完全数に関する様々な擬似概念について

完全数に関する
様々な擬似概念について
白柳研究室
5508057 髙木美羽
研究の背景
未解決問題
完全数 (例) 6 : 1+2+3=6
（自然数nがあるとする。nのn以外の約数を𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑟 とする。
𝑛 = 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑟 となる n を完全数という。)
積完全数
交互k乗完全数
t-完全数
完全数に関する擬似概念とする
目的（完全数の定義をもとに）
• 積完全数・・・その数自身を除く約数の積で成り立つ
か。
(例) 8 : 1 ∗ 2 ∗ 4 = 8
• 交互k乗完全数・・・その数自身を除く約数をk乗したも
のを差と和を交互に行い成り立つか。
(例) k=2のとき
6 : 12 − 22 + 32 = 6
• t-完全数・・・その数自身を除く約数の和に+tしたもの
が成り立つか。(0-完全数は従来の完全数）
(例) t=1 のとき
16 :1 + 2 + 4 + 8 +1 = 16
実験の方法
• 数式処理システムMaple 14を用いて、完全数
の擬似概念を出力する。
• 時間短縮のため、範囲を設定する。
積完全数実験結果
範囲
(0,200)
6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77,
82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 125, 129, 133, 134,
141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194
(201,400)
201, 202, 203, 205, 206, 209, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 221, 226, 235, 237, 247,
249, 253, 254, 259, 262, 265, 267, 274, 278, 287, 291, 295, 298, 299, 301, 302, 303,
305, 309, 314, 319, 321, 323, 326, 327, 329, 334, 335, 339, 341, 343, 346, 355, 358,
362, 365, 371, 377, 381, 382, 386, 391, 393, 394, 395, 398
(401,600)
403, 407, 411, 413, 415, 417, 422, 427, 437, 445, 446, 447, 451, 453, 454, 458, 466,
469, 471, 473, 478, 481, 482, 485, 489, 493, 497, 501, 502, 505, 511, 514, 515, 517,
519, 526, 527, 533, 535, 537, 538, 542, 543, 545, 551, 553, 554, 559, 562, 565, 566,
573, 579, 581, 583, 586, 589, 591, 597
(601,800)
611, 614, 622, 623, 626, 629, 633, 634, 635, 649, 655, 662, 667, 669, 671, 674, 679,
681, 685, 687, 689, 694, 695, 697, 698, 699, 703, 706, 707, 713, 717, 718, 721, 723,
731, 734, 737, 745, 746, 749, 753, 755, 758, 763, 766, 767, 771, 778, 779, 781, 785,
789, 791, 793, 794, 799
(801,1000) 802, 803, 807, 813, 815, 817, 818, 831, 835, 838, 842, 843, 849, 851, 862, 865, 866,
869, 871, 878, 879, 886, 889, 893, 895, 898, 899, 901, 905, 913, 914, 917, 921, 922,
923, 926, 933, 934, 939, 943, 949, 951, 955, 958, 959, 965, 973, 974, 979, 982, 985,
989, 993, 995, 998
積完全数
結果からの予想
• 以下の必要十分条件が予想された。
それが証明できたので、定理の形としてまとめておく。
[定義] 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑖 を n の約数とする
𝑟
積完全数⇔ n＝Π𝑖=1
𝑑𝑖𝑘
[定理] 𝑛 = 積完全数
⇔ 素数𝑝, 𝑞が存在して 𝑛 = 𝑝𝑞 𝑝 ≠ 𝑞
または 𝑛 = 𝑝3
証明
（⇐）
n = pq のとき、n の約数は
1,p,q
1 ∗ p ∗ q = n より n = 積完全
数
n = p3 のとき、p は素因数
n の約数はそれ自身を除いて
1,p, p2
1 ∗ p ∗ p2 = n よってn は積
完全数
（⇒）
① nの素因数が1個のとき
② nの素因数が2個のとき
③ nの素因数が3個のとき
このように場合分けをすれば
証明できた。
交互ｋ乗完全数実験結果
k=
1
2
3
範囲
(0,1000)
6
交互k乗完全数となるものはk=2のときのみ出力された。
6 ∶ 12 − 22 + 32 = 6
約数をk乗させ差と和を交互に行った結果＜０となるものを考えた。
1
2
3
(0,500)
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324,
361, 400, 441, 484
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324,
361, 400, 441, 484
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, 169,
196, 225, 256, 289, 324,
361, 400, 441, 484
(501,1000)
529, 576, 625, 676, 729, 529, 576, 625, 676, 729, 529, 576, 625, 676, 729,
784, 841, 900, 961
784, 841, 900, 961
784, 841, 900, 961
k=
範囲
交互k乗完全数
結果からの予想
[定義] 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑖 をnの約数とする。
𝑟
𝑖+1 𝑘
(−1)
𝑑𝑖
𝑖=1
= kougo-k(n) とする。
• Kougo-k(n)<0の結果より以下の必要十分条件が予想
された。
それが証明できた。
よって定理の形とし、まとめておく。
[定理] ∀𝑘
kougo-k(n)< 0 ⇔ ∃𝑠, 𝑛 = 𝑠 2
t-完全数結果
ｔ＝
-2
-1
1
2
2, 4, 8, 16, 32,
64, 128, 256,
512, 1024,
2048, 4096
3, 10, 136
範囲
(1,5000)
(5001,10000)
20, 104, 464,
650, 1952
8192
t-完全数結果からの予想
• t=1のとき、以下のような必要十分条件が予
想される。
1-完全数⇔2のべき乗
⇐は等比数列により証明できた
⇒は証明するまでに至っていない
まとめ
• 積完全数と交互k乗完全数はある定理を導く
ことができた。
• t-完全数ではt=1のとき、ある予想を立てるこ
とができた。
• t=1以外でも規則性があるかどうか調べること
が今後の課題

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