「制御工学」第３回ラプラス変換ラプラス変換古典制御理論とラプラス変換ラプラス変換の諸定理ラプラス変換の定義主要な時間関数のラプラス変換線形性ラプラス変換の線形性と一意性（2015.5.1, rev.1）鹿児島大学・工・電気電子田中哲郎 1 2 古典制御理論とラプラス変換線形性（定義）定係数線形微分方程式 dn y(t) dn−1 y(t) dy(t) + a0 y(t) + an−1 + · · · + a1 dtn dtn−1 dt = bm (1.1) L(cx) = cL(x) = cy dm x(t) dm−1 x(t) dx(t) + b0 x(t) + bm−1 + · · · + b1 dtm dtm−1 dt ラプラス変換 (n ≥ m) bm sm + bm−1 sm−1 + · · · + b1 s + b0 Y (s) = X(s) sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0 F (s) = ∞ f (t) e −st 0 3 f(t)のラプラス変換時間の原点 F (s) = L {f (t)} 筆記体エルの大文字・微分 y = L(x) y= dx dt ・積分 y= ! t xdt 0 ※線形…重ね合わせの原理が成り立つ． 4 性質(a) ラプラス変換の線形性 • 定義より明らか． • 積分の線形性がそのまま引き継がれるため．時間関数 f (t) dt 線形の例・比例 y = ax L(x1 + x2 ) = L(x1 ) + L(x2 ) = y1 + y2 〈定義〉 ! y y1 = L(x1 ), y2 = L(x2 ) のとき，ラプラス変換（定義）時間関数 f (t) に対して L (2) 加法性 = bm sm X(s) + bm−1 sm−1 X(s) + · · · + b1 sX(s) + b0 X(s) 微分，積分 ↓ 代数（四則） x 線形システム c : 定数プロパー sn Y (s) + an−1 sn−1 Y (s) + · · · + a1 sY (s) + a0 Y (s) 伝達関数〈定義〉 (1) 同次性（斉次性） F (s) = …信号，変数 ○○量，○○値 ! ∞ f (t) e−st dt 0 • 定数倍，和と差は容易に処理できる．ラプラス変換・f(t)からF(s)を求めること Laplace transformation ・F(s)…ラプラス変換の結果 Laplace transform L {f (t)} = F (s) のとき L {cf (t)} = cL {f (t)} = cF (s) （定数） c: L {f1 (t)} = F1 (s), L {f2 (t)} = F2 (s) のとき L {f1 (t) ± f2 (t)} = L {f1 (t)} ± L {f2 (t)} = F1 (s) ± F2 (s) （複号同順） 5 6 ラプラス変換の一意性ただ1つに決まる〈一意性〉 F1 (s) = L {f1 (t)} , F2 (s) = L {f2 (t)} のとき，主要な時間関数のラプラス変換 F1 (s) ̸= F2 (s) ならば f1 (t) ̸= f2 (t) f (t) F (s) L f1 (t) f2 (t) 1対1の対応変数 t f (t) 単位ステップ関数 F (s) L F1 (s) ラプラス変換運用の基本方針単位インパルス関数べき関数 F2 (s) 変数 t 変数 s 変数 s ※一意性により，方程式のラプラス変換が可能になる． 7 変換表公式2) u(t) 〈定義〉 u(t) = 大きさ1 階段ヘヴィサイド関数 0, t < 0 1, t ≥ 0 2u(t) t 0 0 0 −u(t) −1 0 ! ∞ u(t)e−st dt ∞ 1 · e−st dt ← 定数1のラプラス変換 #∞ " 1 = − e−st s 0 1% $ % $ 1 −st 1 −s·0 1 = lim − e − − e = t→∞ s s s 0 p.15, 表2.1 ※ラプラス変換では，公式2) に追加ステップ関数と定数は同一視される． u(t), 1 10 t t 9 ラプラス変換運用の基本方針変換表公式1) δ(t) 単位インパルス関数〈定義〉変換表 -- 教科書p.15，表2.1 ! (1)変換／逆変換は変換表を活用 ∞ (2)定理との組み合わせ δ(t) = 公式7)∼9) (3)定義通りの積分計算 • どうしても必要な場合のみ（通常はやらない） 11 1 f (t)δ(t) dt = f (0) −∞ • 公式1)∼6)は覚える • 公式4)∼6) ! 0 1 0 = = 2 0 0 L {u(t)} ステップ関数単位 u(t) 公式2) 単位ステップ関数 u(t) 単位ステップ関数 ! 8 衝撃ディラックのデルタ関数 f (t)：任意の関数 ! ∞, 0, t=0 t ̸= 0 (2.13) f (t) = 1 のとき ! ∞ ! 1 · δ(t) dt = −∞ ∞ −∞ ← 形式的な書き方単位 δ(t) dt = 1 (2.14) 12 単位インパルス関数 δ(t) 公式6) tn （nは自然数） ※δ(t)は積分の中で意味を持つ． L {tn } = ※δ(t)は普通の関数ではない．分布（distribution），超関数（hyperfunction）〈関数列による定義〉 0 ∞ 面積 1 1 ∆ = = 面積 1 δ(t) = ∆→0 0 ∆ t 0 0 L {δ(t)} = 1 … ラプラス変換における最も基本的な時間関数 t = = 13 ! ∞ tn e−st dt #∞ ! ∞ $ "0 % n 1 − − tn−1 e−st dt − tn e−st s s 0 0 n & n−1 ' 0 L t 0! = 1 と約束 s すれば，n = 0 n n − 1 & n−2 ' · L t でも成立 s s 1 n n−1 1 & 0' ↓ · ··· L t s s s 定数1のラプラ n! 1/s ス変換に帰着 sn+1 14 定理 d) 複素領域の推移則変数 s 〈定理〉 L {f (t)} = F (s) のとき ! " L eat f (t) = F (s − a) ラプラス変換の諸定理 s→s−a 複素領域の推移則に書き換え例）公式4) → 公式7) 15 ω L {sin ωt} = 2 = F (s) s + ω2 ! " L e−at sin ωt = F (s + a) = 平行移動シフト s→s−a 公式4) → 公式7) 公式5) → 公式8) 公式6) → 公式9) 公式10)は公式7)のバリエーション ω (s + a)2 + ω 2 16