Law and Economics 2 (7)
Bargaining Game and Nash
Bargaining Solution
今日の講義の目的
(1) 協力ゲーム(Cooperative Game)という考え方を
理解する
(2) ナッシュ交渉解(Nash Bargaining Solution)とい
う概念を理解する
(3) 交渉力と割引率の関係を理解する
法と経済学２
1
非協力ゲームの例(囚人のジレンマ)
C
D
C
(3,3) (0,4)
D
(4,0) (1,1)
問題:ナッシュ均衡は？
法と経済学２
2
囚人のジレンマと協調
現実には囚人のジレンマの状況でも協調行動がし
ばしば見られる。なぜか？
(1) 人間は合理的でない
(2) Playerの利得が第３者に分かる金銭的な(経済的
な)利益のみに依存していない。→囚人のジレン
マの状況になっていない。
(3) 短期的な利益を犠牲にしても長期的な利益のた
めに協調する→繰り返しゲーム
法と経済学２
3
(2)の発想:囚人のジレンマ修正版
C
D
C
(3,3)
(0,2)
D
(2,0)
(1,1)
問題:ナッシュ均衡は？
法と経済学２
4
(3)の発想:繰り返しゲーム
同じゲームが将来にわたって長期的に繰り返される。
→将来の利益のために短期的な利益を犠牲にする可
能性がある
(有限繰返ゲーム)繰り返しの回数が有限
(無限繰返ゲーム)繰り返しの回数が無限
法と経済学２
5
有限繰り返しゲーム
同じゲームをＮ回繰り返す。
各回ごとに利得が発生。
各Playerは、そのＮ回分の合計を最大化するよう
に行動する。
これ以降囚人のジレンマゲームが繰り返される状
況のみを考える。
法と経済学２
6
後方帰納法
第Ｎ期→将来はないから当然双方Ｄを取る
第Ｎ-１期→１期だけ将来はあるが、今期の行動と次期
の行動は無関係。従って今期の利得のみを最大化
する⇒当然双方Ｄを取る
第Ｎ-２期→２期将来はあるが、今期の行動と次期の行
動、次-期の行動は無関係。従って今期の利得のみ
を最大化する⇒当然双方Ｄを取る
・・・
第１期⇒同じ理由で双方Ｄを取る
～Ｎがどんなに大きくても協調できない
法と経済学２
7
どんな場合に協調できるか？
(1) 不完備情報ゲ-ム→合理的でない振りをする誘因
(2) ステージゲームでナッシュ均衡が複数ある。
→より劣る均衡をpunishmentとして使う
(3) 無限繰り返しゲ-ム
法と経済学２
8
どんな場合に協調できるか？
A
B
C
A
(5,5)
(0,0)
(0,6)
B
(0,0)
(4,4)
(0,0)
C
(6,0)
(0,0)
(1,1)
問題:ナッシュ均衡は？
法と経済学２
9
２期繰り返したら？
A
B
C
A
(5,5)
(0,0)
(0,6)
B
(0,0)
(4,4)
(0,0)
C
(6,0)
(0,0)
(1,1)
以下の状況は部分ゲーム完全均衡として実現できる
第１期は(A,A), 第２期は、第１期に(A,A)が実現したら
(B,B), それ以外なら(C,C)
法と経済学２
10
無限繰り返しゲーム
同じゲームを無限回繰り返す。
各回ごとに利得が発生。
その割引現在価値を最大化する
今期の利得+δ(次期の利得)+δ2(次-期の利得)+δ3 (次-期の利得)+...
δ∈(0,1):割引因子
法と経済学２
11
割引因子の意味
(1) 利子率を反映 δ=1/(1+r) r:利子率
(2) 主観的割引率を反映:将来をどれぐらい軽視する
かの指標、その主体がどれぐらい忍耐強いかを表
す指標(忍耐強いほどδは大きい)
(3) ゲ-ムが次の期まで続く確率δ
⇒実際には無限にゲ-ムが続く確率はほぼゼロでも
かまわない～見かけほど非現実的な状況ではない
法と経済学２
12
部分ゲーム完全均衡
以下の戦略はδ≧1/2である限り、部分ゲ-ム完全均
衡となる。
各playerはそれ以前に２人とも一度もDを取ってい
ないときCを取り、これ以外の場合にはDを取る。
法と経済学２
13
部分ゲーム完全均衡であることの確
認
今まで２人とも一度もＤを取っていないとする。
ライバルの戦略を所与として、自分が(前のシート
の)戦略に従うと利得は3/(１－δ)。
戦略を変えてＤを取ると4+δ/(1－δ) 。
３/(1－δ)≧4+δ/(１－δ)⇔ δ≧1/3
～将来がそれなりに重要であれば協調行動を取る
誘因がある。
法と経済学２
14
繰り返しゲームのロジックが使われる
例
・国際協調、国際法
・継続的取引、効率賃金仮説
・定期市
・ソフトロー、慣習
・カルテル、談合
法と経済学２
15
これ以外の部分ゲーム完全均衡
以下の戦略はδによらず、部分ゲーム完全均衡となる。
各playerは常にＤを取り続ける。
⇒長期的な関係にあれば常に協調が実現するわけで
はない。
法と経済学２
16
非協力ゲームの例(囚人のジレンマ)
C
D
C
(3,3) (-1,4)
D
(4,-1) (0,0)
問題:無限繰り返しゲ-ムを考えよ。
両者が永遠にCをとる状況が均衡になる条件を求めよ
法と経済学２
17
非協力ゲームの例(囚人のジレンマ)
C
D
C
(3,3) (-1,6)
D
(6,-1) (0,0)
問題:無限繰り返しゲームを考えよ。
両者が永遠にCをとる状況が均衡になる条件を求めよ
法と経済学２
18
どんなときに協調が難しいか？
(1) 情報のギャップ
(2) Player間の非対称性、格差（単なる異質性では
ない）
(3) 衰退産業
(4) 将来の新規参入の可能性
(5) 需要規模の変動
法と経済学２
23
非協力ゲーム(noncooperative game)
各人が自分の利得を最大化するように行動
→協力できるのは、(ライバルの戦略を所与として)
協力行動が自己の利得を最大化するときのみ
⇒非協力ゲ-ムは常に協力できない状況を記述する
ゲームではなく、誘因もないのに協力できること
を前提としないゲ-ムのこと
法と経済学２
20
協力ゲーム(cooperative game)
協力を前提としたゲーム
⇒協力を前提としてしまったら後は何を分析するの
か？
⇒協力の結果得られた果実がどのように分配される
かという問題が残っている
法と経済学２
21
問題の例
登場人物AとB。
2人が協調しなければAは5の利得、Bは10の利得を
得る。
2人が協調すれば2人あわせて25の利得を得る。
⇒協調の結果25の利得を、2人でどう分けることに
なるか？
法と経済学２
22
ナッシュ交渉解
登場人物AとB。
2人が協調しなければＡはVaの利得、BはVbの利得を
得る。(Va,Vb)を威嚇点(threat point)という。
2人が協調すれば2人あわせてYの利得を得る。
⇒協調の結果Aの利得Ua、Bの利得Ubはどうなるか？
ナッシュ交渉解 (Nash Bargaining Solution)
Ua=0.5(Ｙ-Va-Vb)+Va
Uｂ=0.5(Ｙ-Va-Vb)+Vb
⇒二人が協調して得られる利益を折半する。
法と経済学２
23
ナッシュ交渉解
問題 Bは10のコストで部品を作り、Aは10のコスト
で組み立てて30で売ることが出来る。BはAに売れ
ないと利益ゼロ。Aは部品を内製化することもでき
る。このとき総費用は25。
ナッシュ交渉解でのAとBの利得は？
法と経済学２
24
一般化ナッシュ交渉解
登場人物AとB。
２人が協調しなければAはVaの利得、BはVbの利得を
得る。２人が協調すれば２人あわせてＹの利得を得る。
⇒協調の結果Aの利得Ua、Bの利得Ubはどうなるか？
一般化ナッシュ交渉解(Generalized Nash Bargaining
