基本変形と基本行列(pdfファイル:5ページ)

基本変形と基本行列
次の 3 種類の n 次行列を基本行列 (elementary matrix) という．ただし、Eij は (i, j) 成
分が 1 で、それ以外の成分はすべて 0 である n 次行列単位である．また、En は n 次単位
行列である．
Pn (i, j) = En − Eii − Ejj + Eij + Eji
Qn (i; c) = En + (c − 1)Eii
Rn (i, j; c) = En + cEij
(i ̸= j)
(c ̸= 0)
(i ̸= j)
これらはいずれも、単位行列 En を少しだけ変形したものである．実際、Pn (i, j) は En
の第 i 行 (列) と第 j 行 (列)(i ̸= j) を交換した行列、Qn (i; c) は En の (i, i) 成分を c ̸= 0 に
取り換えた行列、Rn (i, j; c) は En の (i, j) 成分 (i ̸= j) を c に取り換えた行列である．
m × n 行列 A に 3 種類の m 次基本行列を左からかけると、A は次のように変形される．
(1) Pm (i, j)A は、A の第 i 行と第 j 行を交換した行列
(2) Qm (i; c)A は、A の第 i 行に c をかけた行列
(3) Rm (i, j; c)A は、A の第 j 行の c 倍を A の第 i 行に加えた行列
同様に、m × n 行列 A に 3 種類の n 次基本行列を右からかけると、A は次のように変
形される．
(1)′ APn (i, j) は、A の第 i 列と第 j 列を交換した行列
(2)′ AQn (i; c) は、A の第 i 列に c をかけた行列
(3)′ ARn (i, j; c) は、A の第 i 列の c 倍を A の第 j 列に加えた行列
(1), (2), (3) を行に関する基本変形 (elementary row operation) または左基本変形とい
い、(1)′ , (2)′ , (3)′ を列に関する基本変形 (elementary column operation) または右基本変
形という．
基本行列の転置行列は、t Pn (i, j) = Pn (i, j), t Qn (i; c) = Qn (i; c), t Rn (i, j; c) = Rn (j, i; c)
である．したがって、たとえば t (APn (i, j)) = Pn (i, j) tA のように、行に関する基本変形
と列に関する基本変形は転置行列をとることにより対応する．
任意の m × n 行列 A に対して行に関する基本変形を繰り返すことにより、次の形の行
列に変形することができる．


1 ∗ ··· 0 ∗ ··· 0 ∗ ···

1 ∗ · · · 0 ∗ · · ·



1 ∗ · · ·
書いていない成分はすべて 0 であり、∗ および · · · の箇所の成分は任意の数である．こ
の形の行列を簡約な行列あるいは階段行列 (row echelon matrix) などという．(1, 1) 成分
が 0 の場合もあることに注意する．
階段行列は、次の性質を満たす行列である．
1
(i) 0 でない成分をもつ行について、最初の 0 でない成分は 1 である．この成分を、そ
の行の主成分 (pivot) という．
(ii) 第 i + 1 行の主成分は第 i 行の主成分より右にある．
(iii) 主成分を含む列は、主成分以外の成分はすべて 0 である．


0 3 3 −4
1 2 3 1 

例 A=
1 1 2 2  に行に関する基本変形を繰り返して階段行列に変形する．
1 3 4 −1






1 2
3
1
1 2
3
1
1 2 3 1

(1) 0 3 3 −4 (2) 0
1 −2
3
3 −4

 (3) 0 1


A −→ 
1 1 2 2  −→ 0 −1 −1 1  −→ 0 −1 −1 1 
0 3
3 −4
0 1
1 −2
1 3 4 −1






1 0 2 0
1 0 2 3
1 0 2 3





(4)
0 1 1 −2 (5) 0 1 1 −2 (6) 0 1 1 0

−→ 
0 0 0 −1 −→ 0 0 0 1  −→ 0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 2
0 0 0 2
ここで、次の行に関する基本変形をした．
(1): 第 1 行と第 2 行を交換する．
(2): 第 3 行に (−1)× 第 1 行を加える．第 4 行に (−1)× 第 1 行を加える．
(3): 第 2 行と第 4 行を交換する．
(4): 第 3 行に第 2 行を加える．第 4 行に (−3)× 第 2 行を加える．
(5): 第 3 行に −1 をかける．
(6): 第 1 行に (−3)× 第 3 行を加える．第 2 行に 2× 第 3 行を加える．第 4 行に
(−2)× 第 3 行を加える．
m × n 行列 A に対して、行に関する基本変形だけでなく、列に関する基本変形も繰り
返すと、(i, i) 成分 (i = 1, . . . , r) が 1 で、それ以外の成分はすべて 0 である次の形の行列
に変形できる．


1
 ..



