we aan dat een normale verdeling gerechtvaardigd is voor de dynamiek van de temperatuur.
3.4.4.1.1
Stochastische differentiaalvergelijking voor de temperatuur
Dagelijkse simulatie aan de hand van continue processen maakt gebruik van stochastische
differentiaalvergelijkingen om de temperatuur te modelleren. Deze vergelijkingen zijn
vaak varianten van een mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck-proces. Het voorgestelde
model kan worden gebruikt om de theoretische prijzen van de temperatuurderivaten te
verkrijgen. Echter, om over te gaan tot de prijsstelling van de contracten, moet de
oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking bepaald worden.
We volgen Alexandridis and Zapranis (2013) in hun keuze van een Ornstein-Uhlenbeckproces, met een tijdsafhankelijke snelheid van mean-reversion, om de temperatuur te
modelleren. Door onze keuze van definities komt dit proces overeen met wat in deze
masterproef het Hull-White-proces genoemd wordt.
Stelling 2. Veronderstel dat de temperatuur een Hull-White-proces volgt
dT (t) = dS(t) + κ(t)(T (t) − S(t))dt + σ(t)dW (t),
met S(t), κ(t) en σ(t) deterministische functies. S(t) beschrijft de seizoenseffecten van
de temperatuur, κ(t) staat voor de tijdsafhankelijke snelheid van mean-reversion en de
volatiliteit σ(t) is een meetbare en begrensde functie. Een expliciete oplossing van deze
vergelijking wordt gegeven door
T (t) = S(t) + e
Rt
0
κ(u)du
Rt
(T (0) − S(0)) + e
0
κ(u)du
Z
t
σ(s)e−
Rs
0
κ(u)du
dW (s).
0
10
Men kan ook zeggen dat de stelling van Girsanov een speciaal geval is van de Esscher-transformatie
voor de Brownse beweging.
3.4. Dagelijkse simulatie
73
Bewijs. Het bewijs van deze stelling werd reeds gegeven in Sectie 2.3.2, wanneer we
X(t) = T (t) − S(t), α(t) = 0 en −β(t) = κ(t) stellen.
Het resultaat van Stelling 2 zal rechtstreeks worden gebruikt bij de bepaling van de
theoretische prijs van de temperatuurderivaten geschreven op CAT-, HDD-, CDD-, en
PR-indices.
3.4.4.1.2
CAT- en PR-indices: futures en opties
In deze sectie zullen we eerst een wiskundige uitdrukking opstellen voor de CAT-futureprijs.
We weten reeds dat het niet mogelijk is om in incomplete markten een unieke prijs te
verkrijgen met behulp van de niet-arbitrage aanname. Temperatuurderivaten worden
geschreven op een temperatuurindex, dit is een actief dat niet kan worden opgeslagen of
verhandeld. Om de formule voor het prijzen van derivaten te bepalen, zullen we eerst een
risiconeutrale kansmaat Q ∼ P moeten vinden, waaronder alle activa na verdiscontering
martingalen zijn. In het geval van weerderivaten is elke equivalente11 maat Q een risiconeutrale kansmaat. Als Q de risiconeutrale kansmaat en r de constante samengestelde
intrestvoet
is, dan wordt de niet-arbitrage futureprijs van een CAT-contract met waarde
Z τ2
T (τ )dτ op tijdstip τ2 gegeven door (cf. Shreve (2004))
τ1
Z
τ2
FCAT (t, τ1 , τ2 ) = EQ
τ1
T (τ )dτ Ft ,
t ≤ τ1 < τ2 .
f
Via
Z t de stelling van Girsanov hebben we, onder de equivalente maat Q, W (t) = W (t) −
θ(u)du of nog
0
f (t) = dW (t) − θ(t)dt,
dW
(3.7)
waar θ(t) een meetbare en begrensde re¨eelwaardige functie is, die de marktprijs voor
risico voorstelt. Aangezien temperatuur niet verhandelbaar is, moet de marktprijs voor
risico worden opgenomen in het waarderingsmodel. De keuze van θ(t) geeft eigenlijk
weer wat de voorkeur voor risico van de spelers in de markt is. Het weerspiegelt, met
andere woorden, de mening van de handelaar over het zich blootstellen aan risico’s. Zoals blijkt uit (3.7) is de verandering van maat van een stochastisch proces van een actief
nauw verwant aan het concept marktprijs voor risico. Uit (3.8) hieronder kunnen we
11
Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een σ-algebra van deelverzamelingen van Ω. Twee kansmaten
P en Q op (Ω,F) zijn equivalent als ze dezelfde verzamelingen in F een kans nul toemeten (cf. Shreve
(2004)).
74
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
afleiden dat de drift-snelheid van het stochastisch proces van de temperatuur gecorrigeerd wordt met een parameter die de marktprijs voor risico reflecteert. Tot nog toe
werd in de meeste studies aangenomen dat de marktprijs voor risico gelijk is aan nul.
Onlangs deden velen echter onderzoek naar de marktprijs voor risico en men vond dat
θ(t) niet steeds gelijk is aan nul. In Alexandridis and Zapranis (2013) wordt een mooi
overzicht gegeven van de studies en de methoden die gebruikt worden om de marktprijs
voor risico te schatten. De meest voorkomende aanpak is deze die Alaton et al. (2002)
voorstellen. Zij suggereren dat de marktprijs voor risico kan worden geschat op basis van
de historische marktgegevens. Meer specifiek kan θ(t) worden berekend door te kijken
naar de marktprijs van de contracten. De marktprijs voor risico is de waarde die maakt
dat de prijs van het theoretisch model gelijk is aan de waarneembare marktprijs.
Als we (3.7) substitueren in het Hull-White-proces voor de temperatuur, krijgen we het
stochastisch proces voor de temperatuur onder de risiconeutrale kansmaat Qθ
f (t) + θ(t)dt)
dT (t) = dS(t) + κ(t)(T (t) − S(t))dt + σ(t)(dW
(3.8)
f (t).
= dS(t) + [κ(t)(T (t) − S(t)) + σ(t)θ(t)]dt + σ(t)dW
Merk op dat Q de risiconeutrale kansmaat is, waarbij Q ∼ P. Omdat we in deze sectie
gebruik maken van een Brownse beweging staat Qθ voor een subklasse van deze kansen
bepaald door de stelling van Girsanov. Aangezien we enkel in deze kansen ge¨ınteresseerd
zijn, zullen we om de notatie te vereenvoudigen deze subklasse van kansmaten ook met
Q noteren.
De oplossing van de voorgaande stochastische differentiaalvergelijking onder Q is
Z t
Rt
Rt
Rs
κ(u)du
κ(u)du
0
0
T (t) =S(t) + e
(T (0) − S(0)) + e
σ(s)θ(s)e− 0 κ(u)du ds
0
(3.9)
Z t
Rs
Rt
− 0 κ(u)du f
κ(u)du
0
+e
σ(s)e
dW (s).
0
Het bewijs van deze bewering werd reeds gegeven in Sectie 2.3.2, wanneer we X(t) =
T (t) − S(t), α(t) = σ(t)θ(t) en −β(t) = κ(t) stellen.
Gebruik makend van deze laatste uitdrukking, vinden we de prijs van een futurecontract
op de CAT-index op tijdstip t, waarbij t ≤ τ1 < τ2 .
Stelling 3. De CAT-futureprijs voor t ≤ τ1 < τ2 wordt gegeven door
Z τ2
Z τ 2
FCAT (t, τ1 , τ2 ) = EQ
T (s)ds Ft =
S(s)ds + I1 + I2 ,
τ1
waarbij
Z
τ2
I1 = Te(t)
e
τ1
Rs
t
κ(z)dz
ds,
τ1
(3.10)
3.4. Dagelijkse simulatie
τ1
Z
Z
τ2
Rs
e
I2 =
t
0
κ(z)dz
75
σ(u)θ(u)e
R0
u
κ(z)dz
Z
τ2
τ2
Z
0
κ(z)dz
σ(u)θ(u)e
R0
u
κ(z)dz
dsdu,
u
τ1
τ1
Rs
e
dsdu +
met Te(t) = T (t) − S(t).
Bewijs. Per definitie hebben we
Z
τ2
FCAT (t, τ1 , τ2 ) = EQ
Zτ1τ2
T (s)ds Ft
(S(s) + T (s) − S(s))ds Ft
= EQ
τ
Z τ 2
Z τ2 1
e
S(s)ds + EQ
T (s)ds Ft ,
=
τ1
τ1
waarbij Te(s) = T (s)−S(s). Uit de oplossing van de stochastische differentiaalvergelijking
onder Q (3.9), kunnen we afleiden dat er voor t ≤ s geldt
Te(s) = T (s) − S(s)
Rs
Rs
Z
s
Ru
(T (t) − S(t)) + e t
σ(u)θ(u)e− t κ(z)dz du
t
Z s
Ru
Rs
f (u)
σ(u)e− t κ(z)dz dW
+ e t κ(z)dz
t
Z s
Z s
Rs
Rs
Rs
κ(z)dz
κ(z)dz e
f (u).
u
t
σ(u)e u κ(z)dz dW
σ(u)θ(u)e
du +
=e
T (t) +
=e
t
κ(z)dz
κ(z)dz
t
t
Verder geldt er dat
i
h
EQ Te(s) Ft
R
Z s
Z s
Rs
Rs
s
κ(z)dz
κ(z)dz
κ(z)dz
f (u) Ft
= EQ e t
Te(t) +
σ(u)θ(u)e u
du +
σ(u)e u
dW
t
t
Z
s
Rs
Rs
= e t κ(z)dz Te(t) +
σ(u)θ(u)e u κ(z)dz du.
t
Voor de CAT-futureprijs geldt
FCAT (t, τ1 , τ2 )
Z τ 2
Z τ2
e
=
S(s)ds + EQ
T (s)ds Ft
Zτ1τ2
Z τ2 τ1 h
i
=
S(s)ds +
EQ Te(s) Ft ds
τ
τ
Z 1τ2
Z 1τ2 R
Z s
Rs
s
κ(z)dz
κ(z)dz
=
S(s)ds +
et
Te(t) +
σ(u)θ(u)e u
du ds
τ1
τ1
t
Z τ2
Z τ2 R
Z τ2 Z s
Rs
s
κ(z)dz e
t
=
S(s)ds +
e
T (t)ds +
σ(u)θ(u)e u κ(z)dz duds
τ1
τ1
τ1
t
76
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Z
τ2
S(s)ds + I1 + I2 .
=
τ1
Z
τ2
Rs
e
Er geldt dus I1 = Te(t)
t
κ(z)dz
Z
τ2
s
Z
Rs
σ(u)θ(u)e
ds en I2 =
κ(z)dz
duds. Enkel
t
τ1
τ1
u
de uitdrukking voor I2 moet nog herschreven worden. Wanneer we de karakteristieke
functie I defini¨eren
ID (x) =
(
1
x∈D
0
x∈
/D
kunnen we I2 als volgt omvormen
Z τ2 Z s
Rs
σ(u)θ(u)e u κ(z)dz duds
I2 =
Zτ1τ2 Zt τ2
Rs
I[t,s] (u)σ(u)θ(u)e u κ(z)dz duds
=
Zτ1τ2 Zt τ2
Rs
=
I[t,s] (u)σ(u)θ(u)e u κ(z)dz dsdu
Zt τ1 Zτ1τ2
Z
Rs
κ(z)dz
=
I[t,s] (u)σ(u)θ(u)e u
dsdu +
t
τ1
τ2
τ1
Z
,
τ2
I[t,s] (u)σ(u)θ(u)e
Rs
u
κ(z)dz
dsdu.
τ1
De tweede term in deze uitdrukking is nul als s kleiner is dan u, daardoor kunnen we de
grenzen van de binnenste integraal aanpassen
Z τ1 Z τ2
Z τ 2 Z τ2
Rs
Rs
κ(z)dz
u
I2 =
σ(u)θ(u)e u κ(z)dz dsdu
σ(u)θ(u)e
dsdu +
τ1
u
Zt τ1 Zτ1τ2 R
Z τ2 Z τ2 R
R0
R
s
s
0
κ(z)dz
κ(z)dz
0
u
=
e 0 κ(z)dz σ(u)θ(u)e u κ(z)dz dsdu,
e
σ(u)θ(u)e
dsdu +
t
τ1
τ1
u
en dit is de gezochte uitdrukking voor I2 .
Deze stelling geeft de CAT-futureprijs op tijdstip t ≤ τ1 < τ2 . Met andere woorden, de
prijs van een CAT-future v´oo´r de contractperiode. Hierdoor is (3.10) een waardering buiten de contractperiode. Teneinde de futureprijs te evalueren binnen de contractperiode
kan de bovenstaande formule eenvoudig aangepast worden.
Stelling 4. De CAT-futureprijs voor τ1 ≤ t ≤ τ2 wordt gegeven door
Z t
FCAT (t, τ1 , τ2 ) =
T (s)ds + FCAT (t, t, τ2 ).
τ1
Bewijs. Voor de CAT-futureprijs geldt
Z
FCAT (t, τ1 , τ2 ) = EQ
τ2
τ1
T (s)ds Ft
3.4. Dagelijkse simulatie
77
t
τ2
T (s)ds Ft
= EQ
T (s)ds +
t
τ1
Z τ 2
Z t
T (s)ds Ft
=
T (s)ds + EQ
t
τ
Z 1t
T (s)ds + FCAT (t, t, τ2 ),
=
Z
Z
τ1
Z
t
T (s)ds Ft -meetbaar is.
de voorlaatste gelijkheid geldt omdat
τ1
In de volgende stelling bekijken we de dynamiek van de CAT-futureprijs onder de risiconeutrale kansmaat Q.
Stelling 5. De dynamiek van FCAT (t, τ1 , τ2 ) onder de kansmaat Q is
f (t),
dFCAT (t, τ1 , τ2 ) = ΣCAT (t, τ1 , τ2 )dW
Z τ2 R
s
waarbij ΣCAT (t, τ1 , τ2 ) = σ(t)
e t κ(z)dz ds.
τ1
Bewijs. De futureprijs FCAT (t, τ1 , τ2 ) is een martingaal onder de risiconeutrale maat Q
(cf. Shreve (2004)), hierdoor weten we dat er in de uitdrukking voor dFCAT (t, τ1 , τ2 ) geen
dt-term zal staan. Uit Stelling 3 weten we dat het volgende geldt
Z τ2
Z τ2
dFCAT (t, τ1 , τ2 ) = d
S(s)ds + I1 + I2 = d
S(s)ds + dI1 + dI2 .
τ1
τ1
De eerste term in het rechterlid is gelijk aan nul. We maken gebruik van de formule van
Itˆo om dI1 te bepalen
dI1
Z
e
= d T (t)
τ2
Rs
e
t
κ(z)dz
ds
τ1
= d(Te(t)f (t))
= Te(t)df (t) + f (t)dTe(t) + dTe(t)df (t)
Z τ2 R
Z τ2 R
Z
s
s
κ(z)dz
κ(z)dz
e
e
e
t
t
= T (t)
e
(−κ(t)dt)ds +
e
dsdT (t) + dT (t)
τ1
τ1
τ2
e
Rs
t
κ(z)dz
(−κ(t)dt)ds.
τ1
Omdat er in de uitdrukking voor dFCAT (t, τ1 , τ2 ) geen dt-term zal staan, kunnen we dit
ook als volgt noteren
Z
τ2
dI1 = . . . dt +
Rs
e
t
κ(z)dz
dsdTe(t).
τ1
De uitdrukking voor dI2 zal enkel bestaan uit een dt-term, we noteren
dI2 = . . . dt.
78
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Hierdoor krijgen we
τ2
Z
e
dFCAT (t, τ1 , τ2 ) = . . . dt +
Rs
t
κ(z)dz
dsdTe(t),
τ1
uit (3.8) volgt dan
Z
τ2
e
dFCAT (t, τ1 , τ2 ) = . . . dt +
Zτ1τ2
e
= . . . dt +
Rs
t
Rs
t
κ(z)dz
f (t)
ds . . . dt + σ(t)dW
κ(z)dz
f (t).
dsσ(t)dW
τ1
Omdat FCAT (t, τ1 , τ2 ) een martingaal is onder de risiconeutrale maat volgt het gestelde.
Nu kunnen we van de voorgaande stelling gebruik maken om de prijs van een calloptie
geschreven op CAT-futures te bepalen.
Stelling 6. De prijs op tijdstip t ≤ τ van een calloptie geschreven op een CAT-future
met uitoefenprijs K op uitvoeringstijdstip τ ≤ τ1 is
CCAT (t, τ, τ1 , τ2 ) = e−r(τ −t) [(FCAT (t, τ1 , τ2 ) − K)Φ(d(t, τ, τ1 , τ2 )) + Φ0 (d(t, τ, τ1 , τ2 ))Σt,τ ] ,
waarbij
FCAT (t, τ1 , τ2 ) − K
,
Σt,τ
Z τ
Σ2CAT (s, τ1 , τ2 )ds,
=
d(t, τ, τ1 , τ2 ) =
Σ2t,τ
t
en Φ de cumulatieve standaard normale verdelingsfunctie is.
Bewijs. De optieprijs wordt bij definitie gegeven via de risiconeutrale prijsformule
CCAT (t, τ, τ1 , τ2 ) = e−r(τ −t) EQ [max{FCAT (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0}| Ft ] .
f (t) en via inteUit de vorige stelling weten we dat dFCAT (t, τ1 , τ2 ) = ΣCAT (t, τ1 , τ2 )dW
gratie over het interval [t, τ ] kunnen we de dynamiek van de futureprijs als volgt neerschrijven
Z
τ
FCAT (τ, τ1 , τ2 ) = FCAT (t, τ1 , τ2 ) +
f (s).
ΣCAT (s, τ1 , τ2 )dW
t
Hieruit blijkt dat FCAT (τ, τ1 , τ2 ) geconditioneerd op
Z FCAT (t, τ1 , τ2 ) een normale verdeling
τ
Σ2CAT (s, τ1 , τ2 )ds.
volgt met gemiddelde FCAT (t, τ1 , τ2 ) en variantie
t
Om de optieprijs expliciet te bepalen, gaan we te werk zoals in Kaas et al. (2009). Stel
3.4. Dagelijkse simulatie
79
dat X normaal verdeeld is met gemiddelde µ en variantie σ 2 , X ∼ N (µ, σ 2 ). Als U
standaard normaal verdeeld is, U ∼ N (0, 1), dan geldt X = σU + µ ∼ N (µ, σ 2 ). We
kunnen nu E[max{X − d, 0}] als volgt herschrijven
E[max{X − d, 0}] = E[max{σU + µ − d, 0}]
d−µ
= σE max U −
,0 .
σ
Aangezien U standaard normaal verdeeld is, kunnen we het volgende neerschrijven
Z ∞
max{u − t, 0}φ(u)du
E[max{U − t, 0}] =
−∞
Z ∞
(u − t)φ(u)du
=
Zt ∞
Z ∞
uφ(u)du − t
φ(u)du,
=
t
t
waarbij φ(u) staat
normale kansdichtheidsfunctie. We weten ook dat
Z ∞ voor de standaard
Z ∞
0
de gelijkheid
uφ(u)du =
(−φ (u))du = φ(t) geldt, zodat er onmiddellijk volgt
t
t
Z
∞
Z
uφ(u)du − t
E[max{U − t, 0}] =
∞
φ(u)du
t
t
= φ(t) − t(1 − Φ(t)).
Uit het bovenstaande kunnen we dan halen
d−µ
E[max{X − d, 0}] = σE max U −
,0
σ
d−µ
d−µ
d−µ
=σ φ
−
1−Φ
σ
σ
σ
d−µ
d−µ
= σφ
− (d − µ) 1 − Φ
.
σ
σ
We passen nu deze formule toe met de gegevens
Z τ uit het bewijs, met andere woorden
2
X = FCAT (τ, τ1 , τ2 ), µ = FCAT (t, τ1 , τ2 ), σ =
Σ2CAT (s, τ1 , τ2 )ds en d = K. Omdat
X ∼ N (µ, σ 2 ) conditioneel op Ft , krijgen we
t
EQ [max{FCAT (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0}| Ft ]
K −µ
K −µ
= σφ
− (K − µ) 1 − Φ
σ
σ
K − FCAT (t, τ1 , τ2 )
K − FCAT (t, τ1 , τ2 )
= Σt,τ φ
− (K − FCAT (t, τ1 , τ2 )) 1 − Φ
.
Σt,τ
Σt,τ
80
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Wanneer we deze gelijkheid substitueren in de uitdrukking voor CCAT (t, τ, τ1 , τ2 ), rekening houdend met Φ0 (x) = φ(x) = φ(−x) en 1 − Φ(x) = Φ(−x), dan bekomen we de
gezochte uitdrukking voor de optieprijs.
We bekijken tot slot nog de future- en optieprijs voor een contract geschreven op de
Pacific Rim index. Uit de definities volgt dat de Pacific Rim index gelijk is aan het
gemiddelde van de CAT-index over een specifieke tijdsperiode. De prijs voor de PRfuture op tijdstip t ≤ τ1 < τ2 is per definitie (cf. Shreve (2004))
Z τ2
1
FPR (t, τ1 , τ2 ) = EQ
T (s)ds Ft .
τ 2 − τ 1 τ1
Hieruit kunnen we afleiden dat de volgende relatie tussen de CAT-futureprijs en de
PR-futureprijs geldt
1
FCAT (t, τ1 , τ2 ).
τ2 − τ1
We kunnen nu ook de prijs van een calloptie geschreven op een PR-future bepalen. Via
FPR (t, τ1 , τ2 ) =
de risiconeutrale prijsformule bekomen we de volgende relatie
CPR (t, τ, τ1 , τ2 ) = e−r(τ −t) EQ [max{FPR (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0}| Ft ]
1
−r(τ −t)
=e
EQ max
FCAT (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0 Ft
τ2 − τ1
1
= e−r(τ −t)
EQ [max{FCAT (τ, τ1 , τ2 ) − K(τ2 − τ1 ), 0}| Ft ] .
τ2 − τ1
We kunnen nu het bewijs van Stelling 6 herhalen en komen zo tot de volgende uitdrukking
voor de prijs van de calloptie
CPR (t, τ, τ1 , τ2 )
1
= e−r(τ −t)
[(FCAT (t, τ1 , τ2 ) − K(τ2 − τ1 ))Φ(d(t, τ, τ1 , τ2 )) + Φ0 (d(t, τ, τ1 , τ2 ))Σt,τ ] ,
τ2 − τ1
met d(t, τ, τ1 , τ2 ) =
3.4.4.1.3
FCAT (t, τ1 , τ2 ) − K(τ2 − τ1 )
.
Σt,τ
HDD- en CDD-indices: futures en opties
In deze sectie bespreken we de prijsformules voor futures en opties geschreven op HDDen CDD-indices. We presenteren analoge stellingen als in de vorige sectie. Als er een
contract geschreven wordt op HDD- of CDD-indices, dan is dit voor een welbepaalde
periode waarover de indices geaccumuleerd worden. De AccHDD- en de AccCDD-indices
3.4. Dagelijkse simulatie
81
over een periode [τ1 , τ2 ] worden gegeven door (in deze sectie noteren we voor de eenvoud
HDD en CDD waar we AccHDD en AccCDD bedoelen)
Z τ2
max{c − T (s), 0}ds,
HDD =
τ1
Z τ2
max{T (s) − c, 0}ds.
CDD =
τ1
Wij veronderstellen voor de referentietemperatuur c = 18◦ C, in de stellingen zullen we
om deze zo algemeen mogelijk te houden echter c blijven noteren. Uit de definitie van
HDD en CDD blijkt dat de prijsformules voor beide indices zeer gelijkaardig zullen zijn.
We beginnen met het geven van een wiskundige uitdrukking voor de HDD-futureprijs.
Als Q de risiconeutrale kansmaat en r de constante samengestelde intrestvoet
Z τ2 is, dan
max{c −
wordt de niet-arbitrage futureprijs van een HDD-contract met waarde
τ1
T (τ ), 0}dτ op tijdstip τ2 gegeven door (cf. Shreve (2004))
Z τ 2
FHDD (t, τ1 , τ2 ) = EQ
max{c − T (τ ), 0}dτ Ft ,
t ≤ τ1 < τ2 .
(3.11)
τ1
Analoog wordt de niet-arbitrage futureprijs van een CDD-contract op tijdstip t ≤ τ1 < τ2
gegeven door
Z
τ2
FCDD (t, τ1 , τ2 ) = EQ
τ1
max{T (τ ) − c, 0}dτ Ft .
In de volgende stelling bespreken we de relatie tussen FCAT , FHDD en FCDD .
Stelling 7. De CDD-, HDD- en CAT-futureprijzen zijn op de volgende manier aan
elkaar gelinkt
FHDD (t, τ1 , τ2 ) = c(τ2 − τ1 ) − FCAT (t, τ1 , τ2 ) + FCDD (t, τ1 , τ2 ).
Bewijs. De HDD-futureprijs wordt gegeven door (3.11). In deze uitdrukking kunnen we
max{c − T (τ ), 0} als volgt herschrijven
max{c − T (τ ), 0} = c − T (τ ) + max{T (τ ) − c, 0}.
En dus
FHDD (t, τ1 , τ2 )
Z τ2
= EQ
(c − T (τ ) + max{T (τ ) − c, 0}) dτ Ft
Zτ1τ2
Z τ 2
Z
= EQ
cdτ Ft − EQ
T (τ )dτ Ft + EQ
τ1
τ1
= c(τ2 − τ1 ) − FCAT (t, τ1 , τ2 ) + FCDD (t, τ1 , τ2 ),
dit is de gezochte uitdrukking.
τ2
τ1
max{T (τ ) − c, 0}dτ Ft
82
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Deze stelling geeft aan dat de prijsformules van futures op CDD- en HDD-indices gelijkaardig en aan elkaar gelinkt zijn. We zullen hierdoor in de volgende stellingen enkel
focussen op de prijsformules van contracten geschreven op de CDD-index.
Stelling 8. De CDD-futureprijs voor 0 ≤ t ≤ τ1 < τ2 wordt gegeven door
Z τ2
max{T (s) − c, 0}ds Ft
FCDD (t, τ1 , τ2 ) = EQ
τ1

