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土木計画学
第３回：１０月１９日
調査データの統計処理と分析２
担当：榊原弘之
Sample
Population
母集団の平均値（母平均） 
母集団の分散（母分散）  2
母集団中のある値の比率（母比率） p
標本平均 X
標本分散（不偏分散） U 2
標本中の比率 P
？わからない！
標本調査において，母集団の平均や分散などを直接知ることは
できない．
標本から母集団のパラメータを推定するための手法
統計的推定手法
（Statistical estimation）
標本調査における利用法
・必要な標本数の算出
・推定値の信頼区間の算定
統計的手法を用いれば，標本調査でも十分実用に耐える
結果を出すことができる．
統計理論の復習
収集されたデータから特性を明らかにする．
度数分布表(Frequency table)
データが取り得る値をいくつかの区間に分けておき（カテゴライズ），
各カテゴリーに該当するデータの個数（度数）を表にまとめる．
ヒストグラム：度数分布を度数を高さとする長方形で表したグラフ
(Histogram)
15
身長
140cm～150cm
150cm～160cm
160cm～170cm
170cm～180cm
180cm～190cm
度数
2
8
18
10
3
度
数
10
5
0
150.00
160.00
170.00
v a r 00001
180.00
代表値の例
標本平均(sample
mean)
n
X

f i xi
i 1
n
xi (i  1,2,..., n) i 番目の観測値
fi
i 番目の観測値の度数
パーセンタイル(percentile)
P( X  Qp )  p
メディアン（中央値）(median)m
P( X  m)  0.5
50パーセンタイル値
モード(mode)（最頻値）
度数が最大となる観測値
Q0 .5
散布度（dispersion）の指標
2
f
{
x

x
}
 i i
2
分散
sx 
n
(variance)
2
f
x
 i i
 fi xi
 fi 2

2
x
x
n
n
n
2乗の平均－平均の2乗
標準偏差
(standard deviation)
sx  sx2
変動係数
(coefficient of variation)
sx
CV 
x
複数の調査項目間の相関の有無の検討
クロス集計表（p80）
共分散
(covariance)
sxy 
  fij{xi  x}{ y j  y}
i
相関係数
(correlation coefficient)
j
n
r
s xy
sx s y
大数の法則(law of large numbers)
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均
n
 xi
x  i 1
n
は，nが大きくなれば，限りなくμに近づく．
観測数を増やせば，より正確な期待値の推定が可能となる．
後の統計的推測に重要
さいころの目の標本平均の推移
（エクセルによる計算）
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196
回数が増えるほど，母平均3.5に収束
正規分布（ガウス分布）(normal distribution)
2

1
(x  ) 

exp  
確率密度関数 p X ( x) 
2
2
2 


期待値

N ( , )
2
 x2 
p X ( x) 
exp   
2
 2
1
期待値0，分散1の場合
標準正規分布 N (0,1)
正規分布の
分布関数の値
分散
x   を正規分布表に当てはめる

配布資料参照
0.4
N (0,1)
0.3
確率密度関数
0.2
0.1
-4
-2
2
4
1
0.8
0.6
分布関数
0.4
0.2
-4
-2
2
4
正規分布が重要な理由
１．観測誤差の分布がよく適合する．
平均を中心に，左右に同じように
広がっている
例１：部材の強度
平均よりも強い部材，弱い部材が存在
例２：離散選択モデル
（個人が複数の選択肢から一つを選択する過程をモデル化）
誤差が正規分布
プロビットモデル
正規分布が重要な理由
２．中心極限定理(central limit theorem)
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均
n
 xi
i

1
x
n
は，nが大きくなれば，正規分布N(μ,σ2/n)に従う．
X1,X2,…,Xnがどのような確率分布に従う場合も成立する．
後の統計的推測に重要
母集団：直接すべて調べることができない集団
母数：
母集団の特性値
（平均，分散など）
正確に
真の母数を
知ることはできない
標本：調査可能な，限られた数の集団
母集団の一部
統計的推計手法：標本から母数を推定するための手法
確率的推定の前提：大数の法則と中心極限定理
大数の法則
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均は，nが大きくなれば，
限りなくμに近づく．
観測数を増やせば，より正確な期待値の推定が可能となる．
中心極限定理
同一の確率分布（期待値μ，標準偏差σ）に従うn個の
確率変数X1,X2,…,Xnの標本平均は，nが大きくなれば，
正規分布N(μ,σ2/n)に従う．
X1,X2,…,Xnがどのような確率分布に従う場合も成立する．
不偏推定量
期待値が母数に一致するような推定量
＝何度も標本抽出して当該の値を求めることを多数回
繰り返せば目的とする母数に近づいてゆくような推定量
xi

x
母平均の不偏推定値＝標本平均
n
母分散の不偏推定値
S
2
(x  x)


i
n 1
2
点推定
母数をある一つの値として推定する
最尤推定法
観測値：x1,x2,…,xn
母数がθの場合に，観測値の組(x1,x2,…,xn)が
実現する確率
L( )  f ( x1; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; ) 
母数θのもっともらしさ．．．尤度関数
n
 f ( xi ; )
L( )
i 1
L(1)  L( 2 )
 2 よりも  1 の方が標本が生起する確率が大きい
 1 の方が母数として現実的（もっともらしい）
「もっともらしさ」が最大となる母数θを求める（尤度関数の最大化）
最尤推定法
対数尤度関数
 n
 n


lnL( )   ln
f ( xi ; )  
ln f ( xi ; ) 


 i 1
 i 1

実際は対数尤度関数を最大化


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