.




1
r を行列 A の階数 (rank) といい rank A で表す．階数は、階段行列において 0 でない
成分をもつ行の個数に等しい．行列 A の階数は A の行の個数および列の個数より小さい．
rank A ≤ m, rank A ≤ n．A が ℓ × m 行列で B が m × n 行列のとき、積 AB の階数は A
の階数および B の階数より小さい．rank AB ≤ rank A, rank AB ≤ rank B ．
A を n 次行列とする．AX = XA = En (n 次単位行列) を満たす n 次行列 X が存在す
るとき、A は正則行列 (invertible matrix) であるという．またこのような X を A の逆行
列 (inverse of A) といい、A−1 で表す．2 つの n 次行列 A と B が正則行列ならば、積 AB
も正則行列で、逆行列は (AB)−1 = B −1 A−1 である．
(
)
(
)−1 (
)
1 2
1 2
−3 2
例
は正則行列で、逆行列は
=
．
2 3
2 3
2 −1
2
3 種類の基本行列 Pn (i, j), Qn (i; c), Rn (i, i; c) は正則行列で、逆行列は同じ種類の基
本行列である．
Pn (i, j)−1 = Pn (i, j),
Qn (i; c)−1 = Qn (i; c−1 ),
Rn (i, j; c)−1 = Rn (i, j; −c)
P が正則行列で P A = B ならば、両辺に左から P −1 をかけると A = P −1 B となる．基
本行列の逆行列は同じ種類の基本行列だから、行に関する基本変形を繰り返して A を B
に変形できれば、逆の手順で B に対して行に関する基本変形を繰り返して A に戻すこと
ができる．列に関する基本変形についても同様である．
定理 n 次行列 A が正則行列であるための必要十分条件は、A の階数が n に等しいこ
とである．
n 次行列の階段行列の階数が n であれば、その階段行列は単位行列 En にほかならな
い．したがって、n 次行列 A が正則行列であるための必要十分条件は、行に関する基本変
形を繰り返すことにより単位行列 En に変形できることである．行に関する基本変形をす
ることは基本行列を左からかけることと同じだから、A が正則行列であるための必要十
分条件は、Pk · · · P1 A = En が成り立つような基本行列 P1 , . . . , Pk が存在することである．
またこのとき、Pk · · · P1 は A の逆行列である．
.
A の右側に単位行列 En を付け加えた n × 2n 行列 (A .. En ) を考える．左半分と右半分
.
の区別を見やすくするため、中間に .. を書いておく．この行列に左から n 次行列 P をかけ
.
.
.
ると、P (A .. En ) = (P A .. P En ) = (P A .. P ) が成り立つので、Pk · · · P1 A = En ならば
.
.
Pk · · · P1 (A .. En ) = (En .. Pk · · · P1 )
.
である．ここで、左辺は n × 2n 行列 (A .. En ) に対して基本行列 P1 , . . . , Pk を左からかけ
ることに対応する行に関する基本変形を行ったものである．
以上の議論により、次のことがわかった．
.
n × 2n 行列 (A .. En ) に対して、行に関する基本変形を繰り返して左半分が単
位行列になるように変形できれば、A は正則行列であり、そのときの右半分は
A の逆行列である．左半分が単位行列になるように変形できなければ、A は正
則行列ではない．
.
これにより、行に関する基本変形を (A .. En ) に対して行うだけで、与えられた n 次行
列が正則行列かどうか判定し、正則行列の場合は逆行列を求めることできる．
(
)
.
1 2
例 A=
について、次のように (A .. E2 ) に対して行に関する基本変形を繰り
2 3
返す．
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 0
1 2
1 0
1 2 1 0
1 0 −3 2
−→
−→
−→
2 3 0 1
0 −1 −2 1
0 1 2 −1
0 1 2 −1
−1
これより、A は正則行列で、逆行列が A
3
(
)
−3 2
=
であることがわかる．
2 −1
問題
1. 次の行列に対して行に関する基本変形を繰り返すことにより、階段行列に変形せよ．