 Rs
κ(z)dz e
Z τ2
t
m t, s, e
T (t)
 ds,
v(t, s)Ψ 
=
v(t, s)
τ1
(3.12)
waarbij
Z s
Ru
Rs
Rs
Rs
κ(z)dz
κ(z)dz
κ(z)dz
σ(u)θ(u)e− t κ(z)dz du − c,
m t, s, e t
Te(t) = S(s) + e t
Te(t) + e t
t
Z s
Rs
Ru
v 2 (t, s) = e2 t κ(z)dz
σ 2 (u)e−2 t κ(z)dz du,
t
Te(t) = T (t) − S(t) en Ψ(x) = xΦ(x) + Φ0 (x) met Φ de cumulatieve standaard normale
verdelingsfunctie.
Bewijs. Uit (3.9) weten we dat T (s) onder de risiconeutrale kansmaat Q normaal verdeeld
is met gemiddelde en variantie respectievelijk
Rs
EQ [T (s)| Ft ] = S(s) + e
t
κ(z)dz
Te(t) + e
Rs
t
κ(z)dz
Z
s
σ(u)θ(u)e−
Ru
t
κ(z)dz
du,
t
2
VarQ [T (s)| Ft ] = e
Rs
t
κ(z)dz
s
Z
σ 2 (u)e−2
Ru
t
κ(z)dz
du.
t
Rs
Hieruit volgt dat T (s) − c normaal verdeeld is met gemiddelde m t, s, e t κ(z)dz Te(t) en
variantie v 2 (t, s). Nu kunnen we de CDD-futureprijs bepalen, er geldt
Z τ 2
FCDD (t, τ1 , τ2 ) = EQ
max{T (s) − c, 0}ds Ft
Z τ2 τ1
=
EQ [max{T (s) − c, 0}| Ft ] ds.
τ1
We kunnen EQ [max{T (s) − c, 0}|Ft ] zoals in het bewijs van Stelling 6 bepalen
EQ [max{T (s) − c, 0}|Ft ]
c−µ
c−µ
= σφ
− (c − µ) 1 − Φ
σ
σ


Rs
−m t, s, e t κ(z)dz Te(t)


= v(t, s)φ
v(t, s)
3.4. Dagelijkse simulatie
83



Rs
−m t, s, e t κ(z)dz Te(t)

+ m t, s, e t κ(z)dz Te(t) 1 − Φ 
v(t, s)


  Rs
Rs
κ(z)dz e
t
m t, s, e t κ(z)dz Te(t)
m
t,
s,
e
T
(t)
Rs
 + m t, s, e t κ(z)dz Te(t) Φ 

= v(t, s)Φ0 
v(t, s)
v(t, s)

 Rs
m t, s, e t κ(z)dz Te(t)

= v(t, s)Φ0 
v(t, s)
 
Rs
Rs
κ(z)dz e
κ(z)dz e
t
t
m t, s, e
T (t)
m t, s, e
T (t)

+ v(t, s)
Φ
v(t, s)
v(t, s)

 Rs
κ(z)dz e
t
m t, s, e
T (t)
.
= v(t, s)Ψ 
v(t, s)
Rs
Hieruit volgt het gestelde.
De voorgaande stelling geeft de CDD-futureprijs op tijdstip t ≤ τ1 < τ2 , met andere
woorden de prijs van een CDD-future v´o´or de contractperiode. Hierdoor bekomen we
een waardering buiten de contractperiode. Teneinde de futureprijs te evalueren binnen de
contractperiode kan de bovenstaande formule eenvoudig aangepast worden. Het bewijs
van onderstaande stelling is analoog aan dat van Stelling 4.
Stelling 9. De CDD-futureprijs voor τ1 ≤ t < τ2 wordt gegeven door
Z t
FCDD (t, τ1 , τ2 ) =
max{T (s) − c, 0}ds + FCDD (t, t, τ2 ).
τ1
Zoals voor CAT-contracten is het ook voor de CDD-futureprijs mogelijk om de dynamiek
onder de risiconeutrale maat Q te bepalen, dit wordt in Stelling 10 besproken.
Stelling 10. De dynamiek onder Q van FCDD (t, τ1 , τ2 ) voor 0 ≤ t ≤ τ1 < τ2 wordt
gegeven door
f (t),
dFCDD (t, τ1 , τ2 ) = ΣCDD (t, τ1 , τ2 )dW
waarbij
Z
τ2
ΣCDD (t, τ1 , τ2 ) = σ(t)
τ1

Rs
m t, s, e t κ(z)dz Te(t)
 ds,
e t κ(z)dz Φ 
v(t, s)

Rs
met Φ de cumulatieve standaard normale verdelingsfunctie.
84
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Bewijs. De futureprijs FCDD (t, τ1 , τ2 ) is een Q-martingaal (cf. Shreve (2004)), hierdoor
weten we dat er in de uitdrukking
voor dF
(t, τ1 , τ2 ) geen dt-term zal staan. Als we
Rs
!CDD
Z τ2
κ(z)dz
x
m t, s, e t
v(t, s)Ψ
ds stellen, krijgen we via de formule van Itˆo
f (t, x) =
v(t, s)
τ1
∂f
∂f
1 ∂ 2f
(t, X(t))dt +
(t, X(t))dX(t) +
(t, X(t))dX(t)dX(t).
∂t
∂x
2 ∂x2
Wanneer we X(t) = Te(t) stellen, volgt uit Stelling 8 dat we bovenstaande gelijkheid als
df (t, X(t)) =
volgt kunnen herschrijven
dFCDD (t, τ1 , τ2 )
Z
τ2
= . . . dt +
τ1

Rs
Rs
m t, s, e t κ(z)dz Te(t)
m0 t, s, e t κ(z)dz Te(t)

v(t, s)Ψ0 
dsdTe(t)
v(t, s)
v(t, s)

1 ∂ 2f
(t, Te(t))dTe(t)dTe(t)
+
2 ∂x2

 Rs
Z τ2
m t, s, e t κ(z)dz Te(t)
Rs
 e t κ(z)dz dsdTe(t),
= . . . dt +
Φ
v(t, s)
τ1
f (t). In de laatste gelijkheid hebben we gebruik gemaakt
met dTe(t) = . . . dt + σ(t)dW
Rs
Rs
0
0
κ(z)dz e
2
e
e
t
van Ψ (x) = Φ(x), dT (t)dT (t) = σ (t)dt en m t, s, e
T (t) = e t κ(z)dz , zowel
Rs
Ψ(x) als m t, s, e t κ(z)dz Te(t) werden gedefinieerd in Stelling 8. We tonen nog aan dat
Ψ0 (x) = Φ(x) geldt. Per definitie is Ψ(x) gelijk aan xΦ(x) + Φ0 (x), er geldt dan
Ψ0 (x) = Φ(x) + xΦ0 (x) + Φ00 (x)
= Φ(x) + xφ(x) + φ0 (x)
= Φ(x) + xφ(x) − xφ(x)
= Φ(x),
waarbij φ(x) de standaard normale kansdichtheidsfunctie is.
f -term verschillend van nul is, geldt dus
Omdat enkel de dW

