経済統計学第4回 Business Statistics

統計学
１２/６（木）
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講義全体の流れ
第１部記述統計：データの特性を記述
第２部確率論：推測統計への橋渡し
第３部推測統計：データから全体像を推測
・推測統計とは
・母集団平均の区間推定 ←今日はここ。
・母集団平均の検定
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復習：四つのキーワード
マスコミの内閣支持率調査を例にとれば、
• 母集団：日本の有権者全体
• 母集団特性値：彼らの内閣支持率
• 標本：インタビューを受けた人たち
• 標本統計量：彼らの内閣支持率
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はじめに
• 推測統計には二つの柱がある
（１）区間推定
母集団特性値（例：平均）が取り得る値の
範囲を推定する。
（２）検定
母集団特性値
⇒でも、この二つは表裏一体（←後で分る）
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前回の内容
標本平均の確率分布
X1   X n
標本平均 : X 

n
X
i
n
中心極限定理： n  X～N (  X ,
2
)
n
なお、  Xと  2は母集団平均と母集団分散。
さらに、標準化：
Z
X  X
2 n
～N (0,1)
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前回から今回へ
☆もし、確率変数ZがN(0,1)に従うならば、
• P(－1.96≦Z≦1.96)=95%
• P(Z≧1.96)=2.5%
• P(Z≦－1.96)=2.5%
⇒重要：この性質を母集団平均に関する「区
間推定」と「検定」に使う。
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区間推定 ①
母集団平均μｘの有り得そうな区間を推定
Z
X  X
Z
X  X
2 n
2 n
 1.96   X  X  1.96  2 n
 1.96   X  X  1.96  2 n

「信頼係数」 95％の X の「信頼区間」は
X  1.96  2 n   X  X  1.96  2 n
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区間推定 ②
区間推定から得られる情報
X  1.96 
2
n   X  X  1.96 
2
n
①母集団平均 X が、95%の確からしさで、
この範囲に位置すると推測できる。
②サンプルの観測数 nを増やせば、信頼
区間は狭くなる。  推測の精度が上る。
注：  2は未知である。  要修正。
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区間推定と検定の修正
母集団分散σ2の値は未知←推定してやる。
n
s2 
Z
2
(
X

X
)
 i
i 1
n 1
X  X
 n
2
これを代用して
～N (0,1)  t 
X  X
2
s n
Zを再計算。
～t n 1
この統計量は、 t - 分布に従う。
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t-分布と標準正規分布
• t-分布も正規分布も左右対称な釣鐘型。
• t-分布の方が正規分布よりも、平べったい。
• t-分布の場合、確率の分布が「自由度」に
依存する。
2.5％の臨界値は1.96ではなく、自由度に
依存。⇒t-分布表から探す。
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注：自由度について
• 標本分散（or標本標準偏差）を計算する際、
データ観測数nではなく、n－１で割った。
• 標本分散（or標本標準偏差）を推定する際、
既に標本平均が計算されている。
• このことで、n個のデータ観測値が与えてく
れる情報が１個損なわれている。
⇒だから、自由度は n－1。
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区間推定の例
• 某工場で製造中の電球の平均寿命を推定
• １０個の電球を標本調査（結果は別添）。
• 標本の平均は2,593.2時間、標準偏差は
77.48。t‐分布表より、自由度９（＝１０－１）
の時、2.5％の臨界値は2.262。
⇒信頼係数95％の区間推定を行うと、
下限：2593.2－2.262×77.48/√10=2537.78
上限： 2593.2＋2.262×77.48/√10=2648.62
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