第１回、平成２２年6月30日ーＦＥＭ解析のための連続体力学入門－ 1. 応力とひずみ解説者：園田恵一郎第1回勉強会の概要 1.1 応力とは？ 1.2 ひずみとは？ 1.3 応力とひずみの関係 1.4 テンソルとは何か？ 1.5 テンソルの演算則 1.6 主応力と応力不変量 1.7 モール円について 1.8 ＦＥＭ解析での応力不変量の意義 1.9 材料特性の応力不変量による表現応力とは何ですか？応力は物体に働く内力でひずみを起こす力である。応力の単位：N/mm2、ｋｇｆ/ｃｍ２で単位面積当たりの力である。ひずみとは？変位、変形との違い？ v u U v U U u 変位剛体変位変形ひずみは単位長さの要素の変形量である。ひずみの定義微小変位・ひずみ場：  xx  u v w ,  yy  ,  zz  x y z 2 xy  v u w u u w  ,　2 yz   ,　2 zx   x y x y z x 有限変位・ひずみ場： 2 2 2 u 1   v   w    u   xx            x 2  x   x  x        v u   x y u u v v w w       x y x y x y 2 xy  ベクトル表示： ε   xx  yy  zz 2 xy 2 yz 2 zx T ２次元問題微小変位場における応力とひずみ直応力と直ひずみ n' n m' m u(x,y) せん断応力とせん断ひずみベクトル表示：  変位   σ   x  y  xy t , ε   x   y  xy T 応力とひずみの関係 (1)平面ひずみ問題（トンネル、地盤など） εz＝０ y σ z z 線形弾性非線形弾性 0 x 0 x y 弾塑性 (2)平面応力問題（板、平面はりなど） σz＝０ ε ０ x 材料のσ－ε曲線 x z z y y 平面応力問題（ z  0 ）  x    E    y 2  xy  1      1  0   x   1 0      z  0 0 1  xy  3次元応力問題平面ひずみ問題（ z  0 ）   x  1      E    y  (1   )(1  2 )    1     xy  0  0     0   x    0   z  1  2      xy  2  線形弾性体の場合  x    2G   0 0 0   x           2 G  0 0 0 y     y  E E  z       2G 0 0 0    z    , G       (1   )(1  2 ) 2(1   )  0 0 0 G 0 0  xy     xy   xz   0 0 0 0 G 0   xz         0 0 0 0 0 G   yz   yz   テンソルとは何か？一定の直交座標変換則に従う物理量 x3 x3' 方向余弦： pij  cos(e i ' , e j ) ,i=1,2,3, j=1, 3 xi '  pi1 x1  pi 2 x2  pi3 x3   pij x j j 1 ベクトル：変位、速度、力など u i '  pij u j , Fi '  pij F j , i  1,2,3, j  1,2,3 3 k 1 l 1  ij '    pik p jl kl  pik p jl kl k 1 l 1 1'3 e1 1'2 e1' x1  ij '    pik p jl kl  pik p jl kl 3 e2' e3' 1'1 3 3 x2' e3 2,3 e2 p11  cos1'1 p12  cos12 p13  cos1'3 x1' 応力テンソル（2階）ひずみテンソル(2階） x2 応力またはひずみテンソル（2階）の要素応力テンソル σij、 x3   1 x1   P 2 第2添字(j)は方向   11  12  13     ij    21  22  23     31  32  33    第1添字(i)は作用面 x2  対称性：σij＝σji ひずみテンソル変位ベクトル u  u1 u2 u 3 T 1 u i u j  ij  (  ) 2 x j xi   11  12  13     ij    21  22  23      31 32 33    xy 1 u 2 u1   (  )  注意： 12 2 x 2 1 x 2 テンソルの演算則スカラー： a ベクトル： ai 3 xi '  pij x j 総和規約： xi '   pij x j j 1 ひずみエネルギー： 1 3 3 1 W     ij ij   ij ij 2 i 1 j 1 2  u1 / x1  u i  u  i, j  u 2 / x1 微分： x j  u / x 1  3 u1 / x 2 u 2 / x 2 u 3 / x 2 釣り合い式：  ij, j  X i  0 材料の構成則：２階のテンソル： aij 単位テンソル： 1 0 0    ij   0 1 0  0 0 1    ij  Eijkl kl u1 / x3   u 2 / x3  u 3 / x3  ui, i  u1 / x1  u 2 / x2  u3 / x3  i1  i 2  i3    X i  0, i  1,2,3 x1 x 2 x3 Eijkl ：弾性構成テンソル（４階） ' E ijkl  p im p jn p kr p ls E mnrs 主応力と応力不変量 n=(m,n,l) つりあい条件 Sz Sx S x   11l   21 m   31 n S y   12 l   22 m   32 n S z   13 l   23 m   33 n σ 1２ σ11 主応力面 S x    l　, S y    m, Sz    n Sy y(2) σ 13 x(1) ( 11   )l   12 m   13 n  0  21l  ( 22   )m   