第7章不確実性の処理

第７章不確実性の処理
：期待値、感度分析、情報の価値
政策評価(06,11,24)三井
1
考察する３つの論点
１）期待値（expected value）
２）感度分析（sensitivity analysis）
３）情報価値（value of information）
政策評価(06,11,24)三井
2
1．期待値分析
n＝事象の数
C ＝事象iにおける費用
i
B＝事象iにおける便益
i
NB  B  C：事象
iにおける純便益
i
i
i
NB  ( NB1 , NB2 ,, NBn )
p ＝事象iの発生する確率
i
E[ NB]  p NB  p NB    p NB：期待純便益
1
政策評価(06,11,24)三井
1
2
2
n
n
3
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
防災基盤型社会資本整備
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
前進基地
25000
5000
0
60
近地球基地
20000
4000
0
20
0
0
0
0
防衛なし
政策評価(06,11,24)三井
期待純便益
4
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
？
前進基地
25000
5000
0
60
近地球基地
20000
4000
0
20
0
0
0
0
防衛なし
0.001×25000＋0.004×5000－60
政策評価(06,11,24)三井
5
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
-15
前進基地
25000
5000
0
60
近地球基地
20000
4000
0
20
0
0
0
0
防衛なし
政策評価(06,11,24)三井
6
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
前進基地
25000
5000
0
60
-15
近地球基地
20000
4000
0
20
？
0
0
0
0
防衛なし
0.001×20000＋0.004×4000-20
政策評価(06,11,24)三井
7
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
前進基地
25000
5000
0
60
-15
近地球基地
20000
4000
0
20
16
0
0
0
0
防衛なし
政策評価(06,11,24)三井
8
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
前進基地
25000
5000
0
60
-15
近地球基地
20000
4000
0
20
16
0
0
0
0
0
防衛なし
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9
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
表7.1
偶発事象
直径 1km
以上の小惑
星と衝突
直径 20m 以
上 1km 未満
の小惑星と
衝突
直径 20m 以上
の小惑星と衝
突しない
0.001
0.004
0.995
確率
行動
便益
費用
期待純便益
前進基地
25000
5000
0
60
-15
近地球基地
20000
4000
0
20
16
0
0
0
0
0
防衛なし
政策評価(06,11,24)三井
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予防接種事業分析のための意思決定ツリー
葉のでる節
□＝意思決定分岐(node）
○ ＝「（自然による）無作為選択(random selection)の分岐」
＝「機会ノード(chance node)」
V ＝予防接種事業
Vaccination Program
NV ＝予防接種事業なし
予防接種をすると 2 年間にわたりその効果が続くとする。
インフルエンザは、ある年に流行すると、次の年は免疫が残るので流行
しない。
政策評価(06,11,24)三井
11
意思決定ツリー
2年目
1年目
V
1
0
NV
政策評価(06,11,24)三井
2
12
上側の大枝：予防接種事業
C a ＝直接的な行政費（administration cost）
C s ＝有害な副作用の費用（costs of adverse side effects）
Pt ＝第 t 年にインフルエンザが流行（epidemic）する確率
1  Pt ＝第 t 年にインフルエンザが流行しない確率
C e|v ＝予防接種しているときにインフルエンザが流行したときの費用
インフルエンザが流行しなかったときの費用＝ゼロ
