点推定と区間推定

点推定と区間推定
2006/8/3
ろぎ
1
推定の種類
統計学的推定
抽出した標本値から母集団を推定すること
（第5章）
統計学的推定は次の二つに分けられる
点推定
1個の値を推定
例：「母平均は○○である」
区間推定
範囲を推定
例：「母平均は○○と××の間にある」
2
不偏推定量(1)
2
母平均μや母分散σ のような母数θがXや
2
( X 1 , X 2 の期
,..., X n )
S のような統計量Θ=Θ
待値として推定されるとき、すなわち
θ＝E[Θ]
が成り立つとき、Θを母数θの不偏推定
量という
3
不偏推定量(2)
母平均μの不偏推定量＝
X
n
2
S
母分散σ の不偏推定量＝
n 1
2
n 1 2
E[ S ] 

n
2
(5.13)式
n
式変形して、 E[
S2]   2
n 1
4
不偏推定量の例(例題6.1)
LLサイズの卵10個の重さ(単位ｇ)
65.1 67.5 68.4 70.1 72.2 68.7 69.3 70.6 67.1
LLサイズの卵全体を正規母集団と考え、これらの標
本値から母平均、母分散の不偏推定量を求める
標本の大きさは10なので、
標本平均　x  69.05　標本分散　s 2  4.1485
母平均μの不偏推定量  x  69.05
2
母分散σ の不偏推定量 
n
10
S 2   4.1845  4.649
n 1
9
5
最尤推定
母集団分布の形がわかっているがその
母数が未知数のときに、標本値から母
数を決めようというもの
大きさnの標本 x1 , x2 ,..., xn を無作為抽出
したとき、これは母集団分布に従う確
率変数 X 1 , X 2 ,..., X n がそれぞれ x1 , x2 ,..., xn
の値をとったことを意味している
6
最尤推定の例(1)(p.137例1)
ポアソン母集団から大きさ3の独立な標
本を無作為に抽出した値が x1 , x2 , x3
この標本値から母平均μを推定する
ポアソン分布の式(4.14)式より
7
最尤推定の例(2)(p.137例1)
この値は標本平均 x と一致した（今回は）
8
用語とか
最尤推定量
最尤推定によって得られた推定値
尤度関数
推定値を得るために考えた関数L
最尤推定量と不偏推定量は一致すると
きもあるが、一般には一致しない
9
区間推定
点推定による母数の推定量はあくまで
近似値
「○○％の確率で母平均はこの範囲に
ある」といったように、範囲を推定す
る方法を区間推定と言う
10
区間推定の方法
1. 1に近い確率γを選ぶ(ex.99%, 95%,…)
2. 1 と 2を、未知母数θが 1    とな
2
る確率がγとなるように標本値から決定す
る
用語
γ
…信頼水準、信頼率
…信頼限界
1,  2
区間1 , 2  …信頼区間
11
母分散が既知のときの母平均の推定(1)
正規母集団から大きさnの標本を無作為
抽出して、標本空間 X を作ったとする
母分散がわかっているときに、母平均
の信頼区間を信頼水準γで推定
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母分散が既知のときの母平均の推定(2)
 に従う(命題5-1)
は 
標準化変換(4.31)をほどこすと
Z  X     n 　は N 0,1 に従う
z=0を中心に図6-1の陰影部の面積がγに
なるようなz1がわかれば、μの信頼区間
は次式から決まる
標本平均 X
N , 2 / n
 z1  Z 
n

X     z
1
信頼区間
13
母分散が未知のときの母平均の推定(1)
F分布を用いる
標本平均 X 、標本分散 S 2に対して
2




X  n 1 X   S
は自由度 1, n  1 のF分布に従う(命題5-7)
2
図6-2の陰影部の面積がγになるようなx1
の値がわかれば、μの信頼区間は次式か
ら決まる

x1  X  (n  1) X  

2
S2
信頼区間
14
母分散が未知のときの母平均の推定(2)
t分布を用いる
標本平均 X 、標本分散 S 2に対して


T  n 1 X   S
は自由度 n  1 のt分布に従う(命題5-9)
図6-2の陰影部の面積がγになるようなt1
の値がわかれば、μの信頼区間は次式か
ら決まる
 t1 


n 1
X    t1
S
信頼区間
15
母分散の推定
標本分散 S 2に対して
Z  nS 2  2
は自由度 n  1 の x 分布に従う(命題5-4)
図6-4の陰影部の面積がγになるように
x1,x2をとれば、  の信頼区間は次式か
ら決まる
2
2
x1  nS   x2
2
2
信頼区間
16
Questions?
17

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