2×2分割表での独立性の検定

分割表の独立性の検定
寺尾敦
青山学院大学社会情報学部
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ここで学習すること
• テキスト第10章「カイ２乗分布」の内容から，
分割表の独立性の検定について速習する．
• このスライドで学習する内容はテスト範囲に
含まれる．第10章にあるその他の内容はテス
ト範囲から外す．
２元分割表（1/2）
• いくつかのカテゴリから構成される，２つの質
的変数（qualitative variable）．テキスト表５
（p.225）では，
– 学歴（大学卒・高校卒・小中学卒）
– 結婚に関する適応性（非常に低い・低い・高い・
非常に高い）
• 各個体について，これら２変数の測定を行い，
結果を分割表（contingency table）に整理する．
クロス表（cross table）とも呼ぶ．
２元分割表（2/2）
• ２変数間に因果関係が想定される場合には，
原因と想定される変数（例：学歴）を表の縦方
向に，結果と想定される変数（例：結婚適応
性）を横方向に配置する．
• 表の各セルには，そのカテゴリの組み合わせ
にあてはまる個体の数を記入する．これを観
測度数（observed frequency）と呼ぶ．
– 各個体は，いずれかひとつのセルに分類される．
分割表の独立性
• 表５での問題意識：学歴と，結婚に対する適
応性の間には，何らかの関係があるのか？
それとも，これら２変数は独立なのか？
• 独立である（これが検定の帰無仮説となる）と
すると，学歴にかかわらず，適応性の分布は
同一になるはずである．テキスト表５では，
46:67:111:176 という人数比率．
– 適応性のどのカテゴリにおいても学歴の分布が
同一と考えてもよい．232:116:52
期待度数
• ２つの変数が独立の場合に，分割表のセル
それぞれに属する個体の，期待度数
（expected frequency）を計算することができる．
– 例：テキスト表５「大学卒」の「非常に低い」
46
232
232 
 46 
 27
400
400
分割表の独立性の検定
• ２つの変数が独立であるとすれば，観測度数
と期待度数の差は小さいと考えられる．
• 帰無仮説（２変数は独立）が正しい時，次のカ
イ２乗検定統計量は，近似的に，
自由度 (r-1)×(c-1) のカイ２乗分布に従う．
2
r：変数１のカテゴリ数
(oij  eij )
2
c：変数２のカテゴリ数
 
eij
oij：セル ij の観測度数
1i  r
1 j c
eij：セル ij の期待度数

例題（テキストp.225，表５）
2
2
2
2
(
18

27
)
(
29

39
)
(
11

14
)
(
20

23
)
 2 (6) 

 

27
39
14
23
 20.68
自由度：(3-1)×(4-1) = 2×3 = ６
カイ２乗分布表（テキストp.298，表VII）より，
有意水準５％での，自由度６のカイ２乗分布の
棄却限界値は，12.5916
したがって，このカイ２乗値は有意であり，
学歴と結婚適応性との間には関連があると言える．
検定での注意
• 期待度数が５に満たないセルがあると，カイ２乗
分布への近似が悪い．そのようなセルがある場
合には，カテゴリをまとめるか，別の検定法（例：
Fisherの正確確率検定．この講義では扱わない）
を用いる必要がある．
• 自由度は，分割表の周辺度数（合計値）を固定
したとき，自由に値を決めることのできるセルの
数である．
• カイ２乗検定の棄却域は，対立仮説が何であれ，
常に分布の右端にのみ設定される．
２×２分割表
• ２×２分割表では，カイ２乗統計量を以下の
式で計算することができる．
N (o11o22  o12 o21 )
 
o1  o2  o1  o2
2
Oi・は i 行目の合計
O・j は j 列目の合計
2
例題
• 次のような分割表
カテゴリA１カテゴリA２計
カテゴリB１
15
7
22
カテゴリB２
25
17
42
計
40
24
64
2
64

(
15

17

25

7
)
 2 (1) 
 0.46
22 42 40 24

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