第7回、平成２3年5月18日ーＦＥＭ解析のための連続体力学入門－ FEMによるクリープ解析解説者：園田恵一郎クリープとリラクセーション張力(N) δ0 W Δδ ΔN W W 時間(t) 時間(t) (a) (b) Creep (c) (d) Relaxation クリープ・レラクセーションでの応力・ひずみ関係   B t=0 A クリープ t C  ce t 0 D' D   cc ce e  cc   (t , t 0 ) Ec (t 0 )  (t , t 0 )   0   (t , t 0 )   e0 ：クリープ係数 0 時間 t t1  cr   cc   ce  cc ：フローひずみ  ce ：遅れ弾性ひずみクリープひずみの重ね合わせ（線形クリープ理論） 0  (t , t 0 ) 1   (t , t 0 )  c   e   cc    0   0 E c (t 0 ) E c (t 0 ) E c (t 0 ) 1   (t , t 0 )  c (t ) 1   (t , )  c (t )   0 (t 0 )     d c Ec (t 0 )  (t ) Ec (t ) 0 0 toからの載荷曲線 τからの載荷曲線 t0 t1 t n-1 tn 材齢 t t0 τ ti 材齢ｔ重ね合わせ原理（Whitneyの法則） σc<0.4ｆc コンクリートのクリープおよび乾燥収縮ひずみコンクリート標準示方書（2002年版）による．    ' ' '  cc (t , t ' , t 0 ) /  cp  1  exp  0.09(t  t ' ) 0.6   cr    '  (t, t ' )  1  exp  0.09(t  t ' ) 0.6   cr / Ec (t ' )    ' '  cs (t, t 0 )  1  exp  0.108(t  t 0 ) 0.56   sh ここに， t 0 , t ' , t ：乾燥開始時，載荷時，解析時の有効材齢 ' ' ' ：単位応力当たりのクリープひずみ最終値  cr   bc   dc '  bc ：単位応力当たりの基本クリープひずみ最終値 '  dc ：単位応力当たりの収縮クリープひずみ最終値 Ec (t ' ) ：載荷時の弾性係数 ' '  cs (t , t 0 )  sh ：材齢t0からtまでの乾燥収縮ひずみとその最終値クリープ特性：クリープによって応力が変化するのか？ q0 q0 コンクリート桁  (t )   0 (t )  0 (t )  1   (t , t 0 ) E c (t 0 ) Ec (t 0 )   (t ) 1   (t , t 0 ) L L (a)構造系(t=t1で連続化） (b)t0<t<t1での曲げモーメント (c)t1<tでの曲げモーメント増分 t=t0で連続化 t=t1で連続化連続化無し (d)t=∞での曲げモーメント FEMによるクリープ・乾燥収縮解析(1) クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則 σ  CE (e  einit ) dσ  CE (de  deinit ) C E ：弾性係数行列 FEMでの剛性方程式： t K d t U d t R t K   B d t R d t Rload d t Rinit ( m )T t C E B ( m)  dV ( m) m Vm 初期荷重増分： d t R init    B ( m )T m Vm 初期応力増分： dσinit t CE deinit dσ init  dV ( m) FEMによるコンクリート構造のクリープ・乾燥収縮解析(2) クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則 E σ  CE (e  einit ) dσ  C (de  deinit ) t  t ,2t ,3t ,.......... 微小時間増分に分割 t クリープ解析では，時刻（ｔ）を t  t σ (i 1)  t σ  t  te (i 1) t E  C E ：弾性係数行列 C d (e  e init ) i=1,2,3,….. te deinit  de  de c de  c  (t , t e ) t t Ec  σ s c de, de , de 乾燥収縮ひずみ増分 d t c  (t , t e ) t     dt Ec (t e ) t c 差分法（α法）による反復収束スキーム t t ：全ひずみ，ｸﾘｰﾌﾟひずみ， s  0  1 σik1 t σt CE e  t t t ki11t CE t t σik11  3次元状態での初期ひずみの定式化金属材料での等価応力と等価ひずみ t   J2 1 J 2  sij sij 2 1 sij   ij   kk ij 3   I e2 1 I e2  eij eij 2 1 eij   ij   kk ij 3 t コンクリートでの等価応力と等価ひずみ   I2 1 I 2   ij  ij 2 等価クリープひずみ   I 2 1 I  2   ij  ij 2 t c t t    (t , t e ) E c (t e ) t  クリープひずみ速度： d t c  (t , t e ) t     dt Ec (t e )  (t, te )  d (t, te ) / dt t c t  t c  t    (t , t e ) とおくと Ec (t e ) dec (t  t CE t σ)  dt コンクリートの乾燥収縮ひずみ： ' d  s cs (t , t 0 ) de   D sh  dt  0.0605(t  t 0 ) 0.44 dt '  exp  0.108(t  t 0 ) 0.56   sh  D sh  dt   Dsh  1 1 1 0 0 0T FEMの定式化（反復収束スキーム） t KU (i)  t t R t t F (i 1) t K   BTL t C E B L  dV BL ：ひずみマトリクス V t t t t F (i 1)   BTL t t σ (i 1)  dV R H 初期条件： V ST t t S f  dA   HT t t f B  dV A t t (0) t σ  σ t t (i ) t t (i 1) σ  σ V  σ (i) σ (i) t C E e (i) t C E B L U (i) クリープと乾燥収縮 t (i 1) KU (i) t t Rt t F (i1)  t t Fcs t t σ  (1   ) t σ  t  t σ t  t i 1 t σ k  σ t C E ただし， e  t ただし，0   1 ，の下で t t i 1 t  k 1 C E t t σ ik11  k  1,2,3,....... t  t i 1 t  t i 1 σk  σ k 1 2 t  t i 1 σk 2 t t i1  および  ctor t t i 1 σ 収束条件，ｃtor=許容誤差を決定し，乾燥収縮： t  t Fcs(i 1)  V B TL [ t  t  i 1 t E t  t C  σ i 1 d cs' (t  t 0 )   D sh ]  t dt