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13
意思決定ツリー
1年目
P1
2年目
Ce/v
免疫が残る
2年間にわ
たる効果
1－P1
NV
P2
Ce/v
1－P2
0
V
Ca＋Cs
1
0
0
NV
政策評価(06,11,24)三井
2
14
下側の大枝：予防接種事業なし
Ce|nv ＝予防接種していないときにインフルエンザが流行したときの費用
政策評価(06,11,24)三井
15
意思決定ツリー
1年目
P1
2年目
P2
Ce/v
NV
1－P1
V
0
0
1－P2
0
1－P2
1
Ca＋Cs
V
Ce/v
0
P2
Ce/v
Ca＋Cs
NV
1－P1
2
0
1－P2
0
NV
P1
P2
Ce/nv
政策評価(06,11,24)三井
免疫が残る
Ce/nv
16
意思決定ツリーの解の求め方
将来から現在に向かって（後ろ向きに）解いて行く
「分岐２」における意思決定：
P2 Ce|nv ＝予防接種事業を開始しなかったときの期待費用
Ca  Cs  P2 Ce|v ＝予防接種事業を開始したときの期待費用(全体)
流行確率
仮定： Ca  Cs  P2 (Ce|nv  Ce|v )
この仮定の下では「分岐２」おける最適な意思決定
＝「予防接種事業なし NV 」
流行の有無にかかわらず
生じる予防接種の費用
政策評価(06,11,24)三井
流行したときの予防接種
による費用軽減の便益
17
意思決定ツリー
1年目
P1
2年目
P2
Ce/v
P2Ce/v
NV
1－P1
V
Ca＋Cs P2Ce/v /(1+d)
0
2期目の費
用の割引
NV
現在価値
1－P2
0
1－P2
1
0
V
Ca＋Cs ＋P2Ce/v
Ca＋Cs
P2Ce/nv /(1+d)
1－P1
2
？
0
Ce/v
0
P2
Ce/v
1－P2
0
NV
P2Ce/nv
P1
P2
Ce/nv
政策評価(06,11,24)三井
Ce/nv
仮定： Ca＋Cs >P2(Ce/v - Ce/v)
18
「分岐０」における意思決定：
E[Cv ] ＝予防接種事業を開始したときに生ずる期待費用の現在価値
E[C nv ] ＝予防接種事業を開始しないときに生ずる期待費用の現在価値
d ＝割引率
とすれば、
E[Cv ]  Ca  Cs  P1Ce|v  (1  P1 )P2Ce|v /(1  d )
E[Cnv ]  P1Ce|nv  (1  P1 )P2Ce|nv /(1  d )
である。
E[C nv ] － E[Cv ]
＝予防接種事業における期待純便益の現在価値
政策評価(06,11,24)三井
19
意思決定ツリー
1年目
P1
2年目
P2
Ce/v
P2Ce/v
E[Cv]
NV
1－P1
V
Ca＋Cs P2Ce/v /(1+d)
0
NV
0
V
Ca＋Cs ＋P2Ce/v
Ca＋Cs
P2Ce/nv /(1+d)
1－P1
2
0
E[Cnv]
1－P2
0
1－P2
1
0
P2
Ce/v
1－P2
0
NV
P2Ce/nv
P1
P2
Ce/nv
政策評価(06,11,24)三井
Ce/v
Ce/nv
仮定： Ca＋Cs >P2(Ce/v - Ce/v)
20
2．感度分析
感度分析の３つの方法：
①
部分的感度分析
partial sensitivity analysis
②
最悪・最善ケース分析
worst- and best-case analysis
③
モンテカルロ感度分析
Monte Carlo sensitivity analysis
政策評価(06,11,24)三井
21
① 部分的感度分析
感度分析を綿密に行うためには、重要度の高い想定に関す
る部分的な限界効果を考察する必要がある。
しかしながら、
ここには「鶏が先か卵が先か」という問題が存在する。
つまり、
重要度の高い想定を見分けること自体、感度分析を行う前
にはできない場合が多い。
なぜなら、
想定の重要度は、想定の範囲や想定の変化に対する純便
益の限界的な反応に左右されるからである。
政策評価(06,11,24)三井
22
② 最悪・最善ケース分析
情報が異なる選択に導く潜在的な可能性が大
⇒ 意思決定における情報の価値は大
最悪ケースの純便益がプラス ⇒ 最悪ケースの情報的価値が大
最善ケースの純便益がマイナス ⇒ 最善ケースの情報的価値が大
最悪ケースの分析は次のようなバイアスに対するチェックになる。
•
•
認識上の限界（cognitive limitations）
楽観的予測を生み出す官僚主義的誘因（bureaucratic
incentives）
純便益がパラメーターの非線形関数 ⇒ 注意が必要
政策評価(06,11,24)三井
23
③ モンテカルロ感度分析
＜モンテカルロ分析の３段階＞
1.
重要度の高いパラメーターについての確率分布を指定
2.
各パラメーターの確率分布から無作為抽出を行って得た
パラメーターの値の組を用いて、純便益の実現値を計算
3.
2段階の作業を何回も繰り返して、純便益の実現値を大
量に作り出す。それらの実現値の平均値が純便益の期
待値の推定値になる。また、ヒストグラムを作成すること
で純便益の分布の特徴を捉える。
政策評価(06,11,24)三井
24
3．情報と準オプション価値
科学者が次のような探査装置の開発を提案したとする。
その装置は
1. 大型小惑星と地球が衝突するということを0.01の
確率で教えてくれる。
2. 大型小惑星と地球は衝突しないということを0.999
の確率で教えてくれる。
というものである。
このような「情報の価値」は次のようにしても求められる。
政策評価(06,11,24)三井
25
表7.4
ゲーム１
＝大型小惑星と地球が衝突するという探査結
果がもたらされた場合のゲーム
ゲーム２
＝大型小惑星と地球が衝突しないという探査結
果がもたらされた場合のゲーム
政策評価(06,11,24)三井
26
表 7.4
ゲーム１
費用
ゲーム２
期待
便益
期待
便益
純便益
純便益
偶発
大規模小惑星
中規模小惑
中規模以上と衝
事象
と衝突
星と衝突
突なし
0.004/0.999
0.995/0.999
確率
１
60
前進基地
25000
24940
5000
0
-40.01
20
近地球基地
20000
19980
4000
0
-6.01
0
防衛なし
0
0
0
0
0
政策評価(06,11,24)三井
27
表7.4における期待純便益
＝0.001×24940＋0.999×0＝24.94
情報の価値
＝表7.4における期待純便益
－表7.1における期待純便益
＝24.94－16
＝8.94
である。
したがって、探査装置が8.94(兆ドル)以下であれば、
この装置に投資する価値があることになる。
政策評価(06,11,24)三井
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準オプション価値
意思決定に関係するより良い情報が将来入手可能
であれば、意思決定を遅らせるほうが賢明かもしれ
ない。
準オプション価値
＝取り消し不可能な意思決定を遅らせることによって
得られる情報の期待価値
適切な意思決定問題の定式化
⇒ 準オプション価値の計算
⇒ 正確な期待純便益の計算
政策評価(06,11,24)三井
29
開発に関連した準オプション価値
「開発」のタイミングは第 1 期と第 2 期の 2 回ある。
FD ＝全体の開発（Full Development）
LD ＝限定的な開発（Limited Development）
ND ＝開発せず（No Development）
また、開発は不可逆的であり「ND→LD→FD」とい
う方向しか移行できない。
政策評価(06,11,24)三井
30
第1期
第2期
FD
LD
ND
政策評価(06,11,24)三井
31
事象「低価値(Low Value)」
＝将来世代が自然保護区域の保存に現世代と同じ価値をおく。
事象「高価値(High Value)」
＝将来世代が自然保護区域の保存に現世代より高い価値をおく。
p ＝事象「低価値」の発生確率
1  p ＝事象「高価値」の発生確率
政策評価(06,11,24)三井
32
第1期
第2期
FD
LD
ND
政策評価(06,11,24)三井
33
第1期
第2期
p
FD
p
LD
ND
政策評価(06,11,24)三井
p
34
第1期
第2期
FDを選択すると第2期
← 不可逆性
に選択の余地はない。
p
1－p
FD
p
LD
1－p
ND
p
1－p
政策評価(06,11,24)三井
35
各期の純便益を「開発せず(ND)」を基準に測る。
「低価値」の下で、
B F ＝「 ND → FD 」で生じる純便益
BL ＝「 ND → LD 」で生じる純便益
B F － BL ＝「 LD → FD 」で生じる純便益
「高価値」の下で、
 C F ＝「 ND → FD 」で生じる純便益
 C L ＝「 ND → LD 」で生じる純便益
 (C F  C L ) ＝「 LD → FD 」で生じる純便益
仮定： BF  BL  0  C L  C F
政策評価(06,11,24)三井
36
第1期
第2期
BF － BL
BF
FD
p
－CF
LD
1－p
FD
p
0
BL
FD
LD
0
1－p
ND
－CL
LD
FD
LD
p
0
ND
1－p
0
FD
LD
BF＞BL＞0＞－CL＞－CF
政策評価(06,11,24)三井
－(CF － CL)
BF
BL
0
－CF
－CL
ND
0
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外生的学習(exogenous learning)のケース
• 1期経過後に、どちらの事象が発生したかを確実
に知ることができるとする。
E[ FD]  pBF  (1  p)CF
E[ LD]  p[ BL  ( BF  BL ) /(1  d )]  (1  p)CL
E[ ND]  pBF /(1  d )
QOV  p( BF  BL ) /(1  d )
＝FDでなくLDを選択することで得られる準オプション価値
政策評価(06,11,24)三井
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