 Rs
Z τ2 R
e(t)
t κ(z)dz T
m
t,
s,
e
s
f (t).
 dsdW
dFCDD (t, τ1 , τ2 ) = σ(t)
e t κ(z)dz Φ 
v(t,
s)
τ1
Dit is de uitdrukking die we zochten.
In de voorgaande stelling geeft de term ΣCDD (t, τ1 , τ2 ) de termijnstructuur van de volatiliteit van CDD-futures weer. Door hier gebruik van te maken, kunnen we de prijs van
een calloptie op een CDD-future bepalen.
3.4. Dagelijkse simulatie
85
Stelling 11. De prijs op tijdstip t ≤ τ van een calloptie geschreven op een CDD-future
met uitoefenprijs K en uitoefentijdstip τ ≤ τ1 wordt gegeven door
Z τ2
−r(τ −t)
CCDD (t, τ, τ1 , τ2 ) = e
EQ max
v(τ, s)Z t, s, τ, Te(t) ds − K, 0 ,
τ1
waarbij
Z
Rs
κ(z)dz e
e
e
t
Z t, s, τ, T (t) = Ψ τ, s, e
T (t) +
τ
Rs
σ(u)θ(u)e
u
κ(z)dz
du + Σ(s, t, τ )Y
t
met
m(t, s, x)
e
Ψ(t, s, x) = Ψ
,
v(t, s)
Z τ
Rs
2
Σ (s, t, τ ) =
σ 2 (u)e2 u κ(z)dz du,
t
en Y een standaard normaal verdeelde stochastische variabele.
Bewijs. De optieprijs wordt via de risiconeutrale prijsformule gegeven door
CCDD (t, τ, τ1 , τ2 ) = e−r(τ −t) EQ [max {FCDD (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0}| Ft ] .
e geldt
Gelet op (3.12) en de notatie Ψ
Z τ2
R
e τ, s, e τs κ(z)dz Te(τ ) ds.
FCDD (τ, τ1 , τ2 ) =
v(τ, s)Ψ
τ1
Uit (3.9) volgt dat we Te(τ ) als volgt kunnen noteren
Te(τ )
Z τ
Z τ
Rτ
R
Rτ
Ru
κ(z)dz
− tu κ(z)dz
κ(z)dz
e
f (u)
t
t
=e
T (t) + e
σ(u)θ(u)e
du + e
σ(u)e− t κ(z)dz dW
t
t
Z τ
Z τ
Rτ
Rτ
Rτ
f (u).
σ(u)θ(u)e u κ(z)dz du +
σ(u)e u κ(z)dz dW
= e t κ(z)dz Te(t) +
Rτ
t
κ(z)dz
t
t
Wanneer we dit substitueren in de uitdrukking voor FCDD , krijgen we
FCDD (τ, τ1 , τ2 )
Z τ2
Rs
κ(z)dz e
e
τ
=
v(τ, s)Ψ τ, s, e
T (τ ) ds
τ1
Z τ2
Z
Rs
κ(z)dz
e
e
=
v(τ, s)Ψ τ, s, e t
T (t) +
τ1
t
τ
Rs
σ(u)θ(u)e
u
κ(z)dz
Z
du +
τ
σ(u)e
Rs
u
κ(z)dz
t
Dit invullen in de risiconeutrale prijsformule levert het gewenste resultaat.
f
dW (u) ds.
86
3.4.4.2
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
L´
evy-proces
In deze sectie vertrekken we van het idee dat de temperatuur gemodelleerd wordt door een
Hull-White-proces dat gedreven wordt door een L´evy-proces in plaats van een Brownse
beweging. We geven hiertoe eerst de definitie van een L´evy-proces zoals in Schoutens
(2003). Veronderstel dat φ de karakteristieke functie van een verdeling is, deze functie
bepaalt de verdelingsfunctie F op een unieke manier.
Definitie 13. De karakteristieke functie φ van een verdeling, of equivalent een
stochastische variabele X, is de Fourier-Stieltjes transformatie van de verdelingsfunctie
F (x) = P(X ≤ x)
Z
+∞
φX (u) = E[exp(iuX)] =
exp(iux)dF (x).
−∞
Als, voor elk positief geheel getal n, φ(u) ook de n-de macht van een karakteristieke
functie is, dan zeggen we dat de verdeling oneindig deelbaar is.
Voor zulke oneindig deelbare verdelingen kunnen we een stochastisch proces X = {Xt , t ≥
0} defini¨eren, met name het L´evy-proces.
Definitie 14. Een L´
evy-proces is een stochastisch proces X dat start in nul en onafhankelijke en stationaire toenames heeft zodanig dat de verdeling van een toename over
[s, s + t] met s, t ≥ 0, i.e. Xt+s − Xs , (φ(u))t als karakteristieke functie heeft.
Definitie 15. Beschouw een re¨eelwaardige functie f : [a, b] → R. Veronderstel dat voor
elke t ∈ (a, b] de functie f rechtscontinu is en een linkerlimiet heeft, dan zeggen we dat
de functie c`
adl`
ag is, van het Franse continue `a droite et limites `a gauche.
Elk L´evy-proces heeft een c`adl`ag-modificatie die op haar beurt een L´evy-proces is. Het
is standaard om met deze c`adl`ag-versie van het proces te werken. Op die manier zijn
de gesimuleerde paden van een L´evy-proces bijna zeker continu van rechts en hebben ze
limieten van links.
We merken ook nog op dat de cumulant karakteristieke functie ψ(u) = ln(φ(u)) vaak de
karakteristieke exponent wordt genoemd en voldoet aan de L´evy-Khintchine-formule
Z ∞
1 2 2
ψ(u) = iγu − σ u +
(exp(iux) − 1 − iuxI|x|<1 )ν(dx),
2
−∞
met γ ∈ R, σ 2 ≥ 0 en ν de L´evy-maat.
3.4. Dagelijkse simulatie
87
Definitie 16. Zij X = {Xt , t ≥ 0} een L´evy-proces en zij ν een maat op R\{0} met
Z ∞
inf{1, x2 }ν(dx) < ∞,
−∞
dan wordt ν de L´
evy-maat genoemd.
We zeggen dat de oneindig deelbare verdeling een L´evy-triplet [γ, σ 2 , ν(dx)] heeft.
Tot slot bespreken we de Esscher-transformatie die we kunnen gebruiken om de kansmaat
P te transformeren naar een risiconeutrale maat Q. Veronderstel dat X = {Xt , t ≥ 0} een
L´evy-proces is. De Esscher-transformatie transformeert de kansdichtheidsfunctie ft (x)
van de verdeling van Xt onder P naar een nieuwe kansdichtheid ft (x, θ) met parameter
θ.
Definitie 17. Zij fnt (x) de kansdichtheidsfunctie, danowordt de Esscher-transformatie
R∞
voor een re¨ele θ ∈ θ ∈ R| −∞ exp(θy)ft (y)dy < ∞ gedefinieerd door de nieuwe dichtheidsfunctie
exp(θx)ft (x)
.
exp(θy)ft (y)dy
−∞
ft (x, θ) = R ∞
Wanneer we de Esscher-transformatie gebruiken om te veranderen van maat, kunnen we
het Radon-Nikod´
ym afgeleideproces dat correspondeert met deze verandering van maat
als volgt noteren (cf. Cont and Tankov (2004))
Zt =
dQ|Ft
eθXt
=
= exp(θXt + γ(θ)t),
dP|Ft
E[eθXt ]
(3.13)
waarbij γ(θ) = − ln (E[exp(θX1 )]) de cumulantgenererende functie van X1 is (op het
teken na).
3.4.4.2.1
Stochastische differentiaalvergelijking voor de temperatuur
We zullen nu, zoals in het geval van de Brownse beweging, prijsformules proberen opstellen wanneer de temperatuur voorgesteld wordt via het volgende model
dT (t) = dS(t) + κ(t)(T (t) − S(t))dt + σ(t)dL(t),
(3.14)
waarbij L een L´evy-proces is. Wanneer we X(t) = T (t) − S(t) noteren, kunnen we zoals
in Sectie 2.3.2 voorgaande stochastische differentiaalvergelijking als volgt herschrijven
dX(t) = κ(t)X(t)dt + σ(t)dL(t)
Rt
Rt
⇔d e− 0 κ(z)dz X(t) = e− 0 κ(z)dz σ(t)dL(t).
88
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Stellen we f (t, x) = e−
Rt
0
κ(z)dz
x, dan kunnen we de Itˆo-formule voor semimartingalen12
(zie Cont and Tankov (2004)) gebruiken om een expliciete oplossing voor de stochastische
differentiaalvergelijking te bekomen. Volgens de Itˆo-formule geldt er dan
f (t, X(t)) − f (0, X(0))
Z t
Z t
Z
∂f
∂f
1 t ∂ 2f
=
(u, X(u)) du +
(u, X(u−)) dX(u) +
(u, X(u−)) d[X, X]cu
2
∂u
∂x
2
∂x
0
0
0
X ∂f
(u, X(u−)) .
+
f (u, X(u)) − f (u, X(u−)) − ∆X(u)
∂x
0≤u≤t
∆X(u) 6= 0
(3.15)
Aangezien
Ru
Ru
∂f
∂f
(u, X(u)) = −κ(u)e− 0 κ(z)dz X(u),
(u, X(u−)) = e− 0 κ(z)dz en
∂u
∂x
∂ 2f
(u, X(u−)) = 0 geldt, kunnen we (3.15) als volgt invullen
∂x2
e−
Rt
0
κ(z)dz
Z
X(t) − X(0)
t
−
Ru
t
Z
Ru
κ(u)e
X(u)du +
e− 0 κ(z)dz dX(u)
0
0
i
X h Ru
R
Ru
− 0 κ(z)dz
− 0u κ(z)dz
e
+
X(u) − e
X(u−) − ∆X(u)e− 0 κ(z)dz .
=−
0
κ(z)dz
0≤u≤t
∆X(u) 6= 0
De som in het rechterlid is gelijk aan nul, omdat ∆X(u) = X(u) − X(u−). Via (3.14)
en X(t) = T (t) − S(t) bekomen we uiteindelijk
e−
Rt
0
κ(z)dz
Z
=−
(T (t) − S(t)) − (T (0) − S(0))
t
−
κ(u)e
Ru
0
κ(z)dz
Z
t
(T (u) − S(u))du +
0
e−
Ru
0
κ(z)dz
[κ(u)(T (u) − S(u))du + σ(u)dL(u)].
0
Een expliciete oplossing voor de stochastische differentiaalvergelijking (3.14) wordt dus
gegeven door
Rt
T (t) = S(t) + e
0
κ(z)dz
(T (0) − S(0)) + e
Rt
0
κ(z)dz
Z
t
σ(u)e−
Ru
0
κ(z)dz
dL(u).
(3.16)
0
3.4.4.2.2
CAT- en PR-indices: futures en opties
Z τ 2
Om de prijs van een CAT-future FCAT (t, τ1 , τ2 ) = EQ
T (τ )dτ Ft te kunnen bepaτ1
len, moeten we een uitdrukking voor de cumulatieve temperatuur over het tijdsinterval
12
Als X een L´evy-proces is, dan is f (t, X(t)) geen L´evy-proces meer, het kan echter wel nog uitgedrukt
worden met behulp van stochastische integralen en dus is het nog steeds een semimartingaal. Een
semimartingaal is, volgens Karatzas and Kardaras (2007), een proces dat kan worden ontbonden in een
term met eindige variatie en een term die een lokale martingaal is.
3.4. Dagelijkse simulatie
89
[τ1 , τ2 ] kennen. Deze uitdrukking leiden we af in Stelling 12.
Stelling 12. De cumulatieve temperatuur over het tijdsinterval [τ1 , τ2 ] wordt gegeven
door
Z
τ2
Z
T (t)dt =
τ1
τ2
Z
0
τ1
Rt
τ1
τ1
Bewijs. Uit (3.16) volgt dat
Z
Z τ2
Z τ2
S(t)dt +
T (t)dt =
τ1
τ2
e 0 κ(z)dz (T (0) − S(0))dt
S(t)dt +
τ1
τ1
Z τ2 Z τ2
Z τ1 Z τ2
Rt
Rt
κ(z)dz
u
σ(u)e u κ(z)dz dtdL(u).
σ(u)e
dtdL(u) +
+
τ2
e
Rt
0
κ(z)dz
L(u)
Z
τ2
Z
(T (0) − S(0))dt +
σ(u)e
τ1
τ1
t
Rt
u
κ(z)dz
dL(u)dt.
0
We moeten enkel de laatste term van het rechterlid nog wat herschrijven
Z τ1 Z τ2
Z τ2 Z t
Rt
Rt
κ(z)dz
σ(u)e u κ(z)dz dtdL(u)
σ(u)e u
dL(u)dt =
0
0
τ1
Z τ2τ1Z τ2
Rt
+
σ(u)e u κ(z)dz dtdL(u),
τ1
L(u)
dit volgt rechtstreeks uit Figuur 3.1.
Figuur 3.1: Verandering van integratievolgorde.
Om de futureprijs expliciet te bepalen, moeten we een risiconeutrale kansmaat Q definieren. Aangezien de temperatuur niet kan worden opgeslagen, hebben we te maken met
90
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
een incomplete markt en is elke equivalente maat een risiconeutrale kansmaat. In Sectie
3.4.4.1 hebben we de stelling van Girsanov gebruikt om een equivalente kansmaat Q
te vinden. De stelling van Girsanov is een speciaal geval van de Esscher-transformatie
wanneer de verdeling een Brownse beweging is. In het geval van een proces met sprongen,
zoals een L´evy-proces, wordt de Esscher-transformatie toegepast. We gebruiken dus
eigenlijk een subklasse van kansmaten aan de hand van de Esscher-transformatie. We
volgen Alexandridis and Zapranis (2013) en Benth and Benth (2005) in de manier waarop
zij veranderen van maat, dit is niet helemaal de standaard manier waar we reeds over
gesproken hebbben in vergelijking (3.13).
Veronderstel dat θ(t) een re¨eelwaardige, meetbare en begrensde functie is. Beschouw
