F： エディントン近似 ２００６年１１月１３日 単位名 学部 :天体輻射論I 大学院：恒星物理学特論IV 教官名 中田 好一 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提 出。 成績は「レポート＋出欠」でつけます。 授業の内容は下のHPに掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html Ｆ．１．平面大気 全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。 Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ） （１） ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度 Ｉ に対する方程式は、ｄＩ/ｄｘ＝κＩ－ε （２） Ｘ軸に角度θを成す直線(μ＝cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。 Iλ (μ,τλ=0) τλ＝０ Ｙ Ｚ Ｘ τλ ｔ θ Iλ (μ,τλ) 直線に沿っての長さを ｔ とすると、ｄＩ/ｄｔ＝ κＩ－εｄ ｌ となる。 ｄｔ と Ｘ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄt＝ｄｘ／μ なので、書き直して μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x) 形式解 μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x) ：以下 Ｉλ 、 κλ等を Ｉ、κと省略する ｄτ＝κｄＸ とおいて、 μdI / dτ＝I－S dτは光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。 光学的深さ＝τの点で、Ｘ軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように 与えられる。 ｔ＝０ μ>0： I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－(t－τ)/μ]dt/μ = eτ/μ∫∞ τ μ>0 S(t,λ)e－t/μdt/μ μ<0：I(τ,μ)= －∫τ0S(t,λ)exp[ (τ－t)/μ]dt/μ = －eτ/μ∫τ 0 S(t,λ) e－t/μdt /μ τ =∫τ0 S(t,λ) e－(τ－t) / (－μ) dt / (－μ) ｔ μ<0 表面からの輻射強度 表面から角度θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。 I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(－τ/μ) dτ 上式を見るとＳをSource Function と呼ぶことが納得される。 S(τλ)＝Ｓ＝一定（０<τ<τo）のスラブ表面での Ｉ(τ=0 , μ) を計算すると、 I(τ=0 , μ) = (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ ＝ S[1－exp (－τo /μ) ] 自己吸収のあるスラブの表面輝度 τｏ＝0.1 τｏ＝0.5 τｏ＝1 τｏ＝2 1 θ 0.8 0.6 Ⅰ/Ｓ I(τ=0 , μ) 0.4 0.2 τo S(τ） 0 0 30 θ（° ） 60 90 線形大気の表面輻射強度 S(τ)= a + bτ I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt ＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt ＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt] ＝ a+ bμ= S(τ=μ) I(τ=0 ,μ<0) = 0 （μ＞０） （μ＜０） θ 下図で光線に沿ったτ＝１に注意 τ＝０ τ＝μ＝ｃｏｓθ τ＝１ リム・ダークニング ( limb darkening )と表面輻射強度 Ｉ（θ） θ α０ α １ 天体表面で輻射強度が鉛直方向からの角度θにより、 Ｉ（cosθ）で表されるとする。レポート問題１．１でやった 通り、Ｉ（cosθ）は星の表面輝度分布Ｆ（α）に反映される。 上の図で sin なので、 0 逆に、Ｆ（α）が求まったら、 ２ 2 F ( ) I (cos ) I 1 0 I (cos ) F ( ) F 0 1 cos 2 ところで、表面輝度分布Ｉ（cosθ）は源泉関数Ｓ（τ）と関係している。 仮に、Ｓ（τ）＝a+b・τ＋ｃ・τ２＋．．．