Solution)
Ua=α（Ｙ-Va-Vb）+Va
Uｂ=(1- α)（Ｙ-Va-Vb）+Vb
α:Aの交渉力(bargaining power)を表す。これが大きい
ほどＡの交渉力が強い（Bの交渉力が弱い）。
法と経済学２
25
交渉力に関する２つのストーリー
組み立てメーカーAと部品メーカーB。
ストーリー１・Bは10のコストで部品を作り、Aは
10のコストで組み立てて40で売ることが出来る
Aの交渉力α→1
⇒Aの利益→20
ストーリー２・Bは10のコストで部品を作り、Aは
10のコストで組み立てて30で売ることが出来る。
Aは部品を内製化することもできる。このとき総
費用は20+ε
Aの交渉力α=0.5、 ε→０
⇒Aの利益→20
２つのストーリーは本質的に同じ。
法と経済学２
26
交渉力に関する仮定
経済学の論文では当事者の交渉力が等しいと仮定す
ることが多い
大国と小国の交渉、元請けと下請けの交渉、雇用
者と労働者の交渉、貸し主と借り主の交渉
両者の交渉力が等しいなんて仮定は非現実的でナン
センス←これはたいていは誤解
ストーリー２のように交渉力が対等でも威嚇点にお
ける利得の関係によっては一方は弱い立場に立た
される状況を記述できる
法と経済学２
27
交渉力に関する仮定
逆に経済学の論文では一方の交渉力がゼロと仮定す
ることも時々ある
ストーリー２のように威嚇点における利得の関係に
よっては一方は弱い立場に立たされる状況を、い
ちいち威嚇点の状況を記述しないで簡単にAが
100％の交渉力を持つと記述しているだけのこと
が多い
法と経済学２
28
非協力ゲームに基づく交渉のモデル化
登場人物、AとB。全体で１の利益をわける。交渉がまと
まらなければともにゼロの利得
⇒ナッシュ交渉解ならともに0.5の利得。
Aが先にAの取分をBに提案し、Bが受け入れたらゲー
ム終了。Bが受け入れなければ今度はBがAの取分
を提案。Aが受け入れたらゲーム終了。Aが受け入れ
なければ今度はAがBの取分を提案。
player iの割引因子（discount factor)
δi∈（0,1）(i=A,B)
法と経済学２
29
割引因子の意味
(1) 利子率を反映
δ=1/(1+r) r:利子率
(2) 主観的割引率を反映:将来をどれぐらい軽視するか
の指標、あるいはその主体がどれぐらい忍耐強いか
を表す指標(忍耐強いほどδは大きい)
(3) 状況が変わって１の利益が得られなくなってしま
う確率
⇒基本的には繰り返しゲームで学んだδの解釈と同じ
法と経済学２
30
均衡解(3期モデル)
Aが提案し、Bが提案し、Aが提案してまとまらなけれ
ばゲ-ム終了とする。
後方帰納法で解く。
第３期 Ya=1.
第２期 Aは拒否すると次の期1の利得。今期δの利得
がなければ拒否⇒Ｂの提案はYa=δ
第１期 Bは拒否すると次の期1-δの利得。今期δ(1-δ)
の利得がなければ拒否⇒Aの提案はYa=1-δ(1-δ)=1δ+δ２
法と経済学２
31
非協調ゲ-ムの解(５期モデル)
Aが提案し、Ｂが提案し、Aが提案、Ｂが提案し、Aが提
案してまとまらなければゲ-ム終了とする。後方帰納
法で解く。
第５期 Ya=1.
第４期 Aは拒否すると次の期1の利得。今期δの利得
がなければ拒否⇒Ｂの提案はYa= δ
第３期 Ｂは拒否すると次の期1-δの利得。今期δ(1-δ)
の利得がなければ拒否⇒Aの提案はYa=1-δ( 1-δ)=
１-δ+δ２
法と経済学２
32
非協調ゲ-ムの解(５期モデル)
第２期 Aは拒否すると次の期１－δ(1－δ)の利得。今
期δ(１－δ(1－δ))の利得がなければ拒否⇒Ｂの提案
はYa= δ(1－δ(１－δ))
第１期 Ｂは拒否すると次の期１－ δ(１－δ(１－δ))の利
得。今期δ(１－δ(１－δ(１－δ)))の利得がなければ拒
否⇒Aの提案はYa= １－δ(１－δ(１－δ ( 1－δ)))=１
－δ+δ２－δ３+δ４
法と経済学２
33
非協調ゲ-ムの解(n期モデル)
Aが提案し、Ｂが提案し、Aが提案、。。。、Ｂが
提案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了
とする（合計n期。n奇数）。後方帰納法で解く。
第ｎ期 Ya=1.