dan het volgende stochastisch proces
Z t
Z t
Z(t) = exp
θ(s)dL(s) −
ϕ(θ(s))ds ,
0
0
waarbij ϕ(λ) de logaritme van de momentgenererende functie, dit is de cumulantgenererende functie, van L(t) is
ϕ(λ) = ln E[exp(λL(1))].
We nemen aan dat het proces Z goed gedefinieerd is onder de natuurlijke exponenti¨ele
integreerbaarheidsvoorwaarden op de L´evy-maat, die we ook aannemen.
We introduceren nu de kansmaat Qθ die gedefinieerd wordt via de Esscher-transformatie
Qθ (A) = E[IA Z(τmax )],
A ∈ F,
met I de karakteristieke functie, τmax een vaste tijdshorizon die alle tijdstippen van
handel voor alle relevante futurecontracten bevat en F een σ-algebra. De kansmaat Qθ
is equivalent met P en we zullen in het vervolg Q noteren. Zoals in Sectie 3.4.4.1 is θ de
marktprijs voor risico. Nu kunnen we de prijs voor een CAT-future bepalen.
Stelling 13. De futureprijs FCAT (t, τ1 , τ2 ) op tijdstip t ≤ τ1 < τ2 wordt gegeven door
FCAT (t, τ1 , τ2 )
Z τ2
Z τ2 R
Z t Z τ2
Rs
s
κ(z)dz
=
S(s)ds +
e0
(T (0) − S(0))ds +
σ(u)e u κ(z)dz dsdL(u)
τ1
τ1
Z τ2 Z τ2
Z τ1 Z 0τ1 τ1
Rs
Rs
+
σ(u)e u κ(z)dz dsϕ0 (θ(u))du −
σ(u)e u κ(z)dz dsϕ0 (θ(u))du.
t
L(u)
t
L(u)
Bewijs. We bewijzen eerst dat voor een re¨eelwaardige, meetbare en begrensde functie f
geldt
Z
EQ
t
τ
Z
f (u)dL(u)Ft =
t
τ
f (u)ϕ0 (θ(u))du,
t < τ ≤ τmax < ∞.
(3.17)
3.4. Dagelijkse simulatie
91
Wanneer we gebruik maken van de formule van Bayes, de eigenschap van de onafhankelijke toenames van een L´evy-proces en de definitie van de cumulantgenererende functie
van L kunnen we het volgende neerschrijven
Z τ
EQ
f (u)dL(u)Ft
tZ τ
Z(τ ) =E
f (u)dL(u)
Ft
Z(t) t
Z τ
Z τ
d
(λf (u) + θ(u))dL(u) Ft
E exp
= exp −
ϕ(θ(u))du
dλ
λ=0
Zt τ
Zt τ
d
(λf (u) + θ(u))dL(u)
E exp
= exp −
ϕ(θ(u))du
dλ
t
t
λ=0
Z τ
Z τ
d
ϕ(θ(u))du
= exp −
exp
ϕ(λf (u) + θ(u))du
dλ
t
t
λ=0
Z τ
f (u)ϕ0 (θ(u))du.
=
t
In de voorlaatste gelijkheid maken we gebruik van het volgende: als g : [s, t] → R
een meetbare en begrensde functie is en de voorwaarde van integreerbaarheid van de
L´evy-maat geldt, dan geldt
Z t
Z t
ϕ(g(u))du .
g(u)dL(u)
= exp
E exp
s
s
Het bovenstaande wordt bewezen in Cont and Tankov (2004), we laten dit bewijs achterwege.
We kunnen met behulp van Stelling 12 het volgende neerschrijven
Z τ
EQ
T (s)dsFt
Z τt
Z τ R
s
e 0 κ(z)dz (T (0) − S(0))ds
S(s)ds +
=
t
Z t Z τ t
Z τZ τ
Rs
Rs
κ(z)dz
κ(z)dz
+ EQ
σ(u)e u
dsdL(u) +
σ(u)e u
dsdL(u)Ft
0
Z
=
t
τ
t
t
Z
S(s)ds +
Z τ Z τ
Rs
t
L(u)
κ(z)dz
L(u)
(T (0) − S(0))ds + EQ
Rs
κ(z)dz
u
σ(u)e
dsdL(u)Ft .
e
+ EQ
t
τ
0
Z t Z
0
t
τ
σ(u)e u κ(z)dz dsdL(u)Ft
Rs
92
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Gebruik makend van (3.17) krijgen we
Z τ
T (s)dsFt
EQ
t
Z τ
Z τ R
Z tZ τ
Rs
s
κ(z)dz
=
S(s)ds +
e0
(T (0) − S(0))ds +
σ(u)e u κ(z)dz dsdL(u)
t
t
0
t
Z τZ τ
Rs
σ(u)e u κ(z)dz dsϕ0 (θ(u))du.
+
t
L(u)
Voor de prijs van de CAT-future kunnnen we nu schrijven
Z τ 2
EQ
T (s)dsFt
τ1
Z τ2
Z τ 1
= EQ
T (s)dsFt − EQ
T (s)dsFt
t
t
Z t Z τ2
Z τ2 R
Z τ2
Rs
s
κ(z)dz
0
σ(u)e u κ(z)dz dsdL(u)
(T (0) − S(0))ds +
e
S(s)ds +
=
t
t
Z τ1 0 t Z τ1 R
Z τ2 Z τ2
Rs
s
σ(u)e u κ(z)dz dsϕ0 (θ(u))du −
S(s)ds −
e 0 κ(z)dz (T (0) − S(0))ds
+
t
Z tZ
−
Z
=
L(u)
τ1
σ(u)e
0
τ2
Rs
u
κ(z)dz
Z
τ1
Rs
t
σ(u)e
t
τ2
t
τ1
dsdL(u) −
t
Z
Z
Z tZ
κ(z)dz
L(u)
u
κ(z)dz
dsϕ0 (θ(u))du
L(u)
S(s)ds +
e0
(T (0) − S(0))ds +
τ1
τ1
Z τ1 Z
Z τ2 Z τ2
Rs
κ(z)dz
0
σ(u)e u
dsϕ (θ(u))du −
+
t
Rs
t
τ2
Rs
σ(u)e
0
τ1
u
κ(z)dz
dsdL(u)
τ1
Rs
σ(u)e
u
κ(z)dz
dsϕ0 (θ(u))du,
L(u)
dit is de gezochte uitdrukking.
Uit de definities blijkt dat de Pacific Rim index het gemiddelde van de CAT-index over
een specifieke periode is. De PR-futureprijs op tijdstip t ≤ τ1 ≤ τ2 wordt gegeven door
Z τ2
1
FPR (t, τ1 , τ2 ) = EQ
T (s)dsFt .
τ 2 − τ 1 τ1
Hierdoor vinden we dat de volgende relatie tussen een contract geschreven op de PRindex en een contract geschreven op de CAT-index geldt
FPR (t, τ1 , τ2 ) =
1
FCAT (t, τ1 , τ2 ).
τ2 − τ1
Wanneer we de optieprijzen expliciet willen bepalen, moeten we de volgende uitdrukking
uitwerken
C(t, τ, τ1 , τ2 ) = e−r(τ −t) EQ [max{F (τ, τ1 , τ2 ) − K, 0}|Ft ].
(3.18)
3.4. Dagelijkse simulatie
93
Aangezien we gebruik gemaakt hebben van een L´evy-proces om de temperatuur te modelleren, zal deze uitdrukking nog afhangen van θ(t). In dit geval introduceert het
L´evy-proces een incompleetheid van de markt, die verhindert dat we de optie kunnen
hedgen. Er zijn dus vele prijzen die geparametriseerd worden door θ(t). Eens θ(t)
bepaald is, kan de verwachtingswaarde in (3.18) berekend worden via numerieke integratie of Monte Carlo-simulatie. Om dit te kunnen verwezenlijken, moeten we de
eigenschappen van de verdeling van de stochastische variabele T (t) kennen. We kunnen
de Fourier-transformatie toepassen om de dichtheid fT (x) te bepalen
Z ∞
1
fT (x) =
e−isx φT (s)ds,
2π −∞
(3.19)
met φT (λ) de karakteristieke functie van de stochastische variabele T (t). Wanneer de
karakteristieke functie van het L´evy-proces gekend is, kunnen we de optieprijzen bepalen.
Stelling 14. De karakteristieke functie van T (t) wordt onder de risiconeutrale maat Q
gegeven door
s≤t
φT (λ) = EQ [exp(iλT (t))|Fs ] = exp(φ(λ)),
waarbij
Rt
Z
κ(z)dz
φ(λ) =iλS(t) + iλe s
(T (s) − S(s)) −
Z t Rt
ϕ iλσ(u)e u κ(z)dz + θ(u) du.
+
t
ϕ(θ(u))du
s
s
Bewijs. Wanneer we (3.16) substitueren in de verwachtingswaarde bekomen we voor
s≤t
EQ [exp(iλT (t))|Fs ]
Z t
Rt
Rt
κ(z)dz
κ(z)dz
dL(u) Fs
= EQ exp iλ S(t) + e s
(T (s) − S(s)) +
σ(u)e u
s Z t
Rt
Rt
κ(z)dz
κ(z)dz
u
s
= exp iλS(t) + iλe
(T (s) − S(s)) EQ exp iλ
σ(u)e
dL(u) Fs .
s
We werken de verwachtingswaarde verder uit
Z t
Rt
κ(z)dz
EQ exp iλ
σ(u)e u
dL(u) Fs
sZ t
Rt
Z(t) κ(z)dz
= E exp iλ
σ(u)e u
dL(u)
Fs
Z(s) s
Z t
Z t
Z t
Rt
κ(z)dz
u
= E exp iλ
σ(u)e
dL(u) +
θ(u)dL(u) −
ϕ(θ(u))du Fs
s
s
s
94
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Z t
Z t
Z t
Rt
κ(z)dz
= exp −
ϕ(θ(u))du E exp iλ
σ(u)e u
dL(u) +
θ(u)dL(u) Fs
s
Z t s
Zs t
Rt
κ(z)dz
ϕ(θ(u))du E exp
iλσ(u)e u
+ θ(u) dL(u) Fs
= exp −
Zs t Zs t
Rt
κ(z)dz
u
iλσ(u)e
+ θ(u) dL(u)
ϕ(θ(u))du E exp
= exp −
s
s
Z t Z t
Rt
κ(z)dz
ϕ(θ(u))du exp
ϕ iλσ(u)e u
+ θ(u) du ,
= exp −
s
s
de voorlaatste gelijkheid geldt door de onafhankelijke toenames van het L´evy-proces. En
dus geldt er voor φ(λ)
Rt
κ(z)dz
Z
φ(λ) =iλS(t) + iλe
(T (s) − S(s)) −
Z t Rt
κ(z)dz
u
+ θ(u) du,
ϕ iλσ(u)e
+
s
t
ϕ(θ(u))du
s
s
waarbij ϕ de cumulantgenererende functie van L(1) is en i2 = −1 geldt.
Het komt er dus op neer dat we de kansdichtheidsfunctie van het temperatuurproces
moeten kennen om de optieprijzen numeriek te berekenen. Deze dichtheidsfunctie kunnen we via de Fourier-transformatie (3.19) bekomen uit de karakteristieke functie van
T (t) die beschreven wordt in Stelling 14. In het geval van L´evy-processen is de momentgenererende functie (en daardoor de cumulantgenererende functie) gekend en hierdoor is
ook de karakteristieke functie φ(λ), die nodig is in Stelling 14, gekend. We kennen dan
uiteindelijk ook de eigenschappen van de verdeling van het gebruikte model, we kunnen
immers via (3.19) de dichtheidsfunctie bepalen.
Aanvankelijk hebben we dus de cumulantgenererende functie van het gebruikte L´evyproces nodig. Er bestaan veel soorten L´evy-processen, bijvoorbeeld het Poisson-proces,
het Gamma-proces, het CGMY-proces, het Meixner-proces,. . . 13 Wij zijn echter ge¨ınteresseerd in de processen die we kunnen gebruiken om de temperatuur te modelleren.
In Alexandridis and Zapranis (2013) werden de volgende drie processen getest om de
temperatuur te beschrijven:
• het Normaal Invers Gaussiaans (NIG) proces;
• het getemperd stabiel proces;
• het veralgemeende hyperbolisch proces.
13
Zie Schoutens (2003) voor een uitgebreide beschrijving van deze L´evy-processen.
3.4. Dagelijkse simulatie
95
Wij beperken ons hier tot de bespreking van het veralgemeende hyperbolisch proces,
aangezien Alexandridis and Zapranis (2013) en Benth and Benth (2005) argumenteren
dat dit een goede verdeling is om de temperatuur mee te modelleren.
Volgens Schoutens (2003) kunnen we de veralgemeende hyperbolische14 (GH) verdeling
via zijn karakteristieke functie als volgt defini¨eren.
Definitie 18. De veralgemeende hyperbolische verdeling GH(α,β,δ,υ) wordt gedefinieerd door zijn karakteristieke functie
φGH (u; α, β, δ, υ) =
υ2 K δ pα2 − (β + iu)2
υ
α −β
p
·
,
α2 − (β + iu)2
2
2
Kυ δ α − β
2
2
waarbij Kυ de gewijzigde Bessel-functie is.
De gewijzigde Bessel-functies van de eerste soort I±υ (z) en van de derde soort Kυ (z)
zijn oplossingen van de differentiaalvergelijking
z2
dw
d2 w
+z
− z 2 + υ 2 w = 0.
2
dz
dz
(3.20)
De functie Iυ (z) kan geschreven worden als de volgende reeks
Iυ (z) =
∞
z υ X
2
k=0
2 k
z
4
k!Γ(υ + k + 1)
,
en Kυ (z) voldoet aan
Kυ (z) =
π Iυ (z) − I−υ (z)
·
,
2
sin(υπ)
waarbij het rechterlid vervangen wordt door zijn limietwaarde als υ een geheel getal of
nul is.
De Bessel-functie Kυ kan ook in integraalvorm geschreven worden
Z
1 ∞ υ−1
1
−1
Kυ (z) =
u
exp
− z(u + u ) du, x > 0.
2 0
2
De veralgemeende hyperbolische verdeling is oneindig deelbaar en dus kunnen we een ver(GH)
algemeend hyperbolisch L´evy-proces X (GH) defini¨eren. We defini¨eren X (GH) = {Xt
,t ≥
0} als het stationair proces dat start in nul, onafhankelijke toenames heeft en waarbij
(GH)
de verdeling van Xt
14
de volgende karakteristieke functie heeft
h
i
(GH)
E exp iuXt
= (φGH (u; α, β, δ, υ))t .
In het Engels generalized hyperbolic.
96
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
De L´evy-maat ν(dx) voor het veralgemeend hyperbolisch proces is nogal ingewikkeld