1 −2 1 1
3
1 −1 1
2 −4 4 −2 3 
2 1
0



(1) 
(2)
0 0 1 −2 −2
0 2
1
3 −6 3 3
0
2 −1 −2
2. 次の行列の逆行列を求めよ．




1 2 3
1 −1 0
(1) 2 3 2
(2) −1 1 −1
0 1 2
0 −1 1

1 −1 0
0
−1 1 −1 0 

(3) 
 0 −1 1 −1
0
0 −1 1

3. 次の行列が正則行列かどうか判定し、正則行列のときは逆行列を求めよ．




(
)
1 1 1
2 1 1
2 0
(1)
(2) 0 1 1
(3) 1 2 1
1 2
0 0 1
1 1 2


−1 1
0
0 −1
(4)  1
0 −1 2


1 2
3
(5) 0 −1 −2
2 3
4


0 1
1 −1
4 5
1
1

(6) 
3 9
4
1
4 −4 −4 −1

2
3
(7) 
4
2

1
1

(8) 
1
1
1

1
2

(9) 
0
0
0
3
6
8
4
2
4
6
3

1
2

3
2
1
2
2
2
2
1
2
3
3
3
1
2
3
4
4

1
2

3

4
5
2
1
0
0
0
0
0
1
2
3
0
0
2
3
1

0
0

3

1
2
4. 基本行列 Pn (i, j), Qn (i; c), Rn (i, i; c) の積について、次が成り立つことを確かめよ．
Pn (i, j)Pn (i, j) = En ,
Qn (i; c)Qn (i; c−1 ) = En ,
Rn (i, j; c)Rn (i, j; −c) = En
(
)(
)(
)(
) (
)
1 1
1 0
1 1
−1 0
0 1
5. (1)
=
が成り立つことを確かめよ．
0 1
−1 1
0 1
0 1
1 0
(2) Pn (i, j) を、Qn (i; c) および Rn (i, j; c) の形の基本行列の積の組合せで表せ．(これ
により、任意の n 次正則行列は Qn (i; c) および Rn (i, j; c) の形の基本行列の積の組合せで
表せることがわかる．)
(
)
A B
6. 正方行列 X が X =
と区分けされていて、A は m 次行列、B は m × n 次行
O D
列、O は n × m 零行列、D
) A と D が正則行列ならば X も正則行列
( は−1n 次行列とする．
−1
−1
A
−A
BD
であることを確かめよ．
で、X の逆行列は X −1 =
−1
O
D
(
)
A O
X=
と区分けされている場合についても、同様のことを考えよ．
C D
4
解答とヒント

1
0
(2) 
0
0


1 −2 0 3 0
0 0 1 −2 0

1. (1) 
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

4 −1 −5
1
4
2. (1) −4 2
2
2 −1 −1
1
3. (1)
4
2 0
−1 2
)

0 −1 −1
(2) −1 −1 −1
−1 −1 0



1 −1 0
(2) 0 1 −1
0 0
1
(5) 正則行列ではない

0
0

1
0


(
0
1
0
0

3
1
−1
(3)
4
−1
(6) 正則行列ではない

2 −1 0
0
0
−1 2 −1 0
0



(8)  0 −1 2 −1 0 

0
0 −1 2 −1
0
0
0 −1 1

−6 12
 12 −6
1 
0
0
(9)
18 
0
0
0
0

1
0 −1 −1
0
0 −1 −1

(3) 
−1 −1 0
0
−1 −1 0
1



−1 −1
1 2 1
3 −1
(4) 2 2 1
−1 3
1 1 1


2 −1 0
0
−1 2 −1 0 

(7) 
 0 −2 2 −1
0
0 −1 2

0
0
0
0
0
0

−5 1
7

1
7 −5
7 −5 1

4. 略
5. (1) 略
(2) Rn (i, j; 1) = En + Eij , Rn (j, i; −1) = En − Eji , Qn (i; −1) = En − 2Eii および
行列単位の積が Eij Epq = δjp Eiq であることより、
Rn (i, j; 1)Rn (j, i; −1) = (En + Eij )(En − Eji ) = En + Eij − Eji − Eii
Rn (i, j; 1)Rn (j, i; −1)Rn (i, j; 1) = (En + Eij − Eji − Eii )(En + Eij )
= En + Eij − Eji − Eii − Ejj
Rn (i, j; 1)Rn (j, i; −1)Rn (i, j; 1)Qn (i; −1) = (En + Eij − Eji − Eii − Ejj )(En − 2Eii )
= En + Eij + Eji − Eii − Ejj = P (i, j)
)(
) (
)
) ( −1
) ( −1
A B
Em O
A
−A−1 BD−1
A B
A
−A−1 BD−1
=
であ
=
6.
O
D−1
O D
O En
O
D−1
O D
ることが、区分けされた行列の積からわかる．
(
)−1 (
)
A O
A−1
O
同様に
=
であることもわかる．
C D
−D−1 CA−1 D−1
(
5

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