と展開されたとすると、 1 I (cos ) S ( )e cos d cos 0 1 2 ( a b c ...)e cos d cos 0 a e dx b cos xe dx c (cos ) 0 x x 0 θ 2 0 x 2 e x dx ... a b cos 2 c (cos ) 2 (1 2 3) d (cos )3 ... ここでも逆に Ｉ(cosθ) からＳ（τ）を以下のように求め られる。 Ｉ(cosθ)＝Ａ＋Ｂ・cosθ＋Ｃ・cos２θ＋．．． τ S(τ) なら、 Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂ・τ＋（Ｃ/２）・τ２＋(D/6)・τ３＋．．． ３ 恒星大気内でＬＴＥが成立していると、源泉関数Ｓ（τν）＝Ｂ（Ｔ, ν） から、τνの深さでの温度が決まる。 結局、星の表面の輝度分布がある波長（周波数）で決まると、大気内の温度変化 がその波長での光学的深さの関数Ｔ（τν）として求まることが判った。 ４ 前頁の変換をグラフで示すと下図の Ｔ（τν）を逆に表現すると、ある周 波数（波長）での光学的深さτνが 温度Ｔの関数τν（Ｔ）として ようになる。 I(α） I(θ） 表される。が このプロセスを二つの波長λ１と λ２で繰り返して、τ１（Ｔ）と τ２（Ｔ）を得た。 ５ 0 これは、同じ温度Ｔの地点までの １ ０ １ 光学的深さが波長によって異な cosθ るためである。したがって、各波 長での吸収係数をｋ１、ｋ２とする と、 １ sinθ k1 1 T k2 2 T 線形大気のフラックス Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 +bλ/3) Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ だったから、 Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τλ=2/3) である。 温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、 だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て いると言える。 Ｉ（τ＝０） τλ＝０ ａ τλ＝μ＝ｃｏｓθ S(τ＝２/３) τλ＝１ S ０ 1/３ ２/３ １ ａ＋ｂ ａ＋ｂμ Ｆ．２． モーメント方程式 ｎ I(x,θ,φ）＝ I(x,θ） 輻射が軸対称の時、μ＝cosθとして、 Ｎ次モメント MＮ を以下のように定義する。 ＭＮ（x, λ）＝(1/4π)∫(cosθ)Ｎ I (θ, x, λ) dΩ Ω ＝(1/4π) ∫∫ (cosθ)Ｎ I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ ＝(1/2)∫μＮ I (μ, x, λ)dμ ０次モーメント θ Ｍ0（x,λ）＝ (1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ ＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ Ｘ = J （x,λ）＝ 平均輻射強度 (mean intensity) １次モーメント Ｍ1（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ ＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ = H（x,λ） エネルギーフラックス F（n, x ,λ) ＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ ＝2π∫μI(μ, x,λ) dμ＝ 4πH ( x, λ) Ｍ 2（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ ２次モーメント = (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ =K （x,λ） 光圧力 P(ν) = (4π/c)K(ν) 斜め方向の輻射方程式 Iλ (μ,τλ=0) Ｘ軸に沿って光学的深さτ を定める。μ方向の光線に 沿っては、 τλ＝０ (表面) dI ( , ) ( ) I ( , ) ( ) dt ｄｔ＝ｄX/μ ｄτ＝κｄX θ ｔ Ｘ なので、 τ dI ( , ) I ( , ) S ( ) d Iλ (μ,τλ) μdI/dτ＝I－S ( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。 ∫[μdI/dτ]dΩ/4π＝∫IdΩ/4π－ ∫ＳdΩ/4π = d[∫μIdΩ/4π]/dτ dＨλ/dτλ= Jλ – Sλ (ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分 d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ ＝∫μIdΩ/4π－∫μSdΩ/4π ∫1-1μdμ=0 に注意すると、 dK λ/dτλ= Hλ Ｆ.