第2回、平成22年8月4日 ー FEM解析のための連続体力学入門 - 2.主引張応力とひび割れ解析 解説者:園田 恵一郎 前回への質問1:ひずみのテンソル表示とベクトル表示 ベクトル表示(FEM解析) テンソル表示: 11 12 13 ij 21 22 23 33 31 32 u i, j u j,i 1 ij u i /x j u j /x i 2 2 ひずみエネルギーW 1 W ij ij 2 ε x y z xy xz yz T x 11, y 22 , z 33 xy 12 21 212 xz 13 31 213 yz 23 32 2 23 ひずみエネルギーW 1 T W σ ε 2 質問2:主応力の方向と主ひずみの方向は一致するの か? 応力テンソルとひずみテンソルの座標変換則は同じである. 2次元応力 の場合 x 1 1 ( x y ), y ( y x ) E E xy xy G G E 2(1 ) では 等方性体と言う. 3次元応力状態 x 2G 0 0 0 x 2 G 0 0 0 y y z 2G 0 0 0 z 0 0 G 0 0 xy xy 0 xz 0 0 0 0 G 0 xz 0 0 0 0 G yz yz 0 等方性体: E (1 )(1 2 ) ,G E 2(1 ) 質問3:応力不変量はどのような意義があるのですか? I 1 11 22 33 I 2 ( 11 22 22 33 33 11 ) 12 2 13 2 23 2 11 12 13 I 3 21 22 23 31 32 33 回答:応力やひずみはテンソル量であり,座標の取り方によってその成分が異な る.したがって,鋼材の降伏やコンクリートのひび割れや破壊のような材料特性 を 応力成分で表現することができない.そこで,座標変換によって変わらない応力 やひずみである不変量によって材料特性を表すことが必要になる. 例:鋼の降伏条件であるミーゼスの条件: J 2 k 2 0 K:せん断降伏応力度 kk 1 s J 2 sij sij sij ij s ij 3 2 応力不変量は何のために役立つのか? 鋼材の降伏規準 質問4:せん断応力の符号はどのように採るのですか? せん断応力とは,一つの面に働く接線 y 方向の応力である.正面に働く座標の 正方向のせん断応力を正符号にする(約束). n r σnn σnr σnr τxy t τxy x y σnt σnt τyz z τzy 直交する面の せん断応力 τyz=τzy 2軸応力状態でのコンクリートの破壊基準 Ottosenの基準(1977) f ( I 1 , J 2 , cos 3 ) Ottosenの基準 実験値 a J2 2 f c' J2 2 f c' :相似角 b I1 f c' 1 0 Drucker-Prager式 π平面上 主応力空間 モール・クーロン式 Drucker-Prager式 f (I1 , J 2 ) I1 J 2 k 0 1 f ( I 1 , J 2 , ) I 1 sin J 2 sin( ) 3 3 J2 cos( ) sin c cos 0, ただし 0 3 3 3 汎用ソフト:MSC.Markでの取り使いの留意点 適用降伏・破壊基準: (1)線形モール・クーロン式(Drucker-Prager式) 材料係数: c 3(1 12 ) 2 1/ 2 f I 1 J 12 / 2 3 (1 3 2 )1 / 2 sin (2)放物線モール・クーロン式 0 3 と粘着力と内部摩擦角に関 連付けているが,これは平 面ひずみ問題のみに適用 できる.Tension cutoffが 必要である. f (3J 2 3I1 )1/ 2 0 (3)Buyukozturk式 f 3I1 I12 3J 2 2 0 (注)高3軸圧縮応力問題には適用できない. 硬化則は等方硬化則,移動硬化則が紹介されているが,これらは適用できないので,前 述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる. 第2回,平成22年8月4日 離散ひび割れモデル i b b' j i ひび割れ b j a k k a a' b Kn a b' Ks a' ジョイント要素 ひびわれ面での特性(コンクリート標準示方書による) GF 10(d max)1/ 3 f ck ' d max :粗骨材の最大寸法(mm) f ck ' :圧縮強度の特性値 (設計基準強度)(N/mm2) f tk :引張強度の特性値 f tk 0.23 f ck ' 2 / 3 k n1 0 ω:クラック幅 kn 2 0 ひび割れ軟化特性 ひび割れ分散モデル i i En ひび割れ n t j j k dσ cr Ecr dε cr dσ cr d n d t d nt dε cr d n d t d nt En Gc E ' n E cr 0 0 Gc 0 Ec 0 0 0 Gc k 3次元応力状態での主応力の方向 z σ33 σ 32 σ31 σ 23 σ 13 σ11 σ22 σ σ12 21 y x x-y-z空間 主応力空間 固有値と固有ベクトル 11 12 13 21 22 23 0 31 32 33 3 I1 2 I 2 I 3 0 n=(l,m,n) σ σ12 y(2) σ11 主応力面 σ13 x(1) ( 11 i )li 12 mi 13ni 0 21li ( 22 i )mi 23ni 0 31li 32 mi ( 33 i )ni 0 mi 23 i 13 21 23 11 li 23 12 13 22 13 i ni 32 i 12 13 32 11 li 13 32 13 33 13 i z(3) l i 2 mi 2 ni 2 1 li 1 1 ( mi / l i ) 2 ( ni / l i ) 2 主応力の方向 li 0, mi 0, ni 0 li 0, mi 0, ni 0 li 0, mi 0, ni 0 li 0, mi 0, ni 0 2次元応力状態 ds b τ xy dy θ θ 1 σx a σy 2 dx x y xy 2 2 2 c τ yx 2 x y x y 2 2 x y xy 2 2 σx' σy' τy'x' σ2 σ2 2α σ1 0' τxy τxy σx σ τx'y' 2θ σy σp' α p τxy y σp τx'y' σ 1 σx σ1 τx'y'σ σ2 y σx τ 2 tan1 2 xy x y 0 X 2 x y xy 2 R 2 計算例 h σ分布 x τ分布 t B y Ma h Pah ( ) I 2 4I P A B 2bh a L/2 L/2 主応力の大きさと方向 2 2 2 B Pah P ah B 1 B 2 1 B , 2 4I 2 I bh 2 2 2 2 B Pah P ah B 1 B 2 2 B 2 4I 2 I bh 2 B tan1 1 2 B' 2 2 B B B 2I 1 tan1 2 2 abh 1 1 2 I tan 2 2 abh
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