p

Z ∞
2

exp
−|x|
2y
+
α

exp(βx) 


√ √ dy + υ exp(−α|x|) als υ ≥ 0,


2 y J 2 δ 2y + N 2 δ 2y
|x|
π
0
υ
υ
ν(dx) =
.
p

Z
2

∞
2y
+
α
exp
−|x|
 exp(βx)



√ √ dy als υ < 0,

2
2
|x|
δ 2y + N−υ
δ 2y
π 2 y J−υ
0
met Jυ en Nυ de Bessel-functies uit de volgende definitie.
Definitie 19. Bessel-functies van de eerste soort J±υ (z) en van de tweede soort Nυ (z)
zijn oplossingen van de volgende differentiaalvergelijking
z2
d2 w
dw
+ z 2 − υ 2 w = 0.
+z
2
dz
dz
De functie Jυ (z) kan geschreven worden als de volgende reeks
2 k
−z
∞
z υ X
4
Jυ (z) =
,
2 k=0 k!Γ(υ + k + 1)
en Nυ (z) voldoet aan
Nυ (z) =
Jυ (z) cos(υπ) − J−υ (z)
,
sin(υπ)
waarbij het rechterlid vervangen wordt door zijn limietwaarde als υ een geheel getal of
nul is.
Tot slot merken we nog op dat het hyperbolisch proces een speciaal geval is van het
veralgemeend hyperbolisch proces. Voor υ = 1 verkrijgen we het hyperbolisch proces
(HYP)
(HYP) waarbij X1
de hyperbolische verdeling HYP(α,β,δ)volgt. Deze hyperbolische
verdeling heeft de volgende karakteristieke functie
φHYP (u; α, β, δ) =
3.4.4.2.3
21 K δ pα2 − (β + iu)2
1
α −β
p
·
.
2
α − (β + iu)2
K1 δ α 2 − β 2
2
2
HDD- en CDD-indices: futures en opties
Zoals op het einde van voorgaande sectie voor opties werd geargumenteerd, is het ook
niet mogelijk om een gesloten oplossing te vinden voor futurecontracten die geschreven
werden op HDD- en CDD-indices. Via Stelling 14 is het mogelijk om de karakteristieke
functie van de temperatuurvariabele te bepalen, gebruik makend van de momentgenererende functie van het L´evy-proces. Via de Fourier-transformatie kunnen we dan ook de
3.4. Dagelijkse simulatie
97
dichtheidsfunctie fT (x) van de temperatuur bepalen. Deze dichtheidsfunctie kunnen we
gebruiken om de prijsformule voor een CDD-future als volgt te herschrijven
Z τ 2
FCDD (t, τ1 , τ2 ) = EQ
max{T (s) − c, 0}dsFt
Z τ2 τ1
EQ [max{T (s) − c, 0}|Ft ] ds
=
τ1
Z τ2 Z ∞
(x − c)fT (x)dxds.
=
τ1
c
Op analoge manier bekomen we dat de HDD-futureprijs gegeven wordt door
Z τ2 Z c
(c − x)fT (x)dxds.
FHDD (t, τ1 , τ2 ) =
τ1
−∞
Om de optieprijzen te bepalen verwijzen we naar uitdrukking (3.18) en de bijhorende
bespreking.
Dit waren de prijsformules voor futures en callopties geschreven op de verschillende
indices. We hebben hier geen rekening gehouden met de mogelijkheid om weersvoorspellingen te integreren in de prijs. Dit laatste bespreken we kort in de volgende sectie.
3.4.5
Prijzen met behulp van weersvoorspellingen
Tot nog toe is gebleken dat het prijzen van weerderivaten sterk afhankelijk is van de
beschikbare historische gegevens. Daarnaast hangt de prijs van een weerderivaat ook af
van de verwachte veranderingen in het weer. Volgens Alexandridis and Zapranis (2013)
kan de prijs van een weerderivaat daardoor verbeterd worden als er weersvoorspellingen
beschikbaar zijn voor de periode van het contract. Deze voorspellingen zijn ook makkelijk in de prijsformules te integreren wanneer we gebruik maken van de methode die
de derivaten prijst via dagelijkse simulatie. Er bestaan reeds verschillende technieken
voor het ontwikkelen van weersvoorspellingen15 . Desondanks deze brede waaier van technieken moeten we er wel rekening mee houden dat het weer slechts voor enkele dagen
nauwkeurig kan voorspeld worden. Maar zelfs voorspellingen op korte termijn kunnen
nuttig zijn voor de prijs van contracten die reeds zijn begonnen of die in de komende
dagen ingaan.
Alaton et al. (2002) suggereren om weersvoorspellingen op korte termijn te gebruiken,
15
We gaan hier in deze masterproef niet dieper op in. In Alexandridis and Zapranis (2013) worden
drie vaak voorkomende methodes kort besproken, met name de numerieke methoden voor weersvoorspellingen, de ensemble voorspellingen en de probabilistische voorspellingen.
98
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
ze argumenteren dat voorspellingen voor meer dan een week op voorhand immers niet
erg significant zijn. Om de weersvoorspellingen in de prijs (op een tijdstip dat voldoende
dicht bij de start van de contractperiode ligt) te integreren, passen Alaton et al. (2002)
hun model dat de temperatuur beschrijft (zie Sectie 2.4.2) aan. Ze stellen dat deze
aanpassingen op verschillende manieren kunnen worden doorgevoerd. Zo kan men bijvoorbeeld, wanneer er verwacht wordt dat de temperatuur tijdens de contractperiode
hoger zal zijn dan normaal, de parameter A in model (2.5) verhogen.
In Ritter et al. (2011) vertrekt men van het idee dat de filtratie die gebruikt wordt in
de risiconeutrale prijsformule niet alle beschikbare informatie bevat. Het is duidelijk dat
deze filtratie de historische evolutie van de temperatuur bevat, maar ze bevat geen informatie over eventuele temperatuursvoorspellingen. Deze informatie is echter wel gekend
door de spelers op de markt. Hiertoe stellen Ritter et al. (2011) voor om de filtratie uit
te breiden tot een filtratie die alle relevante informatie bevat en dit door er de weersvoorspellingen aan toe te voegen. Daarnaast voegen ze de waarden van de voorspelde
temperatuur aan de historische gegevens toe, zodat ze een model kunnen specifi¨eren dat
deze voorspellingen incorporeert. De resultaten in Ritter et al. (2011) tonen aan dat
de opname van weersvoorspellingen een duidelijke invloed heeft op de prijs die door de
theoretische modellen gegeven wordt. Er blijkt dat, vergeleken met een referentiemodel zonder voorspellingen, de theoretische prijzen die weersvoorspellingen opnemen veel
dichter bij de werkelijke futureprijzen op de markt liggen. Men merkt wel op dat dit
effect slechts significant is voor de laatste twee maanden voor de vervaldatum van het
contract. Het is dus zeker nuttig om voorspellingen op korte termijn te gebruiken om de
prijsformules voor weerderivaten te verbeteren.
Tot slot bekijken we de integratie van weersvoorspellingen nog vanuit een praktisch oogpunt. Er worden verschillende benaderingen gevolgd afhankelijk van de duur van het
contract, het aantal dagen beschikbare temperatuursvoorspellingen en het aantal dagen
voor de aanvang van het contract. Alexandridis and Zapranis (2013) beschrijven drie
scenario’s die zich kunnen voordoen. Voor deze situaties veronderstellen we dat we beschikken over de voorspellingen van de temperatuur voor vandaag en de komende tien
dagen. We hanteren ook de volgende notaties: t staat voor vandaag, τ1 voor de dag
waarop het weerderivaat ingaat en τ2 voor de vervaldatum van het weerderivaat. In het
concreet voorbeeld van Alexandridis and Zapranis (2013) geldt dat het contract start op
1 juli en loopt gedurende ´e´en maand.
In het eerste scenario wordt de waardering van het contract uitgevoerd lang voordat het
weerderivaat ingaat. Er is dus sprake van een waardering buiten de contractperiode.
3.4. Dagelijkse simulatie
99
Hierdoor zijn er op het moment van waardering nog geen weersvoorspellingen beschikbaar voor de contractperiode. We veronderstellen dat een bedrijf begin mei tot een
CAT-future toetreedt. Aangezien we veronderstelden dat de beschikbare voorspellingen
slechts voor de komende tien dagen zijn, dragen zij geen extra informatie bij aan de reeds
bestaande modellen. De tijdspanne tussen begin mei en 1 juli is immers groter dan tien
dagen. We kunnen in dit geval dus gewoon de prijsformule gebruiken die we reeds in
Stelling 3 of Stelling 13 gevonden hadden.
In het tweede scenario wordt de waardering van het contract opnieuw uitgevoerd vooraleer dit ingaat. Het verschil met het eerste scenario is dat de waardering geen geruime
tijd voor de start van het contract plaatsvindt. Er zijn dus wel temperatuursvoorspellingen beschikbaar gedurende de contractperiode, maar niet tot helemaal aan de vervaldag.
Veronderstel dus dat een bedrijf enkele dagen voor de ingang van het contract (1 juli) een
CAT-future wil kopen. In dit geval kunnen we de waardering binnen de contractperiode
gebruiken. Op 30 juni kent het bedrijf een voorspelling van de dagtemperatuur en van
de temperatuur voor de volgende tien dagen. We kunnen de prijsformule dus verdelen
in twee delen (zie Stelling 4). Het eerste deel van de formule bestaat uit de temperatuursvoorspellingen van de volgende tien dagen en is deterministisch, het is immers alsof
de temperatuur voor deze tien dagen gekend is. Het tweede stuk is het stochastische
deel van de contractperiode, namelijk de periode van 10 juli tot 31 juli. We kunnen de
waardering van het contract als volgt noteren
Z 10
FCAT (10, 1, 31) =
T (s)ds + FCAT (10, 10, 31).
1
In het laatste scenario bekijken we de prijs van een CAT-future gedurende de contractperiode. Dit is dus ook het scenario waar de temperatuursvoorspellingen beschikbaar zijn
tot op de vervaldag van het weerderivaat. Neem aan dat een bedrijf op 21 juli tot een
CAT-future wil toetreden. Dit bedrijf kent door onze veronderstellingen de temperatuur
op 21 juli en de voorspellingen voor de volgende tien dagen, d.i. tot op de vervaldatum
31 juli. Dit is eigenlijk het eenvoudigste geval. Immers, zowel de temperatuur gedurende
de eerste twintig dagen van het contract als de temperatuur voor de laatste dagen is
gekend. De temperatuur voor de laatste dagen van het contract is gekend omdat we
deze kunnen vervangen door de voorspellingen. We kunnen opnieuw gebruik maken van
de formule in Stelling 4 en verkrijgen de volgende prijsformule
Z 21
FCAT (21, 1, 31) =
T (s)ds + FCAT (21, 21, 31).
1
100
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
De tweede term in deze gelijkheid kunnen we vervangen met behulp van de temperatuursvoorspellingen, we krijgen dan
Z 21
Z
FCAT (21, 1, 31) =
T (s)ds +
1
31
Z
T (s)ds =
21
31
T (s)ds
1
Het bovenstaande is van toepassing op de prijsformules uit Sectie 3.4.4. Er bestaan echter
nog andere methoden om temperatuurderivaten te prijzen, deze alternatieve methoden
maken gebruik van zogenaamde nutsfuncties.
3.5
Alternatieve methoden
De markt voor weerderivaten is een incomplete markt. Hierdoor kunnen de standaard
methoden die gebruikt worden om derivaten te prijzen, zoals het Black-Scholes-Mertonmodel, niet gebruikt worden. Er zijn reeds veel alternatieve methoden ontwikkeld die
in een incomplete markt wel gehanteerd kunnen worden (zie Brockett et al. (2005)),
bijvoorbeeld super-replicatie, kwadratische benaderingen, kwantiel hedgen en shortfall
minimalisering, de aanpak via marginaal nut en indifference pricing. Sinds de modellen voor een incomplete financi¨ele markt zowel de hedgebare als de niet-hedgebare
risico’s erkennen, zijn deze beter geschikt voor de waardering van weerderivaten. Sommige onderzoekers hebben dan ook geprobeerd om het probleem van de waardering van
een weerderivaat te verkennen in de incomplete markt.
Davis (cf. Davis (2001)) onderzoekt de aanpak via marginaal nut, gebaseerd op de veronderstelling dat agenten in de markt voor weerderivaten niet representatief zijn, maar te
maken hebben met zeer specifieke weerrisico’s. Davis modelleert geaccumuleerde HDDs
en grondstofprijzen via een geometrische Brownse beweging, dit leidt tot expliciete uitdrukkingen voor swap-rentes en optiewaarden. Brockett, Wang en Yang, daarentegen,
passen de indifference valuation approach aan om de waardering van weerderivaten te analyseren. En Cao en Wei stellen een equilibrium valuation kader voor
weerderivaten voor. Hieronder bespreken wij deze laatste twee methoden uitgebreider.
3.5.1
Indifference valuation
Wij baseren deze sectie op Brockett et al. (2009). In een gemiddelde-variantie kader passen zij de indifference pricing approach aan om weerderivaten te prijzen rekening
houdend met de portefeuille-effecten.
De indifference pricing approach vloeit voort uit het basisbeginsel van gelijkwaardig nut. De methode is gebaseerd op argumenten van het verwachte nut en levert de
3.5. Alternatieve methoden
101
reserveringsprijzen. Ze is opgebouwd rond de voorkeuren van de beleggers in verband
met risico’s die niet kunnen worden ge¨elimineerd als gevolg van de incompleetheid van
de markt. De indifference pricing approach is al toegepast voor het prijzen van
traditionele financi¨ele derivaten in een incomplete markt, voor het prijzen van verzekeringsproducten in de financi¨ele markt en voor het prijzen van enkele andere derivaten
met exotische onderliggende.
Ter illustratie van de algemene indifference pricing approach (het tijdscontinue
model), veronderstellen we een dynamische markt die bestaat uit twee activa:
• Een aandeel met prijsproces S = (St )0≤t≤T , met T een vaste tijdshorizon, en een
spaarrekening met een constant prijsproces gelijk aan ´e´en.
• Een niet-verhandelbaar actief Yt , waarop een vordering van het Europese type
geschreven is.
De payoff van het Europese derivaat noteren we als g(Yt ), betaalbaar op tijdstip T .
Tevens wordt er geen handel in het derivaat toegestaan na inschrijving/aankoop. De
individuele voorkeur voor het nemen van risico’s wordt gemodelleerd via een nutsfunctie
u. In dit model wil de belegger het verwachte nut van zijn rijkdom maximaliseren door
zowel rekening te houden met als zonder rekening te houden met de Europese vordering.
Het optimalisatieprobleem, zonder rekening te houden met de financi¨ele vordering, is een
klassiek Merton-model van optimaal investeringsgedrag, namelijk
Z T
V (w) = sup E u w +
vt dSt ,
v
0
waar w staat voor de initi¨ele rijkdom van de belegger en vt voor zijn/haar investeringsstrategie (of de samenstelling van zijn/haar beleggingsportefeuille uit het risicovolle actief
en het risicovrije actief op tijdstip t). V (w) is dus het maximum haalbare verwachte nut
van de uiteindelijke rijkdom wanneer een belegger start met initi¨ele rijkdom w. Wanneer
we rekening houden met de mogelijkheid om δ > 0 eenheden van de financi¨ele vordering te kopen/verkopen, dan wordt het optimalisatieprobleem voor de koper (b) en de
verkoper (s) respectievelijk
Z T
b
V (w) = sup E u w +
vt dSt − δπ + δg(YT ) ,
v
0
Z T
s
s
V (w) = sup E u w +
vt dSt + δπ − δg(YT ) ,
b
v
0
met π b en π s respectievelijk de prijzen voor het kopen en verkopen van ´e´en eenheid van
de financi¨ele vordering.
102
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
De verkoper zijn indifferentieprijs voor de Europese vordering g(YT ) wordt gedefinieerd
door π s , deze van de koper door π b , en zodanig dat de belegger onverschillig is tegenover
de volgende twee scenario’s:
• Optimalisatie van zijn/haar verwachte nut zonder gebruik te maken van het derivaat.
• Optimalisatie van zijn/haar verwachte nut rekening houdend met enerzijds de aansprakelijkheid (payoff) g(YT ) op vervaldatum T en anderzijds de compensatie π s
(kost π b ).
Daarom moeten de indifferentieprijzen π s en π b voldoen aan
Z T
Z T
s
vt dSt
= sup E u w +
vt dSt + δπ − δg(YT ) ,
sup E u w +
v
v
0
0
Z T
Z T
b
sup E u w +
vt dSt
= sup E u w +
vt dSt − δπ + δg(YT ) .
v
0
v
0
Deze algemene aanpak moet nu nog toegepast worden voor weerderivaten. Door de
structuur van de weerderivaten zullen hedgers deze meestal houden voor de hele looptijd
van het contract (of de hedging-periode) tot op de vervaldag.16 Daarom veronderstellen
Brockett et al. (2009) een twee-data-model, voor dit onderzoek is dat immers beter geschikt dan een multi-perioden-model of een tijdscontinue setting.
In dit twee-data-model bestaat de financi¨ele markt uit twee activa, een risicovol actief
(zoals een aandeel, de marktportefeuille,. . . ) met een stochastisch rendement r op tijdstip 1 en een spaarrekening met een bruto risicovrij rendement rf enerzijds evenals een
stochastische weerindex y waarop een weerderivaat kan worden geschreven anderzijds. De
payoff van dit weerderivaat wordt voorgesteld door Ry . Brockett et al. (2009) modelleren
de voorkeur van de belegger voor het nemen van risico’s door de gemiddelde-variantie
nutsfunctie. Deze drukt uit dat door hogere verwachte welvaart de waarde van ondernemingen stijgt, terwijl hogere volatiliteit kosten impliceert als gevolg van de toename van
de kans op financi¨ele problemen en/of de effecten op toekomstige investeringsprikkels.
De nutsfunctie wordt dus als volgt gedefinieerd
u(x) = E(x) − λσ 2 (x),
16
Zelfs in de veronderstelling dat het weerderivaat initieel wordt gekocht/verkocht en dat de positie in
dat instrument niet verandert, is het zeker mogelijk dat de belegger de gewichten van de andere effecten
in de portefeuille dynamisch kan herschikken. Brockett et al. (2009) laten de invloed van de dynamische
herschikking voor wat het is, zij gebruiken een statisch model omdat het wiskundig eenvoudiger en
gemakkelijker te implementeren is.
3.5. Alternatieve methoden
103
met λ > 0 de risico-aversie parameter. We merken nog op dat andere doelfuncties, zoals de exponenti¨ele nutsfunctie of de macht nutsfunctie, op een analoge manier kunnen
worden gebruikt. In het model van Brockett et al. (2009) wil de belegger de gemiddeldevariantie nutsfunctie van zijn/haar uiteindelijke rijkdom op tijdstip 1 maximaliseren door
zowel rekening te houden met als geen rekening te houden met het weerderivaat. De koper (of hedger) wordt in het model getypeerd door een leverancier van elektriciteit met
een willekeurige vraag naar stroom q en een willekeurige eenheidsprijs voor stroom p
op tijdstip 1, de verkoper (of uitgever) van weerderivaten kan bijvoorbeeld een investeringsbank, een bedrijf dat energie verhandelt of een verzekeringsmaatschappij zijn. Het
model incorporeert prijs risico’s (p), weer/hoeveelheid risico’s (q) en andere risico’s (r)
in de financi¨ele markt. Brockett et al. (2009) waarderen weerderivaten in een hedging
context waarin hedgers weerderivaten gebruiken om hun weerrisico’s te hedgen en hun
nut te maximaliseren.
Als eerste analyseren we de koper zijn indifferentieprijs van weerderivaten. Zonder weerhedging is het probleem van de optimale portfoliokeuze voor de koper het volgende
V1b = max {u((w − a)rf + ar + pq)} ,
a
(3.21)
waarbij (w − a)rf + ar + pq de uiteindelijke rijkdom van de koper op tijdstip 1 voorstelt.
Hierin is w de initi¨ele rijkdom van de belegger, a de hoeveelheid die ge¨ınvesteerd wordt
in het risicovol actief, w − a de hoeveelheid die in het risicovrij actief ge¨ınvesteerd wordt
en pq de inkomsten van de koper door het leveren van stroom. Rekening houdend met
het gebruik van een weerderivaat om het weerrisico te hedgen, wordt het probleem van
de optimale portfoliokeuze voor de koper
V2b = max{u((w − δπ b )rf + a(r − rf ) + pq + δRy )},