３. エディントン近似 （Eddington approximation） μdI/dτ＝I－S （平面近似） モーメント方程式 × ∫dΩ/4π ： dH J S d dK H d この系列はμ2 μ3 と上げても閉じない。式の数＜変数の数 × ∫μdΩ/4π ： モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。 エディントン近似 1 K J 3 エディントン近似が正確に成り立つ例 （i) 完全等方輻射 I(Ω)=Ioの場合 J=Io, Ｋ＝(1/2)∫1-1Ioμ2dμ=Io/3 =J/ 3 (ii) I(τ,λ,μ)=Io(λ)+I1(λ)μ Jλ=(1/2)∫1-1I dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)dμ=Io(λ) Hλ=(1/2)∫1-1Iμdμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μdμ＝(1/3)I1(λ) Kλ=(1/2)∫1-1Iμ2dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μ2dμ=(1/3)Io(λ) θ (iii) I(τ,λ,μ)= I+ (λ) = I‐(λ) I+ μ>0 μ<0 I‐ J=(I+ + I‐)/2 H=[I+ /2 – I‐/2]/2=(I+ – I‐)/4 K=[I+ /3+ I‐ /3]/2=J/3 ４Ｈ Ｆ．４．Rossland mean opacity κR 1 dK H dx を全波長積分、Ｋ＝∫Ｋλｄλ、Ｈ＝∫Ｈλｄλ、に対 する式に変換したい。 1 dK H dx のようにならないか？ Ｋλ ＝Jλ／３＝(1/3) Ｂλ(T)とすると、 （エディントン近似、局所熱平衡仮定） 1 dB T H 3 dx なので上の要求は、 1 dB T 1 dx d dB T dx d にしたいということである。 dB T dB T dT を考えると可能である。 それは、 dx dT dx 1 dB T dT 1 dB T 1 dB T dT dx d dT d dx dT d dx したがって、 次のような、平均κを考えると、 1 dB T d dT 1 dB T R dT d つまり 1 dB T 1 dT d R dB T dT d 以下のように初めの要求が達成される。 1 dB T dT 1 dK 1 dB T dx d 3 dx d 3 dT d dx 1 dB T dT 1 dB T 1 d K d d H d d d 3 R dT dx dx dx dx 3 R R 1 dK H R dx κＲの意味 F Fi 1 dBi x dT 1 dBi x 4 dB dT 4 4 i dx dx i dT R dT dx κＲに効くのは、κiが小さい所とΔBiが大きい所でκiが大きい所は効かない。 Ｆ∝∑ΔBi /κi＝ΔB /κＲ Bi Fi ∝ΔBi(T) /κi Bi＋ΔBi Ｆ.５. 恒星大気のエディントンモデル dH J S d （１） dK H d （２） 仮定:（a）∫Jλκλdλ＝∫ελdλ ：輻射平衡 ( Radiative Equilibrium) この仮定は（１）を dH J S J dx d H d dH dH dx d dx dx J d とすると分かるように、総フラックスＨ＝一定 を意味する。 これは、大気中では新しいエネルギー発生（核反応）が起きていないか らである。 仮定（b） Ｊλ(x)＝ Bλ(T(x)) 仮定（c ）Kλ(x)=(1/3)Jλ(x) ∫Hλｄλ＝Ｈ, ：エディントン近似 ∫Kλｄλ＝K とする。 （１）式は仮定（ａ）によって、 Ｈ(ｘ)＝Ｈｏ （２）式から、 （３） 1 dK H dx 1 dB T d 1 dT で定義されるκR＝Rosseland mean pacityを使うと dB T R d dT 1 dK 1 dJ 1 1 dB 1 dK dx d 3 dx d 3 dx d R dx d 1 dK Ho R dx （４） 平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、（３）、（４）から H(τR)=Ho＝一定 K(τR)=τRＨo+ C Ｃ＝積分定数で後で決める。 J(τR)＝S(τR)=B(τR)=３・K(τＲ)=3(HoτR+C)＝(σ/π)T4 (τR) Ｓ＝3C+3・Ho・τは、ａ＋ｂτの形なので、線形大気の結果が適用 できる。 S=a+bτの大気では、Ｆ＝π・S(τ＝2/3) ＝π・（３・Ｃ＋２・Ｈｏ） Ｈの定義から、Ｆ＝４πＨ＝４πＨ０ であるから、 Ｃ＝（2/3）Ho したがって、 Ｂ（τＲ）＝３・[（2/3）Ho+Ho・τＲ]＝３・Ｈｏ・[τR+(2/3)]=(σ/π)・Ｔ４ ここまでの結果は、エディントン近似モデルの (iii) でも考えられる。 