2014/12/12 技術者のための構造力学 補足資料 補足資料③ 資料③ 共役せん断応力 三好崇夫 加藤久人 応力は単位面積当たりに働く力を意味する．応力はテンソル表示によれば σij のように 2 つの指標で表 され，最初の指標 i は応力の発生面を意味し，次の指標 j は応力の作用方向を表す．図－1 は部材の内部 の 6 面体微小要素に生ずる応力を示している．ただし，微小要素の質量や外力によってその重心には x， y，z 軸方向と平行な力（体積力と呼ばれる）Fx，Fy，Fz が生じているものとする．6 面体微小要素の各 面の大きさは非常に小さいものとする．微小要素の面に対して垂直な応力は直応力，面に平行な応力は せん断応力と呼ばれる．応力の符号については，x，y，z 軸方向の正側の面において各軸に対する正の 向きの応力を正とする．表－1 には応力のテンソル表記とベクトル表記の対応関係を示した． 微小 6 面体要素内の体積力の影響により，例えば，座標原点側の 3 つの面に（σxx, σxy, σxz） ， （σyx, σyy, σyz）， （σzx, σzy, σzz）が生じていれば，それらの反対側の 3 つの面にはそれぞれ微小量変化した（σxx+(∂σxx/∂x)dx, σxy+(∂σxy/∂x)dx, σxz+(∂σxz/∂x)dx ），（ σyx+(∂σyx/∂y)dy, σyy+(∂σyy/∂y)dy, σyz+(∂σyz/∂y)dy ），（ σzx+(∂σzx/∂z)dz, σzy+(∂σzy/∂z)dz, σzz+(∂σzz/∂z)dz）が生ずることになる． 図－1 に示した応力のうち，直応力 σxx，σyy と σzz は引張方向に作用するものを正，および圧縮方向に 作用するものを負とする．残りのせん断応力 6 成分 σxy，σyx，σyz，σzy，σzx と σxz は，図－1 に示す各座標 軸まわりのモーメントの釣り合い条件によって，後で述べるように，2 つのせん断応力成分間の共役性 が示されるため，独立な成分は 3 成分となる． 一例として，微小要素の x－y 面内に生ずるせん断応力の共役性について説明するため，図－1 の+z 軸方向から見た微小要素の x－y 面を図－2 に示す．同図中に示すように，微小要素の x，y，z 方向の長 さをそれぞれ dx，dy，dz とし，その中心を m とする．それぞれ x－y 面に生ずる応力（σzx, σzy, σzz）と （σzx+(∂σzx/∂z)dz, σzy+(∂σzy/∂z)dz, σzz+(∂σzz/∂z)dz）に断面積 dxdy を乗じたものは，x－y 面に生ずる軸力また はせん断力となる．それらの作用点はいずれも m 点（重心点）であり，後述の重心点まわりのモーメン dy dx σzx+(∂σzx/∂z)dz σxy σyx σyy σxx σx σyy σy σzz σz σxy τxy σyx τyx せん断 σyz τyz 応力 σzy τzy σzx τzx σxz τxz 直応力 σyy+(∂σyy/∂y)dy σxz+(∂σxz/∂x)dx σyx+(∂σyx/∂y)dy σxy+(∂σxy/∂x)dx σxx+(∂σxx/∂x)dx σzx σzy 正の面 z (y 方向) 正の面 (x 方向) x 図－1 3 次元応力状態 1 応力のテンソル表記と ベクトル表記の比較 テンソル表記 ベクトル表記 σyz+(∂σyz/∂y)dy Fy σzz 正の面 (z 方向) σxx σxz Fz Fx σyz dz 表－1 σzz+(∂σzz/∂z)dz σzy+(∂σzy/∂z)dz y 2014/12/12 技術者のための構造力学 dy σxx τxy z y x τyx τyx+(∂τyx/∂y)dy σyy m Fy dx σyy+(∂σyy/∂y)dy Fx z 軸方向の高さ dz τxy+(∂τxy/∂x)dx σxx+(∂σxx/∂x)dx 図－2 微小要素の x－y 面 トの釣り合い式には無関係となるため，図－2 には示していない．同様に，y－z 面，z－x 面に生ずるせ ん断応力 σxz，σxz+(∂σxz/∂x)dx，σyz，および σyz+(∂σyz/∂y)dy についても x－y 面内の m 点まわりのモーメン トの釣り合い式には無関係であるため省略している．したがって， 図－2 には，直応力 σxx，σxx+(∂σxx/∂x)dx， σyy，σyy+(∂σyy/∂y)dy，せん断応力 σxy（=τxy），σxy+(∂σxy/∂x)dx（=τxy+(∂τxy/∂x)dx），σyx（=τyx），σyx+(∂σyx/∂y)dy （=τyx+(∂τyx/∂y)dy）を示した．これらの直応力に微小要素の断面積 dzdx または dydz を乗ずると軸力とな るが，それらの作用線はいずれも微小要素の重心点 m を通過する．また，体積力 Fx，Fy のいずれも重 心点に作用する．よって，これらは m 点まわりのモーメントはもたらさないため，モーメントのつり合 い式から省略できる． 図－2 の微小要素において，時計回りを正とする重心 m 点まわりのモーメントのつり合い式は， − τ xy dydz ∂τ ∂τ dx dy dx dy =0 + τ yx + yx dy dzdx − τ xy + xy dx dydz + τ yx dzdx 2 ∂y 2 ∂x 2 2 (1) 式(1)を dxdydz で除すと， 2τ yx − 2τ xy + ∂τ yx ∂τ dy − xy dx = 0 ∂y ∂x (2) 式(2)において，dx → 0，dy → 0 の極限をとれば，次の関係の成立することが明らかである． τ =τ xy yx (3) y－z 面内のせん断応力 τyz，τzy，z－x 面内のせん断応力 τzx，τxz に関しても同様にモーメントのつり合 いを考えることによって次の関係が得られる． τ =τ zy (4) τ =τ xz (5) yz zx 式(3)～(5)は共役せん断応力の法則と呼ばれている． 2
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