a
(3.22)
met π b de koopprijs van het weerderivaat.
Gebruik makend van de gemiddelde-variantie nutsfunctie u(x) = E[x] − λb σ 2 (x) kunnen
we (3.21) en (3.22) expliciet bepalen. Er geldt voor (3.21)
V1b = max{u((w − a)rf + ar + pq)}
a
= max E[(w − a)rf + ar + pq] − λb Var((w − a)rf + ar + pq) .
a
Wanneer we voor de eenvoud van notatie E[x] = µx , Cov(x, y) = σx,y en Var(x) = σx2 stelP
P
P
len en aangezien E[rf ] = rf en Var( ni=1 Xi ) = ni=1 Var(Xi ) + 2 1≤i<j≤n Cov(Xi , Xj )
geldt, kunnen we dit als volgt uitschrijven
V1b = max{(w − a)rf + aµr + µpq
a
2
− λb ((w − a)2 σr2f + a2 σr2 + σpq
+ 2[(w − a)aσrf ,r + (w − a)σrf ,pq + aσr,pq ])}.
104
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Er geldt eveneens Cov(rf , x) = 0, we komen dus tot de volgende gelijkheid
2
+ 2aσr,pq ) .
V1b = max (w − a)rf + aµr + µpq − λb (a2 σr2 + σpq
a
Om het maximalisatieprobleem op te lossen, leiden we deze uitdrukking eerst af naar a
en stellen we vervolgens de uitkomst gelijk aan nul, dit levert
−rf + µr − λb 2aσr2 − λb 2σr,pq = 0.
Wanneer we deze gelijkheid oplossen naar a bekomen we
a=
−rf + µr − λb 2σr,pq
.
2λb σr2
Substitutie van deze waarde in de uitdrukking voor V1b levert
2
V1b = max wrf + µpq − λb σpq
+ a(−rf + µr − 2λb σr,pq ) − a2 λb σr2
a
−rf + µr − λb 2σr,pq
· (−rf + µr − 2λb σr,pq )
2λb σr2
2
−rf + µr − λb 2σr,pq
−
λb σr2
2λb σr2
(−rf + µr − λb 2σr,pq )2 (−rf + µr − λb 2σr,pq )2
2
−
= wrf + µpq − λb σpq
+
2λb σr2
4λb σr2
(−rf + µr − λb 2σr,pq )2
2
= wrf + µpq − λb σpq
+
.
4λb σr2
2
= wrf + µpq − λb σpq
+
We kunnen nu hetzelfde doen voor (3.22)
V2b
=
max E[(w − δπ b − a)rf + ar + pq + δRy ] − λb Var((w − δπ b − a)rf + ar + pq + δRy )
=
max{(w − δπ b − a)rf + aµr + µpq + δµRy
a
2
+ δ 2 σR2 y + 2(aσr,pq + aδσr,Ry + δσpq,Ry ) }
−λb a2 σr2 + σpq
=
max{(w − δπ b − a)rf + aµr + µpq + δµRy
a
a
2
−λb a2 σr2 − λb σpq
− λb δ 2 σR2 y − 2λb aσr,pq − 2λb aδσr,Ry − 2λb δσpq,Ry }.
Door het maximalisatieprobleem op te lossen, bekomen we
−rf + µr − λb 2aσr2 − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry = 0
−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry
⇔ a=
.
2λb σr2
3.5. Alternatieve methoden
105
Substitutie van deze waarde voor a in de uitdrukking voor V2b levert
2
V2b = max{(w − δπ b )rf + µpq + δµRy − λb σpq
− λb δ 2 σR2 y − 2λb δσpq,Ry
a
+a(−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry ) − a2 λb σr2 }
2
= (w − δπ b )rf + µpq + δµRy − λb σpq
− λb δ 2 σR2 y − 2λb δσpq,Ry
(−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry )2 (−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry )2
−
2λb σr2
4λb σr2
2
− λb δ 2 σR2 y − 2λb δσpq,Ry
= (w − δπ b )rf + µpq + δµRy − λb σpq
+
(−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry )2
+
.
4λb σr2
Om de indifferentieprijs van de koper voor het weerderivaat te bepalen, stellen we V1b
gelijk aan V2b , er volgt
V1b = V2b
2
⇔ wrf + µpq − λb σpq
+
(−rf + µr − λb 2σr,pq )2
4λb σr2
2
− λb δ 2 σR2 y − 2λb δσpq,Ry
= (w − δπ b )rf + µpq + δµRy − λb σpq
(−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry )2
4λb σr2
(−rf + µr − λb 2σr,pq )2
⇔
4λb σr2
+
= −δπ b rf + δµRy − λb δ 2 σR2 y − 2λb δσpq,Ry +
(−rf + µr − 2λb σr,pq − 2λb δσr,Ry )2
.
4λb σr2
Voor de eenvoud van notatie stellen we β = −rf + µr − 2λb σr,pq , er komt dan
(β − 2λb δσr,Ry )2
β2
b
b 2 2
b
=
−δπ
r
+
δµ
−
λ
δ
σ
−
2λ
δσ
+
pq,R
f
R
y
y
Ry
4λb σr2
4λb σr2
2
β 2 − 4βλb δσr,Ry + 4(λb )2 δ 2 σr,R
β2
y
b
b 2 2
b
⇔ b 2 = −δπ rf + δµRy − λ δ σRy − 2λ δσpq,Ry +
b
2
4λ σr
4λ σr
!
b
2
−βσ
+
λ
δσ
r,Ry
r,Ry
⇔ 0 = δ −π b rf + µRy − λb δσR2 y − 2λb σpq,Ry +
.
2
σr
Deze vergelijking lossen we nu op naar π b
1
πb =
rf
1
=
rf
µRy − λb δσR2 y − 2λb σpq,Ry +
µRy − λb δσR2 y − 2λb σpq,Ry +
2
−βσr,Ry + λb δσr,R
y
!
σr2
2
−(−rf + µr − 2λb σr,pq )σr,Ry + λb δσr,R
y
σr2
!
.
106
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Gebruik makend van de gemiddelde-variantie nutsfunctie is de indifferentieprijs van de
koper voor het weerderivaat gelijk aan
σr,Ry (µr − rf − 2λb σr,pq − δλb σr,Ry )
1
b
b 2
b
π =
µRy − δλ σRy − 2λ σpq,Ry −
.
rf
σr2
(3.23)
Wegens de voorname rol van de risico-aversie parameter λ, kunnen de indifferentieprijzen van de belegger zeer subjectief zijn. In het algemeen mag de indifferentieprijs van
een deelnemer niet gebruikt worden om de algemene rentabiliteit van een markt te bepalen. Echter, de transacties van weerderivaten zijn meestal over-the-counter aangepaste
deals tussen een koper en een verkoper, hoewel sommige weerderivaten voor handelsdoeleinden ook worden vermeld op een aantal beurzen zoals de CME (Chicago Mercantile
Exchange). De indifferentieprijzen van beleggers leveren belangrijke maatstaven aan de
marktpartijen in de aangepaste markten voor weerderivaten.
Om een rendabele markt te hebben, moet de marktprijs van het weerderivaat tussen de
indifferentieprijs van de koper en de verkoper liggen, dit wil zeggen dat de marktprijs
niet hoger is dan de indifferentieprijs van de koper. Dus, wanneer de indifference
risicopremie (het verschil tussen π b en de verdisconteerde prijs aan de risicovrije rente
µR y
) negatief is
rf
σr,Ry (µr − rf − 2λb σr,pq − δλb σr,Ry )
1
b 2
b
−δλ σRy − 2λ σpq,Ry −
< 0,
rf
σr2
dat wil zeggen
− δλb σR2 y σr2 − 2λb σpq,Ry σr2 − σr,Ry (µr − rf − 2λb σr,pq − δλb σr,Ry ) < 0
⇔ −δλb σR2 y σr2 − 2λb σpq,Ry σr2 − σr,Ry (−2λb σr,pq − δλb σr,Ry ) < σr,Ry (µr − rf )
2
⇔ λb [δ(σr,R
− σr2 σR2 y ) + 2(σr,Ry σr,pq − σr2 σpq,Ry )] < σr,Ry (µr − rf ),
y
µR y
: de marktprijs van het weerderivaat (πM ) moet lager zijn dan de
rf
verwachte verdisconteerde17 waarde. Hieruit volgt dat de actuari¨ele prijs geen geschikte
dan geldt πM <
waardering van het weerderivaat is.
We passen dit nu toe voor een concreet geval. Beschouw een forward contract voor het
weer met tick size e 1 en uitoefenniveau K. De payoff van de koper (of hedger) voor dit
contract wordt gespecifieerd door Ry = K − y, met y de weerindex. De indifferentieprijs
van een forward voor het weer is dan een analogon van (3.23), waarin µRy = E[Ry ] =
17
Verdisconteren aan de risicovrije rente en onder de fysieke maat (actuari¨ele prijs).
3.5. Alternatieve methoden
107
E[K − y] = K − µy , Cov(Ry , x) = Cov(K − y, x) = −Cov(y, x) en dus Var(Ry ) = Var(y)
omdat K een constante is. De prijs is dus gelijk aan
1
σr,y (µr − rf − 2λb σr,pq + δλb σr,y )
b
b 2
b
πf =
(K − µy ) − δλ σy + 2λ σpq,y +
.
rf
σr2
De indifference forward price F b is de waarde van K waarvoor πfb gelijk aan nul
wordt, namelijk
F b = µy + δλb σy2 − 2λb σpq,y −
σr,y (µr − rf − 2λb σr,pq + δλb σr,y )
.
σr2
Om een rendabele markt te hebben, mag de forward marktprijs niet lager zijn dan de koper zijn indifference forward price. Daarom, als de koper zijn forward indifference
risicopremie (F b − µy ) positief is
δλb σy2
σr,y (µr − rf − 2λb σr,pq + δλb σr,y )
> 0,
− 2λ σpq,y −
σr2
b
dit wil zeggen
δλb σy2 σr2 − 2λb σpq,y σr2 − σr,y µr − rf − 2λb σr,pq + δλb σr,y > 0
2
⇔ λb δσy2 σr2 − 2σpq,y σr2 + σr,y 2σr,pq − δσr,y
> σr,y (µr − rf )
2
⇔ λb δ σy2 σr2 − σr,y
+ 2 σr,y σr,pq − σr2 σpq,y > σr,y (µr − rf ),
dan geldt FM > µy . Vandaar dat de forward marktprijs van de weerindex, FM , hoger
moet zijn dan zijn verwachte waarde onder de fysieke maat.
Vervolgens analyseren we de verkoper zijn indifferentieprijs van weerderivaten. Zonder
rekening te houden met een weerderivaat is het probleem van de optimale portfoliokeuze
voor de verkoper het volgende
V1s = max{u(wrf + a(r − rf ))}.
a
Rekening houdend met het gebruik van een weerderivaat wordt het probleem van de
optimale portfoliokeuze voor de verkoper
V2s = max{u((w + δπ s )rf + a(r − rf ) − δRy )},
a
met π s de verkoopprijs van het weerderivaat.
We kunnen nu ook de indifferentieprijs van de verkoper berekenen gebruik makend van
de gemiddelde-variantie nutsfunctie u(x) = E(x) − λs σ 2 (x). Voor V1s krijgen we
V1s = max {E[wrf + a(r − rf )] − λs Var(wrf + a(r − rf ))}
a
108
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
= max{(w − a)rf + aµr − λs a2 σr2 }
a
= max{wrf + a(−rf + µr ) − λs a2 σr2 }.
a
Het maximalisatieprobleem oplossen naar a levert
− rf + µr − 2aλs σr2 = 0
−rf + µr
.
⇔a=
2λs σr2
Wanneer we deze waarde substitueren in de uitdrukking voor V1s krijgen we
(−rf + µr )2 (−rf + µr )2
−
2λs σr2
4λs σr2
2
(−rf + µr )
= wrf +
.
4λs σr2
V1s = wrf +
Analoog geldt voor V2s
V2s = max {E[(w + δπ s − a)rf + ar − δRy ] − λs Var((w + δπ s − a)rf + ar − δRy )}
a
= max{(w + δπ s − a)rf + aµr − δµRy − λs (a2 σr2 + δ 2 σR2 y − 2aδσr,Ry )}
a
= max{(w + δπ s )rf − δµRy − λs δ 2 σR2 y + a(−rf + µr + 2λs δσr,Ry ) − λs a2 σr2 }.
a
Wanneer we het maximalisatieprobleem oplossen, krijgen we de volgende waarde voor a
− rf + µr + 2λs δσr,Ry − 2aλs σr2 = 0
−rf + µr + 2λs δσr,Ry
⇔a=
.
2λs σr2
Deze waarde invullen in de uitdrukking voor V2s geeft
(−rf + µr + 2λs δσr,Ry )2 (−rf + µr + 2λs δσr,Ry )2
−
2λs σr2
4λs σr2
s
2
(−rf + µr + 2λ δσr,Ry )
.
+
4λs σr2
V2s = (w + δπ s )rf − δµRy − λs δ 2 σR2 y +
= (w + δπ s )rf − δµRy − λs δ 2 σR2 y
Om de indifferentieprijs van de verkoper voor het weerderivaat te bepalen, stellen we V1s
gelijk aan V2s , er komt
V1s = V2s
(−rf + µr + 2λs δσr,Ry )2
(−rf + µr )2
s
s 2 2
⇔ wrf +
= (w + δπ )rf − δµRy − λ δ σRy +
4λs σr2
4λs σr2
(−rf + µr )2
⇔
4λs σr2
3.5. Alternatieve methoden
109
= δπ s rf − δµRy − λs δ 2 σR2 y +
2
(−rf + µr )2 + 4(λs )2 δ 2 σr,R
+ 4(−rf + µr )λs δσr,Ry
y
⇔ 0 = δπ s rf − δµRy − λs δ 2 σR2 y +
s
s
⇔ 0 = π rf − µRy − λ
δσR2 y
+
2
λs δ 2 σr,R
y
2
λs δσr,R
y
4λs σr2
+ (−rf + µr )δσr,Ry
σr2
+ (−rf + µr )σr,Ry
σr2
.
Hieruit kunnen we π s halen
1
πs =
rf
µRy + λs δσR2 y −
2
λs δσr,R
+ (−rf + µr )σr,Ry
y
!
σr2
.
Krachtens de gemiddelde-variantie nutsfunctie is de indifferentieprijs van de verkoper
voor het weerderivaat gelijk aan
σr,Ry (µr − rf + δλs σr,Ry )
1
s
s 2
π =
µRy + δλ σRy −
.
rf
σr2
(3.24)
Om een rendabele markt te hebben, mag de marktprijs van het weerderivaat niet lager
zijn
dan deindifferentieprijs van de verkoper. Dus, als de indifference risicopremie
µR
π s − y van de verkoper positief is
rf
δλs σR2 y
σr,Ry (µr − rf + δλs σr,Ry )
> 0,
−
σr2
dit wil zeggen
δλs σR2 y σr2 − σr,Ry (µr − rf + δλs σr,Ry ) > 0
2
⇔ λs δ(σR2 y σr2 − σr,R
) > σr,Ry (µr − rf )
y
⇔ λs >
σr,Ry (µr − rf )
,
2
)
δ(σR2 y σr2 − σr,R
y
µR y
. Op deze manier moet de marktprijs van het weerderivaat (πM )
rf
hoger zijn dan de verwachte verdisconteerde18 waarde. Deze ongelijkheid geldt wanneer
σr,Ry
ρr,Ry < 0. Er geldt dan immers
< 0 en dit impliceert σr,Ry < 0. Hieruit volgt dat
σ r σ Ry
dan geldt πM >
σr,Ry (µr − rf )
σr,Ry (µr − rf )
=
2
2
2
σ2
δ(σRy σr − σr,Ry )
δσR2 y σr2 (1 − σ2r,Rσy2 )
Ry
=
18
r
σr,Ry (µr − rf )
δσR2 y σr2 (1 − ρ2r,Ry )
Opnieuw verdisconteren aan de risicovrije rente en onder de fysieke maat.
110
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
negatief is. Merk op dat µr − rf positief is omdat de verwachte return van een risicovol
actief r groter moet zijn dan het risicovrij rendement rf . En omdat λs > 0 verondersteld
σr,Ry (µr − rf )
werd, is de ongelijkheid λs >
geldig. Door de bovenstaande equiva2
δ(σR2 y σr2 − σr,R
)
y
µR y
. Dus, wanneer de return van het risicovol actief en de
lenties geldt dan ook πM >
rf
payoff van het weerderivaat negatief gecorreleerd zijn, is de actuari¨ele prijs geen geschikte
marktprijs voor het weerderivaat. De actuari¨ele prijs is dan immers te laag.
Gelijkaardige resultaten zijn van toepassing op de verkoper (of uitgever) zijn indifference
forward price. De verkoper zijn indifferentieprijs van een forward voor het weer met
payoff Ry = K − y kan als volgt worden uitgedrukt (analogon van (3.24))
1
σr,y (µr − rf − λs δσr,y )
s
s
2
πf =
K − µy + λ δσy +
.
rf
σr2
De indifference forward price is
F s = µy − λs δσy2 −
σr,y (µr − rf − λs δσr,y )
.
σr2
In een rendabele markt mag de forward marktprijs niet hoger zijn dan de verkoper
zijn indifference forward price. Dus, als de verkoper zijn forward indifference
risicopremie (F s − µy ) negatief is
−δλs σy2
σr,y (µr − rf − λs σr,y δ)
−
< 0,
σr2
of equivalent
δλs σy2 +
σr,y (µr − rf − λs σr,y δ)
> 0,
σr2
dit wil zeggen
δλs σy2 σr2 + σr,y (µr − rf − λs σr,y δ) > 0
2
⇔ λs (δσy2 σr2 − σr,y
δ) > −σr,y (µr − rf )
−σr,y (µr − rf )
2 δ
δσy2 σr2 − σr,y
σr,y (µr − rf )
⇔ λs >
,
2 − σ2σ2)
δ(σr,y
y r
⇔ λs >
dan geldt FM < µy . De forward marktprijs van de weerindex, FM , moet lager zijn dan
zijn verwachte waarde onder de fysieke maat, als de markt bestaat. Deze ongelijkheid
geldt wanneer ρr,y > 0. Als ρr,y > 0, dan geldt σr,y > 0. Hieruit volgt dat
σr,y (µr − rf )
σr,y (µr − rf )
=
2 − σ2σ2)
δ(σr,y
δσy2 σr2 (ρ2r,y − 1)
y r
3.5. Alternatieve methoden
111
σr,y (µr − rf )
en dus ook de onge2 − σ2σ2)
δ(σr,y
y r
< µy geldt. Hieruit kunnen we concluderen dat wanneer de weersomstandig-
negatief is. Waaruit volgt dat de ongelijkheid λs >
lijkheid FM
heden een positieve impact hebben op de return van het risicovol actief in de financi¨ele
markt de actuari¨ele forward prijs geen geschikte forward marktprijs is in de markt voor
weerderivaten. De actuari¨ele forward prijs is dan te hoog.
Het is duidelijk dat een transactie in de markt voor weerderivaten enkel mogelijk is wanneer de indifferentieprijs van de koper niet lager is dan deze van de verkoper. Hierdoor is
er nog een andere nodige voorwaarde voor rentabiliteit van de markt, namelijk π b ≥ π s .
Deze nodige voorwaarde kan als volgt uitgedrukt worden
σr,Ry (µr − rf − 2λb σr,pq − δλb σr,Ry )
1
b 2
b
µRy − δλ σRy − 2λ σpq,Ry −
rf
σr2
σr,Ry (µr − rf + δλs σr,Ry )
1
µRy + δλs σR2 y −
≥
rf
σr2
2
σr,R
δλs
σr,Ry (−2λb σr,pq − δλb σr,Ry )
y
b 2
b
s 2
⇔ −δλ σRy − 2λ σpq,Ry −
≥ δλ σRy −
σr2
σr2
!
!
2
2
δσr,R
σr,R
δ
2σr,Ry σr,pq
y
y
b
2
s
2
b
+ λ δσRy −
≥ λ δσRy −
⇔ λ −2σpq,Ry +
σr2
σr2
σr2
!
2
σr,R
δ
2σr,Ry σr,pq
y
b
s
b
2
⇔ λ −2σpq,Ry +
≥ (λ + λ ) δσRy −
σr2
σr2
2
⇔ λb −2σpq,Ry σr2 + 2σr,Ry σr,pq ≥ (λs + λb ) δσR2 y σr2 − σr,R
δ
y
⇔
3.5.2
2σr,Ry σr,pq − 2σpq,Ry σr2
λb + λs
.
≤
2
λb
δσR2 y σr2 − δσr,R
y
Equilibrium valuation
Cao and Wei (2000b) veralgemenen het Lucas-model (cf. Lucas (1978)) om ook het
weer te kunnen opnemen als een fundamentele variabele in de economie. Ze stellen een
equilibrium valuation kader voor weerderivaten voor.
Beschouw, om te beginnen, in een discrete setting een uitbreiding van de pure ruileconomie (voorgesteld door Lucas) waarin de fundamentele onzekerheden in de economie
worden gedreven door twee toevalsvariabelen:
• het totale dividend δ;
• de weersomstandigheden Y .
112
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Het totale dividend kan gezien worden als geaggregeerde output of als dividenden op
de marktportefeuille. De weersomstandigheden kunnen bepaald worden door de temperatuur, regenval, sneeuwval, vochtigheid,. . . Wij bestuderen temperatuurderivaten in
het bijzonder, wat impliceert dat Y staat voor de temperatuur. De dynamiek die het
totale dividend en de weervariabele bepaalt, is een exogeen proces op een gegeven kansruimte (Ω, F, P). Er is een representatieve belegger en zijn kennis zit vervat in de filtratie F = (Ft )t≥0 met Ft ≡ σ(δτ , Yτ ; τ ∈ (0, 1, 2, . . . , t)). De agent heeft een oneindige
levensduur-horizon.
Op de financi¨ele markt kan de representatieve agent ´e´en risicovol aandeel, discount obligaties en een eindig aantal andere voorwaardelijke vorderingen ruilen op ieder tijdstip.
Het risicovol aandeel kan beschouwd worden als de marktportefeuille. Daardoor wordt
de stroom van dividenden van het aandeel {δt } opgevat als het totale dividend in de
economie. Het totale aanbod is genormaliseerd op ´e´en aandeel en de voorwaardelijke
vorderingen zijn geschreven op het risicovol aandeel, de pure discount obligatie of de
weervariabele. Het netto aanbod van alle voorwaardelijke vorderingen en de risicoloze
obligatie is nul.
De voorkeur van de agent wordt beschreven door een gladde tijdsadditieve verwachte
nutsfunctie
"
V (c) = E0
∞
X
#
U (ct , t) ,
(3.25)
t=0
met U : R+ × (0, ∞) → R glad op (0, ∞) × (0, ∞) en voor elke t ∈ (0, 1, 2, . . . , ∞) is
U (·, t) : R+ → R stijgend en strikt concaaf, met een continue afgeleide U 0 (·, t) op (0, ∞).
Aanvankelijk wordt de agent voorzien van ´e´en risicovol aandeel. Noteer zijn posities in
0
0
de portefeuille op tijdstip t als θt = (θts , θtB , θtx ), waarbij θts , θtB en θtx het aantal aandelen is dat respectievelijk ge¨ınvesteerd is in het risicovol aandeel, de discount obligatie
en andere voorwaardelijke vorderingen. Noteer de prijzen van effecten op tijdstip t door
een vector Xt en de corresponderende vector van dividenden door Dt . De consumptie
van de agent in de tijd wordt gefinancierd door een handelsstrategie {θt , t ≥ 0}. Zijn
beslissingsprobleem bestaat er in een optimale handelsstrategie te kiezen om zo zijn verwachte nut te maximaliseren.
De eerste orde voorwaarden van dit maximalisatieprobleem leveren de standaard Eulervergelijking voor consumptie op. We zullen eerst deze Eulervergelijking opstellen alvorens verder te gaan met de prijsstelling voor temperatuurderivaten die in Cao and Wei
(2000b) besproken wordt.
Om de Eulervergelijking voor consumptie op te stellen, volgen we de aanpak in Obstfeld
3.5. Alternatieve methoden
113
(2009) en Swisher (2012), omdat hier ook rekening wordt gehouden met de uitkering van
dividenden. We gaan van start met een model dat geen rekening houdt met investeringen en/of productie. We veronderstellen eerst dat er twee periodes zijn. Op tijdstip
1 is het budget van individu i gelijk aan yi . Vanuit het standpunt op tijdstip 1 is het
budget op tijdstip 2 echter een stochastische variabele. We nemen aan dat er op tijdstip
2 slechts twee mogelijke toestanden bestaan, in toestand 1 is het budget gelijk aan yi (1),
in toestand 2 is het yi (2).
We noteren met ci de consumptie van het individu op tijdstip 1, ci (1) en ci (2) stellen
het contingentieplan voor consumptie van het individu op tijdstip 2 voor. De plannen
zijn afhankelijk van de toestand die zich daadwerkelijk voordoet op tijdstip 2. De kans
P
dat toestand s zich voordoet is π(s), waarvoor geldt s π(s) = 1.
Een belangrijke hypothese is dat het individu kiest voor het consumptieplan dat het
verwachte nut U i maximaliseert. Voor U i geldt er
U i = u(ci ) + β[π(1)u(ci (1)) + π(2)u(ci (2))]
= u(ci ) + βE[u(ci (s))],
waarbij ci (s) staat voor de consumptie in toestand s en u een nutsfunctie is. Dit is het
von Neumann-Morgenstern-criterium voor het verwachte nut.
Een Arrow-Debreu-effect19 voor toestand s betaalt de eigenaar ´e´en eenheid output op
tijdstip 2 als toestand s optreedt en niets in alle andere gevallen20 .
Zij r de intrestvoet op een obligatie, hieruit volgt dat de prijs (alle prijzen zijn in termen van consumptie op tijdstip 1) van een obligatie, die de eigenaar ´e´en eenheid output
betaalt op tijdstip 2 ongeacht de toestand waarin men zich dan bevindt, gelijk is aan
1
. Vervolgens defini¨eren we de prijs op tijdstip 1 van het Arrow-Debreu-effect voor
1+r
P
p(s)
toestand s, dit is namelijk gelijk aan
. We weten eveneens dat s p(s) = 1 geldt.
1+r
Stel immers dat we een Arrow-Debreu-effect voor elke toestand s zouden kopen, dan
krijgen we op tijdstip 2 (ongeacht de toestand) exact ´e´en eenheid output uitbetaalt. Dit
levert ons op tijdstip 2 dus hetzelfde resultaat als wanneer we een obligatie zouden bezitten, en hierdoor geldt de bovenstaande arbitrage-relatie.
We bekijken het model alsof er drie goederen in bestaan, namelijk, consumptie op tijdstip
1 en consumptie op tijdstip 2 afhankelijk van de bereikte toestand. De Arrow-Debreuactivaprijzen defini¨eren de prijzen van toekomstige voorwaardelijke consumpties. Indi19
20
Ook een toestand-prijs-effect genoemd.
Dit is verschillend van een risicoloze obligatie, die betaalt de eigenaar dezelfde hoeveelheid output
in elke toestand.
114
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
vidu i maximaliseert dus U i onderworpen aan de budgetbeperking
ci +
p(2) i
p(1) i
p(2) i
p(1) i
c (1) +
c (2) = y i +
y (1) +
y (2).
1+r
1+r
1+r
1+r
(3.26)
Zoals in ons voorafgaand, deterministisch model spreiden mensen hun consumptie over
verschillende tijdstippen (onder invloed van prijsprikkels op de verschillende tijdstippen),
maar ze zijn ook van plan om hun consumptie te spreiden over verschillende toestanden
afhankelijk van de prijsprikkels in de verschillende toestanden. Hoe dit in zijn werk gaat,
kunnen we zien door de Lagrangiaan voor de maximalisatie van U i onderworpen aan de
budgetbeperking (3.26) neer te schrijven
p(1) i
p(2) i
i
i
i
i
i
i
L =U − λ c − y +
c (1) − y (1) +
c (2) − y (2)
1+r
1+r
=u(ci ) + β(π(1)u(ci (1)) + π(2)u(ci (2)))
p(1) i
p(2) i
i
i
i
i
i
−λ c −y +
c (1) − y (1) +
c (2) − y (2) .
1+r
1+r
De eerste orde voorwaarden worden dan verkregen door L af te leiden naar ci , ci (1), ci (2)
en λi . De eerste orde voorwaarden zijn dus
u0 (ci ) − λi = 0,
p(1)
= 0,
1+r
p(2)
βπ(2)u0 (ci (2)) − λi
= 0,
1+r
p(2) i
p(1) i
(c (1) − y i (1)) −
(c (2) − y i (2)) = 0,
− ci + y i −
1+r
1+r
βπ(1)u0 (ci (1)) − λi
of equivalent
u0 (ci ) = λi ,
βπ(s)u0 (ci (s)) = λi
− ci + y i =
p(s)
1+r
p(1) i
p(2) i
(c (1) − y i (1)) +
(c (2) − y i (2)).
1+r
1+r
Wanneer we de eerste twee voorwaarden combineren, krijgen we
βπ(s)u0 (ci (s)) = u0 (ci )
p(s)
,
1+r
(3.27)
dit is de Eulervergelijking voor een Arrow-Debreu-effect voor toestand s. Hierdoor kennen we ook de stochastische Eulervergelijking voor obligaties, we kunnen het voorgaande
immers sommeren over s en bekomen dan
βE[u0 (ci (s))] = u0 (ci )
1
.
1+r
3.5. Alternatieve methoden
115
Veronderstel nu dat we over een actief beschikken dat dividenden uitbetaalt. Het actief
betaalt een dividend d(s) in toestand s. Wanneer we in een model zitten dat twee
perioden telt (op die manier is de waarde van het actief gelijk aan nul na de uitbetaling
van het dividend), dan wordt de prijs van het actief gegeven door
X p(s)
d(s).
1+r
s
q=
Gebruik makend van de Eulervergelijking voor een Arrow-Debreu-effect (3.27), kunnen
we de prijs van het actief ook als volgt schrijven
q=
X
βπ(s)
s
u0 (ci (s))
d(s).
u0 (ci )
Wanneer we de afhankelijkheid van het individu i achterwege laten, wordt dit
q=β
X
π(s)
s
u0 (c(s))
d(s),
u0 (c)
en dit kunnen we herschrijven tot de Eulervergelijking voor effecten
qu0 (c) = β
X
π(s)u0 (c(s))d(s)
s
= βE[u0 (c(s))d(s)].
De prijs van het actief wordt dus gegeven door
0
u (c(s))
q=E β 0
d(s) .
u (c)
In plaats daarvan zullen we voor een actief met een lange levensduur in een economie
met meer dan twee periodes hebben
0
u (ct+1 )
qt = E t β 0
(dt+1 + qt+1 ) ,
u (ct )
dit is een stochastische differentievergelijking in qt . Wanneer we itereren, bekomen we
het volgende
0
u (ct+1 )
(dt+1 + qt+1 )
qt = Et β 0
u (ct )
0
0
u (ct+1 )
u (ct+2 )
= Et β 0
dt+1 + Et+1 β 0
(dt+2 + qt+2 )
u (ct )
u (ct+1 )
0
0
0
u (ct+1 )
u (ct+2 )
u (ct+2 )
= Et β 0
dt+1 + Et+1 β 0
dt+2 + Et+1 β 0
qt+2
u (ct )
u (ct+1 )
u (ct+1 )
116
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
0
0
u0 (ct+1 )
u0 (ct+1 )
u (ct+2 )
u0 (ct+1 )
u (ct+2 )
= Et β 0
dt+1 + β 0
Et+1 β 0
dt+2 + β 0
Et+1 β 0
qt+2
u (ct )
u (ct )
u (ct+1 )
u (ct )
u (ct+1 )
0
u0 (ct+1 ) u0 (ct+2 )
u0 (ct+1 ) u0 (ct+2 )
u (ct+1 )
dt+1 + β 0
β
dt+2 + β 0
β
qt+2
= Et β 0
u (ct )
u (ct ) u0 (ct+1 )
u (ct ) u0 (ct+1 )
0
0
0
u (ct+1 )
2 u (ct+2 )
2 u (ct+2 )
= Et β 0
dt+1 + β
dt+2 + β
qt+2
u (ct )
u0 (ct )
u0 (ct )
" 2
#
0
X u0 (ct+s )
u
(c
)
t+2
= Et
βs 0
dt+s + β 2 0
qt+2
u
(c
)
u
(c
)
t
t
s=1
..
.
"
= Et
T
X
u0 (ct+T )
u0 (ct+s )
dt+s + β T 0
qt+T
βs 0
u (ct )
u (ct )
s=1
#
..
.
"
→ Et
#
0
u
(c
)
t+s
βs 0
dt+s ,
u (ct )
s=1
∞
X
merk op dat wegens de toreneigenschap Et [Et+1 [Y ]] = Et [Y ] geldt en dat we gebruik
gemaakt hebben van de transversale voorwaarde om de eindvoorwaarde te elimineren.
Volgens Becker (2008) is de transversale voorwaarde voor een oneindig optimalisatieprobleem de randvoorwaarde die een oplossing bepaalt voor de eerste orde voorwaarden
van het probleem samen met de beginvoorwaarde. De transversale voorwaarde vereist
dat de actuele waarde van de toestandsvariabele naar nul convergeert als de planningshorizon naar oneindig gaat. Concreet betekent dit dus lim qt+T = 0. De eerste orde
T →∞
voorwaarden samen met de transversale voorwaarden zijn voldoende om een optimum
in een concaaf optimalisatieprobleem te identificeren.
Volledig analoog aan het bovenstaande (met β = 1) vinden Cao and Wei (2000b) dat de
prijzen van effecten op tijdstip t gegeven worden door de Eulervergelijking
" ∞
#
X U 0 (cτ , τ )
Xt = Et
Dτ ,
0 (c , t)
U
t
τ =t+1
(3.28)
met U 0 (cτ , τ ) de eerste afgeleide van de nutsfunctie naar consumptie c. Zo is de prijs van
een willekeurig effect gelijk aan de som van de verwachte dividenden (Dt ), verdisconteerd
aan het stochastisch marginale tarief van substitutie.
In evenwicht compenseren de financi¨ele en de goederenmarkt elkaar, zodat de totale
consumptie gelijk is aan de dividenden gegenereerd uit het risicovol aandeel. Er geldt
dus ct = δt , waarbij ct staat voor de consumptie en δt voor de dividenden van het aandeel.
Daardoor is de prijs op tijdstip t van een voorwaardelijke vordering met payoff qT op een
3.6. Conclusie
117
toekomstig tijdstip T , voorgesteld door Ct (t, T ), gelijk aan
Ct (t, T ) =
1
U 0 (δt , t)
Et [U 0 (δT , T )qT ],
∀t ∈ (0, T ).
(3.29)
Deze gelijkheid wordt verkregen uit (3.28) door slechts twee tijdstippen te beschouwen,
t en T , en DT = qT te stellen.
In het bijzonder is de evenwichtsprijs op tijdstip t van een risicoloze obligatie die ´e´en
eenheid van consumptiegoederen betaalt op tijdstip T (dit is qT = 1 in (3.29)) en niets
op alle andere tijdstippen gelijk aan
B(t, T ) =
1
U 0 (δ
t , t)
Et [U 0 (δT , T )],
∀t ∈ (0, T ).
Voorwaardelijke vorderingen op basis van een weervariabele kunnen dus gewaardeerd
worden via uitdrukking (3.29) ´e´enmaal de voorkeuren van de agent, het dividendproces
en het weerproces gespecifieerd zijn.
Het is duidelijk dat de aanpak via maximalisering van het verwachte nut in de literatuur
vaak wordt voorgesteld. Het nadeel is echter dat nutsfuncties niet voor elke belegger
hetzelfde zijn. Nutsfuncties zijn immers veel te afhankelijk van de voorkeur en zijn gevoelig aan de keuze van de risico-aversie parameter. Daarnaast is het ook onmogelijk om
te bepalen welke nutsfuncties er in de praktijk gebruikt worden.
3.6
Conclusie
In dit hoofdstuk hebben we besproken hoe de prijs van een temperatuurderivaat bepaald kan worden. We hebben gezien dat het Black-Scholes-Merton-model in dit geval
niet bruikbaar is aangezien de markt voor de temperatuur incompleet is. Deze markt
is incompleet omdat de temperatuur(index) niet kan worden opgeslagen en dus geen
verhandelbaar goed is. Omdat er in de praktijk toch een markt bestaat voor temperatuurderivaten, moeten er methoden bestaan om deze producten te prijzen. De drie
meest gebruikte methoden zijn historical burn analysis, indexmodellering en dagelijkse simulatie. HBA prijst de derivaten aan de hand van de gemiddelde payoff van de
contracten in de afgelopen n jaar. De derivaten worden dus gewaardeerd op basis van
de payoff die in het verleden zou verkregen zijn. Omdat dit een zeer simpele methode
is, hebben we ook eens de prijs van een fictieve calloptie berekend. Hiertoe maakten we
gebruik van de Belgische temperatuurgegevens.
Een nog steeds eenvoudige, maar iets nauwkeurigere aanpak is deze via indexmodellering.
118
Hoofdstuk 3. Temperatuurderivaten prijzen
Hier gaat men de gebruikte temperatuurindex modelleren via parametrische verdelingen.
Om de prijs van het temperatuurderivaat te bepalen, moeten de waarden van de index
willekeurig uit de verdeling getrokken worden. Via deze indexwaarden kunnen vervolgens de payoffs berekend worden. Om de prijs van het derivaat te kennen, moet het
gemiddelde van de payoffs genomen worden en dit resultaat moet men vervolgens verdisconteren.
De meest nauwkeurige methode om temperatuurderivaten te prijzen is deze via dagelijkse simulatie. In dit geval gaat er een model opgesteld worden dat de temperatuur
beschrijft op een dagelijkse basis. Zoals we in Hoofdstuk 2 reeds gezegd hebben, zijn
er twee methoden om de gemiddelde dagtemperatuur te modelleren. Dit kan via een
discreet (econometrische modellen) of via een continu (stochastische differentiaalvergelijking) proces. Op basis van ´e´en van de econometrische modellen die we in Hoofdstuk 2
voor de Belgische temperatuur hebben opgesteld, hebben we aangetoond hoe een optie
kan geprijsd worden via discrete dagelijkse simulatie. In het geval van continue dagelijkse simulatie veronderstellen we dat de temperatuur kan gemodelleerd worden via een
mean-reverting Hull-White stochastische differentiaalvergelijking. We hebben eerst
aangenomen dat deze differentiaalvergelijking gedreven wordt door een Brownse beweging en nadien hebben we verondersteld dat ze gedreven wordt door een L´evy-proces.
Aan de hand van deze stochastische differentiaalvergelijkingen hebben we dan wiskundige
formules om de futureprijs en de prijs van een calloptie te bepalen, opgesteld. Nadien
hebben we kort besproken hoe we de prijsformules nog wat scherper kunnen stellen.
Dagelijkse simulatie laat immers toe om weersvoorspellingen in de prijsformules te integreren en zo de prijs van een weerderivaat te verbeteren.
Dit waren de drie meest voorkomende methoden om temperatuurderivaten te prijzen. Er
zijn echter ook nog vele alternatieve methoden om derivaten in een incomplete markt te
prijzen. Deze methoden kunnen aangepast worden om temperatuurderivaten te prijzen, aangezien de markt voor temperatuurderivaten een incomplete markt is.
Wij
hebben twee van deze methoden uitgebreider besproken, de indifference valuation
approach en de equilibrium valuation method. Beiden maken gebruik van nutsfuncties en stellen het maximaliseren van het verwachte nut tot doel.
Bijlage A
Anderstalige samenvatting
For certain organizations or individuals there is a financial risk associated with adverse
or unexpected weather conditions. This means that the weather becomes an additional
concern for risk managers. However, in the late nineties, the financial market has thought
of a solution: weather derivatives. A derivative is a financial product that derives its
value from another, underlying asset. So the payoff of weather derivatives will be linked
to the weather. This thesis deals with temperature derivatives in particular, so the
underlying asset of these products is the temperature, or more precisely the temperature
index (HDD, CDD, CAT and PR).
To price a temperature derivative we need to know the temperature dynamics, which we
capture in a model. There are two approaches to model the temperature. The first one
uses discrete time models and the second approach makes use of continuous time models.
The discrete approach specifies an econometric model, while the continuous time models
for the temperature are expressed in the form of a stochastic differential equation.
In this thesis we started by giving the definition of some basic econometric models
and stochastic differential equations, as to understand the temperature models that are
specified in the literature. To this end we deal with the AR, MA, ARMA, OrnsteinUhlenbeck, Hull-White,. . . processes.
Next we have given three examples, three models that are proposed in the literature to
model the temperature. The first model, by Campbell and Diebold, is an example of a
discrete, econometric model. This model specifies both conditional mean dynamics and
conditional variance dynamics of daily temperature, see (2.4).
The second model is the famous Alaton-model. This continuous time model uses a meanreverting Ornstein-Uhlenbeck process (2.6) to model the temperature. The Benth-model
uses the same Ornstein-Uhlenbeck process for the temperature, but the seasonality and
119
120
Bijlage A. Anderstalige samenvatting
variance are modelled differently.
We contributed to the class of discrete time models by specifying two econometric models
for the Belgian temperature, based on temperature data for the period 01/01/1981 31/12/2010. These temperature data show the presence of seasonality and a (possible)
trend, which we model by two different approaches, resulting in two different models.
Our first approach is to model the seasonality and trend using the difference operator ∆
which is defined as
∆Yt = Yt − Yt−1 ,
where Yt denotes the temperature at day t. Linear trends can be eliminated by applying
∆ once. Seasonal effects of order s can be eliminated by applying the difference operator
of order s, ∆s Yt = Yt − Yt−s . This approach leads us eventually to an ARMA(1,5) model
for the time series ∆∆365 Yt . The first model for the Belgian temperature is therefore
given by
Yt =1.8097Yt−1 − 0.8097Yt−2 + Yt−365 − 1.8097Yt−366 + 0.8097Yt−367 + ut − 0.8138ut−1
− 0.2544ut−2 + 0.0168ut−3 + 0.0184ut−4 + 0.0331ut−5 ,
where u denotes white noise. For daily data it is more generally accepted to model the
trend and seasonality using a Fourier series. We specify a Fourier series for the Belgian
temperature data, using the R2 and AIC value of the specified model. We obtain the
following specification of the trend and seasonality
fs = a +
8 X
i=1
2πs
18πs
2πs
cs,i sin i
+ cc,i cos i
+ cs,9 sin
.
365
365
365
The second model for the Belgian temperature is therefore given by
8 X
2πt
2πt
18πt
+ cc,i cos i
+ cs,9 sin
Yt =a +
cs,i sin i
365
365
365
i=1
(A.1)
+ θ + α1 Yt−1 + α2 Yt−2 + ut + β1 ut−1 + β2 ut−2 ,
of which the values for the parameters can be found in Table 2.1.
Besides temperature modelling we also discuss pricing of temperature derivatives. It
is almost standard procedure to talk about the Black-Scholes-Merton model when one
wants to price financial derivatives. But this famous model cannot be used to price temperature derivatives, because the weather market is incomplete. However, there exist a
few well discussed approaches to price temperature derivatives.
One of these techniques is historical burn analysis (HBA). HBA uses the average of the
121
payoffs of the past n years for the specified contract to specify the price of the derivative.
This pricing method only uses historical data and is very simplistic. We applied this
HBA technique to the Belgian temperature data to price a specific call option.
Another approach to price temperature derivatives is index modelling. This method
models the temperature index with parametric distributions. To price a certain derivative, one should arbitrarily draw index values from the distribution and use this value
to calculate the payoffs. Finally, the average of these payoffs is taken and this value is
discounted.
The most accurate method is the daily simulation approach. To perform this pricing
method one needs a temperature model. As already said, there exist two kinds of models,
discrete and continuous time models.
As an own contribution we demonstrate how derivatives can be priced using a discrete
time model such as (A.1). For a continuous time model (e.g. based on a mean-reverting
Hull-White stochastic differential equation), we develop the pricing formulas of various
temperature derivatives. First we present the formulas when the stochastic differential
equation is driven by a Brownian motion. Next we present the same formulas using a
stochastic differential equation but now driven by a L´evy process. We also discuss shortly
how to integrate weather forecasts in the pricing formulas obtained by the continuous
model. These three approaches are commonly used, but there also exist a few alternative
methods.
The alternative methods are designed to price derivatives in incomplete markets. The
weather market is incomplete. Hence, these methods can be adapted to price temperature derivatives. We have discussed two of these approaches, the indifference valuation
approach and the equilibrium valuation method. Both methods use utility functions and
their goal is to maximize the expected utility of a market participant.
122
Bijlage A. Anderstalige samenvatting
Bijlage B
R-code
B.1
Algemene eigenschappen van de tijdreeks
library(forecast)
library(fma)
mydata = read.table("temperatuurgegevens.txt", header=TRUE)
show(mydata)
summary(mydata)
temp<-mydata[,7]
temperatuur<-ts(temp,frequency=365, start=c(1981,1))
plot.ts(temperatuur)
temperatuurzondertrendenseizoen<-diff(diff(temperatuur,lag=365))
plot.ts(temperatuurzondertrendenseizoen)
Acf(temperatuurzondertrendenseizoen,plot=T, main="correlogram")
pacf(temperatuurzondertrendenseizoen,plot=T, main="partieel correlogram")
Acf(temperatuurzondertrendenseizoen,plot=T,lag.max=800)
B.2
Differentie-operator
## SARIMA-model geeft error
mymodel<-arima(temperatuur,order=c(0,1,7),seasonal=c(0,1,1))
## probeer een ARMA-model voor temperatuurzondertrendenseizoen
mymodel<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(0,0,7))
mymodel
123
124
Bijlage B. R-code
Acf(mymodel$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel1<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,1))
mymodel1
Acf(mymodel1$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel1$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel2<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,2))
mymodel2
Acf(mymodel2$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel2$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel3<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(2,0,2))
mymodel3
Acf(mymodel3$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel3$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel4<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,3))
mymodel4
Acf(mymodel4$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel4$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel5<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,4))
mymodel5
Acf(mymodel5$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel5$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel6<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,5))
mymodel6
Acf(mymodel6$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel6$res,lag=20,type="Ljung-Box")
## vanaf ARMA(1,6) geen significante bijdrage meer
mymodel7<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,6))
B.3. Fourierreeks
mymodel7
Acf(mymodel7$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel7$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel8<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,7))
mymodel8
Acf(mymodel8$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel8$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel9<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,8))
mymodel9
Acf(mymodel9$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel9$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel10<-arima(temperatuurzondertrendenseizoen,order=c(1,0,9))
mymodel10
Acf(mymodel10$res,plot=T,main="correlogram residuen")
B.3
Fourierreeks
oneyear<-rep(1:365,30)
D<-365;sp<-2*pi*oneyear/D
fouriermodel1<-lm(temperatuur~oneyear)
plot(1:D,fouriermodel1$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
##schatten van signaal
AIC(fouriermodel1)
summary(fouriermodel1)
fouriermodel2<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp))
plot(1:D,fouriermodel2$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel2)
AIC(fouriermodel2)
125
126
Bijlage B. R-code
fouriermodel3<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp))
plot(1:D,fouriermodel3$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel3)
AIC(fouriermodel3)
fouriermodel4<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp))
plot(1:D,fouriermodel4$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel4)
AIC(fouriermodel4)
fouriermodel5<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp))
plot(1:D,fouriermodel5$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel5)
AIC(fouriermodel5)
fouriermodel6<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp))
plot(1:D,fouriermodel6$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel6)
AIC(fouriermodel6)
fouriermodel7<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp))
plot(1:D,fouriermodel7$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel7)
## cos(3sp) toevoegen niet significant, laat weg.
AIC(fouriermodel7)
fouriermodel8a<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
B.3. Fourierreeks
127
+sin(3*sp)+cos(3*sp) + sin(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel8a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel8a)
AIC(fouriermodel8a)
fouriermodel8aa<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp) + sin(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel8aa$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel8aa)
AIC(fouriermodel8aa)
fouriermodel8ab<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)+sin(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel8ab$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel8ab)
AIC(fouriermodel8ab)
## uitlaten van niet significante sin en cos levert niet onmiddellijk
## beter model.
## R^2 en AIC zakken licht
## als we beslissen om volgende sin en cos term mee te nemen,
## laat ook voorgaande staan.
fouriermodel8b<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+sin(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel8b$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel8b)
AIC(fouriermodel8b)
fouriermodel8ba<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+sin(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel8ba$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel8ba)
AIC(fouriermodel8ba)
128
Bijlage B. R-code
fouriermodel9<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel9$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel9)
AIC(fouriermodel9)
fouriermodel9a<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp))
plot(1:D,fouriermodel9a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel9a)
AIC(fouriermodel9a)
fouriermodel10<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp))
plot(1:D,fouriermodel10$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel10)
AIC(fouriermodel10)
fouriermodel10a<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+sin(4*sp)+sin(5*sp))
plot(1:D,fouriermodel10a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel10a)
AIC(fouriermodel10a)
fouriermodel10b<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+sin(4*sp)+sin(5*sp))
plot(1:D,fouriermodel10b$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel10b)
AIC(fouriermodel10b)
fouriermodel11<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp))
plot(1:D,fouriermodel11$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
B.3. Fourierreeks
129
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel11)
AIC(fouriermodel11)
fouriermodel11a<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp))
plot(1:D,fouriermodel11a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel11a)
AIC(fouriermodel11a)
fouriermodel12<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp))
plot(1:D,fouriermodel12$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel12)
AIC(fouriermodel12)
fouriermodel13<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp))
plot(1:D,fouriermodel13$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel13)
AIC(fouriermodel13)
fouriermodel14<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp))
plot(1:D,fouriermodel14$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel14)
AIC(fouriermodel14)
fouriermodel15<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
130
Bijlage B. R-code
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp))
plot(1:D,fouriermodel15$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel15)
AIC(fouriermodel15)
fouriermodel16<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp))
plot(1:D,fouriermodel16$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel16)
AIC(fouriermodel16)
fouriermodel16a<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp))
plot(1:D,fouriermodel16a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel16a)
AIC(fouriermodel16a)
fouriermodel17<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp))
plot(1:D,fouriermodel17$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel17)
AIC(fouriermodel17)
fouriermodel17a<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp))
plot(1:D,fouriermodel17a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel17a)
AIC(fouriermodel17a)
B.3. Fourierreeks
131
fouriermodel18a<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp)+sin(9*sp))
plot(1:D,fouriermodel18a$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel18a)
AIC(fouriermodel18a)
fouriermodel18aa<-lm(temperatuur~sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp)+sin(9*sp))
plot(1:D,fouriermodel18aa$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel18aa)
AIC(fouriermodel18aa)
fouriermodel18b<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+sin(9*sp))
plot(1:D,fouriermodel18b$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel18b)
AIC(fouriermodel18b)
fouriermodel19<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp)+sin(9*sp)+cos(9*sp)
+sin(10*sp)+cos(10*sp)+sin(11*sp))
plot(1:D,fouriermodel19$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel19)
AIC(fouriermodel19)
fouriermodel20<-lm(temperatuur~oneyear+sin(sp)+cos(sp)+sin(2*sp)+cos(2*sp)
+sin(3*sp)+cos(3*sp)+sin(4*sp)+cos(4*sp)+sin(5*sp)+cos(5*sp)+sin(6*sp)
+cos(6*sp)+sin(7*sp)+cos(7*sp)+sin(8*sp)+cos(8*sp)+sin(9*sp)+cos(9*sp)
132
Bijlage B. R-code
+sin(10*sp)+cos(10*sp)+sin(11*sp)+cos(11*sp)+sin(12*sp)+cos(12*sp)
+sin(13*sp)+cos(13*sp)++sin(14*sp)+cos(14*sp)+sin(15*sp)+cos(15*sp))
plot(1:D,fouriermodel20$fit[1:D],type="l",xlab="s",ylab="verwachte
temperatuur",main="Patroon Seizoenen")
summary(fouriermodel20)
AIC(fouriermodel20)
## residuen= temperatuur-fs
restemp<-ts(fouriermodel18aa$res,frequency=365,start=c(1981,1))
plot.ts(restemp)
Acf(restemp,plot=T, main="correlogram")
Acf(restemp,plot=T, main="correlogram",lag.max=800)
pacf(restemp,plot=T,main="partieel correlogram")
pacf(restemp,plot=T,main="partieel correlogram",lag.max=800)
## model voor residuen
mymodel<-arima(restemp,order=c(3,0,0))
mymodel
Acf(mymodel$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel1<-arima(restemp,order=c(1,0,0))
mymodel1
Acf(mymodel1$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel1$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel2<-arima(restemp,order=c(2,0,0))
mymodel2
Acf(mymodel2$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel2$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel3<-arima(restemp,order=c(4,0,0))
mymodel3
Acf(mymodel3$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel3$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel3a<-arima(restemp,order=c(5,0,0))
B.4. Prijzen op basis van discrete dagelijkse simulatie
133
mymodel3a
Acf(mymodel3a$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel3a$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel4<-arima(restemp,order=c(0,0,12))
mymodel4
Acf(mymodel4$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel4$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel5<-arima(restemp,order=c(1,0,1))
mymodel5
Acf(mymodel5$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel5$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel6<-arima(restemp,order=c(2,0,2))
mymodel6
Acf(mymodel6$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel6$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel7<-arima(restemp,order=c(2,0,3))
mymodel7
Acf(mymodel7$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel7$res,lag=20,type="Ljung-Box")
mymodel8<-arima(restemp,order=c(4,0,1))
mymodel8
Acf(mymodel8$res,plot=T,main="correlogram residuen")
Box.test(mymodel8$res,lag=20,type="Ljung-Box")
B.4
Prijzen op basis van discrete dagelijkse simulatie
fs<-function(d){
sp<-2*pi*d/365;
z <- 10.597201-2.572994*sin(sp)-7.375602*cos(sp)
134
Bijlage B. R-code
+0.397405*sin(2*sp)-0.136062*cos(2*sp)-0.066995*sin(3*sp)
+0.044629*cos(3*sp)+0.250385*sin(4*sp)+0.012405*cos(4*sp)
+0.029808*sin(5*sp)+0.254952*cos(5*sp)+0.184267*sin(6*sp)
-0.077406*cos(6*sp)+0.078660*sin(7*sp)-0.185825*cos(7*sp)
-0.206164*sin(8*sp)+0.006139*cos(8*sp)-0.126467*sin(9*sp);
z
}
y<-fs(121:273);y
index<-vector()
for (i in 1:1000){
s<-simulate(mymodel6, nsim=365, future=TRUE, seed=i)
x<-s[121:273]
v<-x+y
cat<-sum(v)
index[i]<-cat
}
index
for(i in 1:1000){
if(index[i]-2500<=0){
index[i]=0
}else{
index[i]=(index[i]-2500)*20
}
}
index
mean(index)
Bijlage C
Figuren
Figuur C.1: Correlogram van de residuen van het gefitte MA(7)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
135
136
Bijlage C. Figuren
Figuur C.2: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,1)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
Figuur C.3: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,2)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
137
Figuur C.4: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(2,2)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
Figuur C.5: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,3)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
138
Bijlage C. Figuren
Figuur C.6: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,4)-model voor de tijdreeks
∆∆365 Yt .
Figuur C.7: Correlogram van de tijdreeks restemp.
139
Figuur C.8: Partieel correlogram van de tijdreeks restemp.
Figuur C.9: Correlogram van de residuen van het gefitte AR(5)-model voor de tijdreeks
restemp.
140
Bijlage C. Figuren
Figuur C.10: Correlogram van de residuen van het gefitte ARMA(1,1)-model voor de tijdreeks restemp.
Bibliografie
P. Alaton, B. Djehiche, and D. Stillberger. On modelling and pricing weather derivatives.
Applied Mathematical Finance, 9(1):1–20, Februari 2002.
A.K. Alexandridis and A.D. Zapranis. Weather Derivatives: Modeling and Pricing
Weather-related Risk. Springer-Verlag, New York, 2013.
R. A. Becker. Transversality condition. In S. N. Durlauf and L. E. Blume, editors, The
New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Basingstoke, 2008.
J.S. Benth and F.E. Benth. Stochastic modelling of temperature variations with a view
towards weather derivatives. Applied Mathematical Finance, 12(1):53–85, 2005.
J.S. Benth and F.E. Benth. The volatility of temperature and pricing of weather derivatives. Quantitative Finance, 7(5):553–561, 2007.
J.S. Benth and F.E. Benth. Weather derivatives and stochastic modelling of temperature.
International Journal of Stochastic Analysis, 2011 Article ID 576791:21 pages, 2011.
doi: 10.1155/2011/576791.
J.S. Benth and F.E. Benth. A critical view on temperature modelling for application in
weather derivatives markets. Energy Economics, 34(2):592–602, 2012.
B.M. Bibby and M. Sørensen. Martingale estimation functions for discretely observed
diffusion processes. Bernoulli, 1(1/2):17–39, 1995.
T. Bollerslev and J.M. Wooldridge. Quasi-maximum likelihood estimation and inference
in dynamic models with time-varying covariances. Econometric Reviews, 11(2):143–
172, 1992.
A. Brix, S. Jewson, and C. Ziehmann. Weather derivative modelling and valuation: A
statistical perspective. In Robert S. Dischel, editor, Climate Risk and the Weather
Market, chapter 8, pages 127–150. Risk Books, June 2002.
141
142
Bibliografie
P.L. Brockett, M. Wang, and C. Yang. Weather derivatives and weather risk management. Risk Management and Insurance Review, 8(1):127–140, 2005.
P.L. Brockett, L.L. Golden, M. Wen, and C.C. Yang. Pricing weather derivatives using
the indifference pricing approach. North American Actuarial Journal, 13(3):303–315,
2009.
R. Caballero, S. Jewson, and A. Brix. Long memory in surface air temperature: Detection, modeling, and application to weather derivative valuation. Climate Research, 21
(2):127–140, 2002.
S.D. Campbell and F.X. Diebold. Weather forecasting for weather derivatives. American
Statistical Association, 100(469):6–16, 2005.
M. Cao and J. Wei. Pricing the weather. Risk, 13(5):67–70, 2000a.
M. Cao and J. Wei. Equilibrium valuation of weather derivatives. Working paper,
University of Toronto & Queen’s University, Canada, May 2000b.
R. Cont and P. Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall/CRC,
London, 2004.
C. Croux. Time series analysis. Cursusnota’s statistiek voor actuari¨ele wiskunde, Vrije
Universiteit Brussel, Etterbeek, 2013.
M. Davis. Pricing weather derivatives by marginal value. Quantitative Finance, 1(3):
305–308, 2001.
U. Einmahl. Stochastische processen. Cursusnota’s stochastische processen, Vrije Universiteit Brussel, Etterbeek, 2012.
E. Goetghebeur. Notes for analysis of continous data. Cursusnota’s data-analyse, Universiteit Gent, Gent, 2011.
D.N. Gujarati and D.C. Porter. Basic Econometrics. McGraw-Hill, Irwin, fifth edition,
2009.
C. Harris. The valuation of weather derivatives using partial differential equations.
Master’s thesis, University of Reading, Reading, September 2003.
S. Jewson and M. Zervos. The Black-Scholes equation for weather derivatives, August
2003. URL http://ssrn.com/abstract=436282.
Bibliografie
143
R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, and M. Denuit. Modern Actuarial Risk Theory:
Using R. SpringerVerlag, Berlin Heidelberg, second edition, 2009.
I. Karatzas and C. Kardaras. The num´eraire portfolio in semimartingale financial models.
Finance and Stochastics, 11(4):447–493, 2007.
R.E. Lucas. Asset prices in an exchange economy. Econometrica, 46(6):1429–1445, 1978.
G. Meissner and J. Burke. Can we use the Black-Scholes-Merton model to value temperature options? International Journal of Financial Markets and Derivatives, 2(4):
298–313, 2011.
M. Obstfeld. Optimal consumption in a frictionless world: Complete markets. Cursusnota’s Economics 202A 7, University of California, Berkeley, 2009.
M. Ritter, O. Musshoff, and M. Odening. Meteorological forecasts and the pricing of
temperature futures. The Journal of Derivatives, 19(2):45–60, 2011.
F. Schiller, G. Seidler, and M. Wimmer. Temperature models for pricing weather derivatives. Quantitative Finance, 12(3):489–500, 2012.
W. Schoutens. L´evy-Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives. John Wiley
& Sons Ltd, West Sussex, England, 2003.
S.E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. SpringerVerlag, New York, 2004.
W. Smith. On the simulation and estimation of the mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck
process, 2010.
URL http://commoditymodels.files.wordpress.com/2010/02/
estimating-the-parameters-of-a-mean-reverting-ornstein-uhlenbeck-process1.
pdf.
S. Swisher. Discussion section 4 (asset pricing with complete and incomplete markets): Answer key. Cursusnota’s Econ 714: Macroeconomic theory II, University
of Wisconsin-Madison, Madison, 2012.
L. Valdivieso, W. Schoutens, and F. Tuerlinckx. Maximum likelihood estimation in
processes of Ornstein-Uhlenbeck type. Statistical Inference for Stochastic Processes,
12(1):1–19, 2009.

Uitwerkingen van 21 januari 2014

Uitwerkingen - rwi

x - Lauran van Oers

Wiskundige Technieken 2 Uitwerkingen Tentamen

Oplossen - Project X 2002

Huygens en de brachistochroon van Bernoulli

: Mathematics B2: Newton

college 4a

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde

pilot examen