H(τ)=Ho＝一定＝(I+ – I‐)/4 K(τ)=τＨo+ C＝(I+ + I‐)/６ を解いて、 I+ (τ) ＝２Ｈ(τ)＋３K(τ)=２ Ho ＋３(τＨo+ C) I‐(τ)＝３(τＨo+ C)－ ２ Ho 仮定 ： 表面τ＝０で、Ｉ＝Io (μ＞０) ＝0 (μ＜０) とすると、Ｃ＝(２/３)Ｈo , Io=4Ho H(τ)=Ho＝一定 K(τ)=τＨo+ (２/３)Ｈo ＝Ｈo (τ+ ２/３) で、前ページと同じになる。 I(τ)= I+ (τ) μ>0 = I‐ (τ) μ<0 エディントン近似モデル(iii) τ＝０ Io 4Ho 4Ho 4Ho 有効温度 Ｔｅ エディントンモデルに入るパラメターはＨｏだけである。 パラメターＨｏを温度で表現する為、Ｆ＝ 4πＨｏ ＝σＴe ４ で有効温度 Ｔｅ を導入する。すると、 Ｈｏ＝σＴe ４／４π J(τ)＝S(τ)=B(τ)=(３σＴe ４／４π) (τ+2/3)＝(σ/π)T4 (τ) 3 2 T ( ) 4 Te4 4 3 表面(τ＝０)温度 To はＴｅよりやや低く、 To4 = (1/2)Te4、 (To=0.84Te) また、 T(τ=2/3)＝Ｔｅ ここにも、τ=2/3 が現れている。 Ｊ，Ｈ，Ｋのτによる変化 温度Ｔのτによる変化 ４H １.５ J ３H K Te To ２H H H 0 2/3 1 2 3 0 τ 2/3 1 2 τ 表面 3 Ｆ.６. 黒体輻射スペクトルからのずれ エディントン大気からの総フラックスＦは、 Ｆ＝σTe4 であることが分かった。ここにTeは、ロスランド平均光学的深さτＲ＝2/3の ところでの大気温度である。 もし、全波長でκλ＝κ0=一定（グレイ）であったら、全波長でτλ＝τＲである 。したがってτλ＝2/3になる深さはτＲと共通で、温度はTeである。 グレイ大気からのフラックスは Ｆλ＝πＢ(Te) この大気のスペクトルは温度Teの黒体輻射スペクトルとなる。 通常は波長毎にκλが異なるから、τλ＝κλ・Ｌλ＝2/3 となる深さＬλが、 したがって波長毎に覗き込む温度Ｔ（Ｌλ）が異なる。このために波長毎に異な る温度の黒体フラックスが出る。これが、星からのスペクトルが黒体輻射スペ クトルと異なる原因である。 κ κλが一定 κ λ τλ＝０ κλが波長で変化 λ τλ＝０ Ｔ０ Ｔ１ Ｔ２ τR＝2/3 τλ＝2/3 λ λ τλ＝2/3 Ｆλ Ｆλ πＢλ（Ｔｅ） λ λ Ｆλ＝π・Ｂλ[Ｔ（τλ=2/3）] なので、 Ｔ（τλ=2/3）を決める必要がある。 大気中の温度はロスランド平均光学的深さτＲにより、 T ( R ) 4 3 2 Te 4 R 4 3 で与えられる。したがって、Ｔ（τλ=2/3）をＴ（τＲ）で表せばよい。 右図から分かるように R R R L R なので、 2 R この式にτλ＝2/3を代入して R 3 Ｌ τλ＝κλ・Ｌ τＲ＝κＲ・Ｌ これをさらに２行目のＴ（τＲ）の式に代入して 2 4 2 R 4 3 2 1 R 4 2 R 4 T ( ) T ( R ) Te Te 1 3 3 4 3 3 2 結局 κλ ＝ κＲ Ｆλ ＝πＢλ [Te] κλ < κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T>Te] κλ > κＲ Ｆλ ＝πＢλ [T<Te] ただ し、 1 T Te 1 2 1 R 4 Ｆ．７．温室効果 地球表面の温度は基本的には、 太陽輻射による熱流入（主に可視域）＝地表からの熱放射（主に赤外域） で決まる。 Ｆ（λ） 太陽 地球 可視 赤外 F λ σＴｇ４ 地表 この時の熱平衡の式は、地表温度＝Ｔｇとおくと、 Ｆ（太陽）＝σＴｇ４ である。 （１）単層モデル 地球表面は赤外で不透明な（τ＞１）大気に覆われている。 すると輻射の収支は前図から下図のように修正される。 Ｔａ＝大気温度、 Ｔｇ＝地表温度、 Ａ＝可視光反射率 である。 Ｆ（λ） 太陽 Fo 地球 λ A・Fo (1- A)・Fo 大気 可視 Ta 赤外 2(1- A)・Fo 地表 Tg (1- A)・Fo 単層モデルの仮定 １）大気は一様な温度Ｔａを持つ。 ２）太陽光は可視、地上からは赤外のみ放射 ３）大気は可視で透明、赤外は不透明で黒体 ４）可視太陽光の地表反射率＝Ａ To=太陽有効温度＝５７８０Ｋ、 Ｒｏ＝太陽半径、 Ｄ＝１ＡＵ＝２１５Ｒｏ Fo=σTo4(Ro/D)2 ： 太陽から地上に向かう総フラックス（真上からとして） σTa4 ＝大気から上方向、宇宙空間への赤外放射＝下方向、地表への赤外放 σTg4 ＝ 地表から大気への赤外放射 Fo=σTa4 ＋ＡＦo なので、 ：大気の上での輻射収支 Ｆo＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦo ：大気と地表の間での輻射収支 太陽 Fo σTa4 AFo Fo=σTa4 ＋ＡＦo 大気 Fo σTa4 σTg4 大地 AFo Ｆo＋ σTa4 ＝ σTg4 ＋ＡＦo σTg4 ＝２σTa4 （１－A)Ｆo＝σTa4 太陽表面でのフラックス＝σTo４、 太陽半径＝Ro、 地球太陽距離＝D とおくと、 Fo=σTo４（Ro/D)２ であるから、上の式に代入すると、 Ｔａ＝ To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4 , Ｔｇ＝２ 1/4 Ｔａ Ａ ０．