追加的な共変量をもちいた高次元共分散行列の推定 東京大・経済・院 池田 祐樹 東京大・経済 久保川 達也 1 はじめに 近年，様々なアプローチで高次元の共分散行列を推定する議論が行われている. 以下では y1 , ..., yN ∼ i.i.d. Np (µ, Σ) のとき N, p → ∞ の枠組みで Σ を推定することを考える. この問題に対する有力な アプローチの一つは，標本共分散行列 S を高次元ファクターモデルのもとでの共分散行列へ縮小 するものである. 具体的には，yj に加えてファクター xj が観測されるとき，ファクターモデルは yj = Bxj + uj , uj ∼ i.i.d.(0, Σu ) で与えられ，このモデルのもとで yj の共分散行列は BCov(xj )B t + Σu と書ける. このときの推定量を SF とすると，S を SF の方向へ縮小することを考えることになる. Σu の代表的な例としては対角行列 Σu = D, D = diag(d11 , ..., dpp ) が考えられるが，その他様々な構造を入れることができる. 2 研究内容 ここでは，yj に加えて q 次元の追加的な共変量 xj が与えられているという上述の問題を，次のよ うな多変量正規分布の枠組みで捉えることから始める. (( ) ( )) ( ) µ Σ11 Σ12 yj , ∼ i.i.d. Np+q ν Σ21 Σ22 xj このとき, xj を与えたときの yj の条件付き分布は yj = Σ12 Σ−1 22 xj + uj , uj ∼ i.i.d. Np (0, Σ11·2 ) となる. 従って，Σ11·2 = D という構造をいれると，ファクターと誤差項に正規性を仮定した上述 のファクターモデルに対応することがわかる. そこで本発表では, D を Σ11·2 の対角行列とし，そ ˆ として，Σ11 の推定量のクラス の推定量を D ˆ 11 = wS11 + (1 − w)SF , SF = S12 S −1 S21 + D ˆ Σ 22 を考える. このとき最適なウエイト w を求め，Ledoit and Wolf (2004), Kubokawa and Srivastava(2013) と同様，ウエイトに (n, p) 一致推定量を plug-in した推定量を提案し，その漸近的な最適性とリス クについて議論する. 参考文献 [1] Kubokawa, T. and Srivastava, M.S. (2013). Optimal Ridge-type Estimators of Covariance Matrix in High Dimension. Discussion Paper Series, CIRJE-F-906. [2] Ledoit, O. and Wolf, M. (2004). A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices. J. Multivariate Analysis, 88, 365-411.
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