スライド 1 - 静岡大学桑原義彦研究室

2.3 無損失線路における反射と定在波
伝送線路の特性インピーダンスと負荷インピーダンスが異なるとき，
受端で入射波の一部が反射し、線路上で入射波と干渉して定在波が
発生する。
2.3.1 反射係数


反射係数：受端での反射電圧 Vr と入射電圧 Vi の比
電圧反射係数


V L  Z0 I L
Vi 
2





Vr

Vi


Vr  Vi


V L  Z0 IL
Vr 
2

VL  Z0 I L




VL  Z0 I L






Z L I L  Z0 I L


Z L  Z0

Z L  Z0


VL  ZL IL
（2.35）
Z L I L  Z0 I L



  e j
（2.43）

→ 0   1

受信端での反射電圧 Vr


 


V r  V i   V i e  j
受端から送端にVr e  jd として戻っていく
（2.44）
例題2.10 Z0=75Ωの無損失線路にZL=50Ωの負荷を接続すると，電圧
反射係数は
50  75

 0.2
50  75


Vi  0.5[V ]

  0.2
ならば
φ=π

V r  0.5  0.2  0.1e  j V 
電流反射係数

 Vr
Ir 
Z0




V
Ii  i
Z0

→
I 
Ir

Ii

 Vr

電圧反射係数




Z0  Z L
（2.45）


Z0  Z L
Vi



Vr

Vi

Z L  Z0

Z L  Z0

I   
2.3.2 定在波と定在波分布
伝送線路の電圧と電流は入射波と反射波を重ね合わせた合成波で表
される。


Vi (d )  V i e jd
定在波：伝播方向の異なる進行波を合成した波


  e
 j

 


V r  V i   V i e
 j
→



Vr d    V i e
 j  d  


 Vi d   e  j 2 d  
（2.46）

線路上の電圧 V (d )




V d   Vi d   Vi d   e  j 2 d  
（2.47）
図2.14(a)のベクトル図を用い

て V (d ) の変化を説明

入射波 Vi (d )を基準ベクトル OC
に取る。 OC は入射波の実効値Vi



 Vi
Cを中心とする半径 Vi  の円を
書く。半直線CRと角度φをなす点A
を取る。

CA は受端d=0での反射電圧 Vr (0)

OA  OC  CA が受端電圧V (0)

受端から距離dの点Pでの電圧V (d )
は点Aから時計方向に2βd回転
したOP 。横軸にd，縦軸にその点での

V (d )の実効値 OP をプロットし、受端
から移動させる：電圧定在波分布

点Pは2βd=2πでベクトル図を1回転する。電圧定在波分布 V (d ) は
d=π/β=λ/2ごとに繰り返される周期関数。

V (d )
Vmin
は点PがNに来たとき最小値，Mに来たとき最大値をとる。






 Vi 1    Vmax  Vi 1   






例題2.11 電圧反射係数が    e  j (φ=π/4)のとき電圧定在波の最小点
  2d N  
d N      / 2  3 / 4 /(2  2 /  )  (3 /16)
  2d M  2
d M  2    / 2  7 / 4 /(2  2 /  )  (7 / 16)
電圧定在波の最大点は
無損失線路上の電流の定在波




電流の入射波と反射波： I i (d )  V i (d ) / Z 0 I r (d )  Vr (d )/ Z 0





Vi d  Vi d    j 2 d  



I d   I i (d )  I r (d ) 