23 n  0  31l   32 m  ( 33   )n  0 固有方程式  3  I 1 2  I 2  I 3  0 Cardanoの方法で3実根σの決定応力不変量 z(3) I 1   11   22   33 I 2  ( 11 22   22 33   33 11 )   12 2   13 2   23 2  11  12  13 I 3   21  22  23  31  32  33 主応力の大きさと方向の求め方 Cardanoの方法  3  I 1 2  I 2  I 3  0 (1) 3次方程式： ax3  bx 2  cx  d  0とすればｘ＝  a  1, b   I1 , c   I 2 , d   I 3   x  (b/3a) を代入すれば、  3  3 p  q  0 (2) ただし、 p  (3ac  b 2 ) /(9a 2 ), q  (2b3  9abc 27a 2 d ) /(27a 3 ) 式(2)の3根は、 1  3   3  ,  2  3    2 3  ,  3   2 3   3   1 1 (1  i 3 ),  ,   (q  q 2  4 p 2 2 2  11   i    21   31   12  13  22   i  23  32  33   D  (4 p 3  q 2 )  0   l i  0         mi   0 i  1,2,3   n  0    i   3実根より li , mi , ni を決定２次元応力場での座標変換 σｙ τyx θ τ xy ｐ σｘ σｘ τ xy τ yx σｙ x'-y'座標系 x-y座標系 σｘ、σｙ：直応力、τｘｙτｙｘ：せん断応力 σｘ’、σｙ’：直応力、τｘ’ｙ’τｙ’ｘ’：せん断応力共役関係：τxy=τyx， τx’y’=τy’x’ 座標変換による応力の特性 ds b τxy θ dy θ σｘ a τyx 応力   x  xy   σ p      yx y   σ' p  T  σ p  T ' c σｙ変位： dx   x'  x' y '   σ ' p     y ' x '  y '  T: 座標変換行列 2階のテンソル１階のテンソル（ベクトル）モール円と主応力(2次元）  x '   x cos2    y sin 2    xy sin 2 1 2  xy '  ( y   x ) sin 2   xy cos 2 σ２ σx' σｙ τx'y' τ xy τy'x' σｘ α p τ xy σ2 2α σ1 0' τxy R σ τx'y' 2θ 1  σx τ 半径： 2 中心：  x  y 2 2  1   2 2 1   2 2 σｘ τx'y' σ２ σｙ σp' σp  x  y     xy 2 R    2   σ1 σ1 2  x  y     xy 2    2   2  x  y     xy 2    2   σy=20N/mm2 σx p τxy σx =-50N/mm2 τ xy＝40N/mm2 τxy σy=20N/mm2 応力不変量：１次 I1   x   y 2次 2  x  y     xy 2 I 2    2   モール円の描き方と主応力の求め方例題 P σBｍ B y B x B A 0 τAｓ σ Aｍ A 曲げ応力 σBｍ τBｓ σBｍ 20/5 せん断応力 σ Aｍ 20/5 B α' σ Aｍ A τBｓ σ２ τBｓ τ Aｓ 5 σ２ τBｓ=5N/mm 2 σ1 0' 2α 5 σBｍ=-20N/mm 0' 2 A B -20 τ 20 σ 5 2α' σ1 α 2 σ Aｍ =20N/mm τ Aｓ=5N/mm 2 I 1   11   22   33 偏差応力： I1 sij   ij   ij 3 1 3 3 偏差応力の2次不変量 J 2    sij sij 2 i 1 j 1  11  12  13 I 3   21  22  23  31  32  33 σ3 τmax σ P σ2 Fuction( 1 ,  2 ,  3 )  0, σ1 τ 材料強度の特性 Function( I1 , I 2 , I 3 )  0 3次元モール円と応力不変量の意義応力不変量の意義？鋼材の降伏規準  ２軸応力状態でのコンクリートの破壊基準 Ottosenの基準(1977) f ( I 1 , J 2 , cos 3 ) Ottosenの基準実験値 a J2 2 f c'   J2 2 f c' ：相似角 b I1 f c' 1 0 Drucker-Prager式 π平面上主応力空間モール・クーロン式 Drucker-Prager式 f (I1 , J 2 )  I1  J 2  k  0 1  f ( I 1 , J 2 ,  )   I 1 sin  J 2 sin(  ) 3 3  J2   cos(  ) sin  c cos   0, ただし 0    3 3 3 汎用ソフト：MSC.Markでの取り使いの留意点適用降伏・破壊基準：（１）線形モール･クーロン式（Drucker-Prager式）材料係数： c  3(1  12 ) 2 1/ 2 f  I 1  J 12 / 2  3 (1  3 2 )1 / 2  sin (2)放物線モール・クーロン式  0 3 と粘着力と内部摩擦角に関連付けているが，これは平面ひずみ問題のみに適用できる．Tension cutoffが必要である． f  (3J 2  3I1 )1/ 2    0 (3)Buyukozturk式 f   3I1  I12  3J 2   2  0 （注）高3軸圧縮応力問題には適用できない．硬化則は等方硬化則，移動硬化則が紹介されているが，これらは適用できないので，前述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる．