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土木計画学
第９回（１２月７日）
最尤推定法
担当：榊原弘之
母集団：直接すべて調べることができない集団
母数：
母集団の特性値
（平均，分散など）
正確に
真の母数を
知ることはできない
標本：調査可能な，限られた数の集団
母集団の一部
統計的推計手法：標本から母数を推定するための手法
不偏推定量
期待値が母数に一致するような推定量
＝何度も標本抽出して当該の値を求めることを多数回
繰り返せば目的とする母数に近づいてゆくような推定量
xi

x
母平均の不偏推定値＝標本平均
n
母分散の不偏推定値
S
2
(x  x)


i
n 1
2
点推定
母数をある一つの値として推定する
最尤推定法（Maximum Likelihood Estimation）
観測値：x1,x2,…,xn
母数がθの場合に，観測値の組(x1,x2,…,xn)が
実現する確率
L( )  f ( x1; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; ) 
母数θのもっともらしさ．．．尤度関数
n
 f ( xi ; )
L( )
i 1
L(1)  L( 2 )
 2 よりも  1 の方が標本が生起する確率が大きい
 1 の方が母数として現実的（もっともらしい）
「もっともらしさ」が最大となる母数θを求める（尤度関数の最大化）
最尤推定法
対数尤度関数
 n
 n


lnL( )   ln
f ( xi ; )  
ln f ( xi ; ) 


 i 1
 i 1

実際は対数尤度関数を最大化

ポアソン過程
ベルヌーイ試行を連続な時間・空間上に拡張
１．事象は時間軸，空間軸上の任意の点で発生
２．事象の生起は他の区間に対して独立
３．微小区間Δtにおける生起確率はΔtに比例する．
時間tにおける事象の生起回数の分布
(t ) x  t
p ( X t  x) 
e
x!

t
平均発生率
時間tにおける平均的な発生数
指数分布
事象が初めて発生するまでの時間の分布
確率密度関数
分布関数
fT (t )  et
FT (t ) 1  et
ベルヌーイ試行とポアソン過程の関係
・ベルヌーイ試行では一定の長さを持った区間における
発生数は1回限り
・区間が無限小になると，ベルヌーイ試行はポアソン
過程と一致
平均再起時間


t e
 t
事象同士の平均的な時間間隔
dt 


  e
 t 
 te 0
t 0
t 0



e t dt
t 0

 1  t 
  e 
 
0
1


 t
dt
確率密度関数の関数形により，ポアソン過程に対しては
最尤推定法が容易に適用できる．
より一般的な確率分布の場合は，解析的に
（方程式を解くことにより）最尤推定法を実施することは
難しい場合もある．
そこで，数値的解法により近似的に推定する方法が用いられる．
待ち行列理論 Queuing Model
……
行列部分
サービス部分
待ち行列の例
高速道路の料金所，銀行のATM，駅の窓口
レストラン．．．
窓口が一つで，到着・出発確率一定の場合
i  
(i  1)
p0*

 1

i  
(i  0)
n

p n*  n

 
1  
 
行列長さの期待値
  
L
np 
n n 1  
  
n 1
n 1



*
n

n
n


 
  

 1   n   1  

2
 
   n 1         
1  
 


リトルの公式
平均滞留時間
L
1
W 
  

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