第n-1期 Ｂの提案はYa=δ
第n-2期 Aの提案はYa= 1-δ+δ２
第n-3期 Ｂの提案はYa=δ(1-δ(1-δ))
第n-4期 Aの提案はYa=１-δ+δ２ - δ３+δ４
法と経済学２
34
非協力ゲ-ムの解(n期モデル)
Aが提案し、Bが提案し、Aが提案、。。。、Bが提
案し、Aが提案してまとまらなければゲ-ム終了と
する(合計n期。n奇数)。後方帰納法で解く。
第1期 Aの提案はYa=1-δ+δ2-δ3+δ4 -δ5+δ6-...+δn-1
n→∞ Ya→1/(１+ δ)
δ→1 Ya→1/2～ナッシュ交渉解と同じ
⇒ナッシュ交渉解の非協力ゲ-ムによる基礎付け
法と経済学２
35
均衡解（無限期間バ-ジョン）
今期はAが提案。まとまらなければ来期はBが提案。
均衡においてAがYa=xの提案で交渉がまとまると
する。Off pathでBはYa=yの提案をし、交渉がま
とまるとする。このとき
x=1－yかつ1-x=δ(1－y)となるはず。この連立
方程式を解くとx=1/(1+δ)となる。
法と経済学２
36
非協力ゲームの解の特徴
・nが小さくδが1に近い
⇒最後に提案できる者がかなり有利
・もしAとBの割引因子が違っていたら？
⇒割引因子の小さい方(より忍耐強くない方)の取り
分が小さくなる
～交渉が長引くとBに不利になる状況ではBは実質
的に交渉力を失ってしまう
法と経済学２
37
割引因子と交渉力の例:
バックホ-事件
・即時取得～動産は原則として占有した時点で所有
権が発生
・盗品の場合には例外規定が
法と経済学２
38
登場人物
丙
今の占有者
乙
甲
元の所有者
公の市場から購入
法と経済学２
39
関連する法律の整理
丙が平穏かつ公然に占有をはじめ、善意無過失なら、
丙は即時にこの動産の所有権を取得し、その結果
甲は所有権を失う(民法192条:即時取得)。
甲は乙に対して債務不履行あるいは不法行為に基づい
て損害賠償請求をする権利(民法415条あるいは709
条)または不当利得の返還を請求する権利(民法704
条)を有する。
盗難ないし遺失の日から２年間は、甲は丙に対してこ
の動産の引き渡しを請求できる(民法193条)。
丙が一定の要件を満たす時、甲はその取得に対して丙
の取得価格を補償しなければならない(民法194条)。
法と経済学２
40
バックホー事件
(1) 甲がバックホー(農業機械)を盗まれる。
(2) 甲が盗まれたバックホ-を丙が使っているのを発見。
丙は乙から購入。乙は行方不明。
(3) 甲が丙を訴える。
１審:甲は取得価格を丙に払え。丙は訴えが提起され
てから現在までの使用料を甲に支払え。
２審:1審と同じ。使用料の単価は減額。
丙は返さないと今後も使用料⇒たまらず甲に返却。
最高裁:使用料の支払不要。甲は丙の取得価格を支払
え。
法と経済学２
41
バックホー事件での最高裁の判断
(1) 下級審の判例変更～使用料不要
(2) 大審院の判例変更
(従来の判例) 丙が任意に甲に盗品を引き渡したら丙
は甲に対して取得価格の補償を請求できない
もしこの最高裁判決がなかったら
丙は返却しないと時間がたつにつれどんどん損害が
増える。
⇒実質的に丙の交渉力を著しく損ねる。
⇒194条による盗品取得者の保護を有名無実化する。
法と経済学２
42
交渉力のコントロ-ル
裁判所が決めるル-ル⇒当事者の交渉力に影響
（例）バックホー事件
当事者間の交渉で同じ事ができないか？
（例）遅延損害金の設定。これを十分に大きく設定すれ
ば遅延損害金の発生する当事者の交渉力を弱めら
れる
⇒第９講、特定履行の回に議論する
法と経済学２
43
Shapley value bargaining solution
当事者が３人以上いたら交渉解はどうなるのか？
ナッシュ交渉解をそのまま使う
Ua=1/3(Y-Va-Vb -Vc)+Va
問題点
３人集まらないと協調できないならこれでいいかも
しれない。しかし２人集まればある程度の利得が
あげられるときには、その程度に依存して交渉の
結果得られる利得も変わるはず
⇒シャプレバリュー交渉解
法と経済学２
44
シャプレバリュー交渉解
Ua=1/6{2(Ｙ-Vbc)+(Vab-Vb)+(Vac-Vc)+2Va}
Vij: iとjのペアで得られる利得
３人をランダムに並べる。新たに加わった人が追加
的な利益を全て取る。その利益の期待値がシャプレ
バリュー。
Ub=1/6{2(Ｙ-Vac)+(Vab-Va)+(Vbc-Vc)+2Vb}
Uc=1/6{2(Ｙ-Vab)+(Vac-Va)+(Vbc-Vb)+2Vc}
法と経済学２
45
シャプレバリュー交渉解の使用例
・組立メーカーは複数の部品メーカーを使い分ける
・政府と複数の民間企業が交渉
・企業が立地に関して複数の自治体を天秤にかける
・３党体制(あるいはそれ以上の政党数)での連立交渉
・多国間交渉、多国間協定
・売手市場、買手市場の労働市場
法と経済学２
46
問題
A,B,CとPlayerは３人。３人組むと12の利益。A１人
なら３の利益。B,C単独ではゼロの利益。２人が組
んでも利益を増やすことは出来ない。
問題:シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。A,B,C
の利得は？
法と経済学２
47
問題
A,B,CとPlayerは３人。３人組むと15の利益。A,Cと
も１人なら3の利益。B１人なら0の利益。AとCが
組んでも6の利益。A,B あるいはB,Cの２人が組む
と12の利益。
問題:シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。A,B,C
の利得は？
法と経済学２
48
© Copyright 2024 ExpyDoc