e
(2.49)
Vr d   Vi d   e  j 2 d  
Z
Z
0




Z 0 I d   Vi d   Vi d   e  j 2 d  
(2.50)
0

入射波Vi (d ) は OC


反射波  Vi d   e  j 2 d   は CQ
定在波分布は図2.14の点線となる

Z 0 I d の定在波分布は，電圧の
定在波分布を電源側にλ/4移動
させたもの。

電流の定在波分布 I i (d ) の最大値と最小値
I min

Vi 


1   
Z0 

I max

Vi 


1    (2.51)
Z0 

2.3.3 定在波分布の例
[1] 整合が取れた線路

のとき(2.43)より
Z L  Z0



Z L  Z0

Z L  Z0

 0 V (d )  0
r

V (d )  V i (d )  Vi
電圧定在波分布は線路上で一定。
[2] 受端開放線路


ZL    

 1

1 Z0 / Z L

1
1 Z0 / Z L

でφ=0．電圧 V (d )
は
Mから始まりその点で最大値２Vi，
点Nで最小値0を取る。
[3] 受端短絡線路

ZL  0


Z L  Z0

 1
Z L  Z0

 1

でφ=π。

電圧 V (d ) は点Nから始まり
その点で最小値０，点Mで最大値
２Vi を取る。
[4] ZL=3Z0の線路

3Z 0  Z 0

 0.5   0.5
3Z 0  Z 0

でφ=０

電圧 V (d ) は点Mから始まり
その点で最大値1.5 Vi ，点Nで最
小値0.5Vi を取る。
[4] ZL=Z0/3の線路

Z0 / 3  Z0

 0.5   0.5
Z0 / 3  Z0


でφ=π
電圧 V (d ) は点Nから始まりその点で最小値0.5Vi，点Mで最大値1.5 Vi
例題2.12 Z0=300Ωの無損失線路にZL=200Ωの負荷を接続。
送端にf=300MHzでVi=15Vの電圧を加える。
(1) 波長は式(1.2)から   300/ f [MHz]  1m
(2)電圧反射係数は


200  300
 0 . 2
200  300
(3)電圧と電流の定在波分布
Vmin






 Vi 1     12[V ] Vmax  Vi 1     18[V ]




I min

Vi 
 15

 0.8  40[mA]
1    
Z0 
 300

Vi 
 15
I max  1    
1.2  60[mA]
Z0 
 300
2.3.4 電圧定在波比(VSWR)
伝送線路の電圧または電流の反射の程度を示す量。電圧定在波分布
の最大値と最小値の比。

V
S  max 
Vmin
1 

1 
1
(2.52)

 0

のときS=1，
 1
のときS=∞
S  1   S  1    S  1 (2.53)




1   S  1  




S 1
反射損失：入力電力Piと伝送電力Pの比（dBで表すことが多い）
P
M i 
P
Pi
1
( S  1) 2
( S  1) 2




2
2
2
2

4S
( S  1)
( S  1)  ( S  1)


1    1 


( S  1) 2


1
 2

Pi 1   




例題2.14 S=2のとき反射係数の絶対値は


S 1
 0.333
S 1
反射損失は
( S  1) 2 9
M
  1.125
4S
8
入射電力が9mWのとき
M
Pi
P
P
Pi
 8mW
M
(2.54)
2.4 損失を考慮した伝送線路
R<<ωL, G<<ωCの線路を考える。
2.4.1 伝播定数と特性インピーダンス


R  jL G  jC  
 j LC 1 



R 
G 
R 
G 
 jC 1 
  j LC 1 
1 

jL1 
jL 
jC 
jL 
jC 




 CR  GL 
1 R G
R G
1  R G 


1 




j

LC
1



j

LC





j  L C  jL jC
j 2  L C  
j 2LC 


第3項を省略し 1  x  1  x 2 の近似を使用
 CR  GL 
j LC
  j LC 
CR  GL  CR  GL  j
j LC 1 


j 2LC 
j 2LC
1
C
L

  j LC
 R
G
2
L
C 
↑減衰定数α
Z0 
R  jL

G  jC
2 LC
(2.57)
↑位相定数β
jLR / jL  1
L

jC G / jC  1
C
(2.58)
(2.56)
LC
位相定数βと特性インピーダンスZ0は無損失の伝送線路と同じ。
減衰定数αはZ0を用いると

1
C
L  1 R


  R
G
 
 GZ 0 

2
L
C  2  Z0

(2.59)
第1項は導体損，第2項は誘電損である。

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