１ ０．３ ０．５ ０．７ ０．８ ０．８５ ０．９ Ｔａ ３８４ ３６０ ３３１ ２９２ ２６４ ２４５ ２２２ Ｔｇ ４５５ ４２８ ３９４ ３４７ ３１３ ２９２ ２６３ このように、大気が毛布の役をするので地上温度は大気の1割以上高温 となる。 単層モデルでのTgとTaとの関係が、エディントン大気でのTeとToとの関係と同 じであるのは面白い。 レポート問題Ｆ 出題１１月１３日 提出１１月２０日 レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。 次ページの表は太陽表面の輝度分布である。表を見ると分かるように、表面輝度は 中央から縁に向かって低下する。これを太陽のリムダークニングと呼ぶ。 Ｆ．１ λ＝0.3737μｍのＩ（α）を横軸α/α０、縦軸Ｉ（W/m2/μm)のグラフにせよ。 次に与えられた表のαをcosθに直し、横軸cosθ、縦軸Ｉ（W/m2/μm)のグラ フにせよ。 Ｆ．２． Ｉ（cosθ）をa+b×cosθで近似するaとｂを定めよ。 Ｆ．３． 他波長についても Ｉλ（cosθ）=aλ+bλ×cosθ で近似し、全８波長に対し aλ と bλ を求めよ。 Ｆ．４． Ｆ３より、Ｓ（τλ）＝aλ+bλ×τλ だが、ＬＴＥを仮定すると、 Ｓ（τλ）＝Ｂ（λ、Ｔ）なので、 Ｂ（λ、Ｔ）＝aλ+bλ×τλ Ｉ（θ） θ α α０ Ｆ．４．（続き） この式は、波長λでの光学的深さがτλの所での温度がＴという意味である。 したがって、大気内で温度Ｔの地点までの光学的深さτλ（波長毎に異なる） を定める式と読み替えられる。 Ｔ＝６０００Ｋまでの光学的深さτλ（Ｔ＝６０００Ｋ）を８波長に対して求め表とグラ フで表せ。グラフの横軸は波長λ（μｍ）、縦軸はlog10τλとする。 大気内、Ｔ＝６０００Ｋまでの幾何学的深さをＬとすると、τλ＝<κλ>Ｌ、よって グラフは平均吸収係数の相対的変化を表している。 κλのピークと谷は何を表していると思うか？ 黒体輻射の輻射強度は、下の式を使え。Ｔ４＝（Ｔ/１０４Ｋ）である。 8 1.191 10 B ( , T ) 5 m 1 1.4388 1 exp T m 4 W/m 2 /m λ（μｍ） α 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 0.3737 4.198E+07 4.173E+07 4.096E+07 3.962E+07 3.761E+07 3.476E+07 3.068E+07 2.440E+07 6.027E+06 0.4260 4.476E+07 4.452E+07 4.380E+07 4.253E+07 4.061E+07 3.784E+07 3.381E+07 2.744E+07 7.875E+06 0.5010 4.022E+07 4.003E+07 3.944E+07 3.841E+07 3.686E+07 3.461E+07 3.135E+07 2.621E+07 1.045E+07 0.6990 2.473E+07 2.465E+07 2.441E+07 2.398E+07 2.331E+07 2.232E+07 2.084E+07 1.840E+07 1.032E+07 λ（μｍ） α 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 0.8660 1.547E+07 1.543E+07 1.531E+07 1.510E+07 1.476E+07 1.426E+07 1.351E+07 1.224E+07 7.969E+06 1.2250 7.692E+06 7.678E+06 7.633E+06 7.552E+06 7.425E+06 7.230E+06 6.928E+06 6.412E+06 4.596E+06 1.6550 3.595E+06 3.590E+06 3.576E+06 3.549E+06 3.507E+06 3.441E+06 3.337E+06 3.153E+06 2.482E+06 2.0970 1.598E+06 1.596E+06 1.591E+06 1.581E+06 1.565E+06 1.539E+06 1.499E+06 1.426E+06 1.160E+06 太陽表面での８つの 波長の輝度分布。 α＝太陽中央から の角距離（分） 太陽半径＝１６分角 輝度 Ｉλの単位は Ｗ/ｍ２/μｍ 16′ α
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