電気回路学講義ノート

理想線路
R = G = 0 と仮定すると、無損失(a = 0)かつ無歪となり、理想線路と呼ばれている
  a  j  ( R  jL)( G  jC )    2 LC  j LC
よって、 a  0,    LC ,
R  jL
L

G  jC
C
また、 Z 0 
減衰極小条件
R と G を一定として L および C を変化させた場合に、a が極小になる条件は、
 をL または C で微分して、
 a
 j G  jC
j

j


L L
L
2 R  jL 2Z 0
Z0 
R 1  j ( L / R)

G 1  j (C / G)
従って、 Z 0 
であるから、
a
 0 となるためには、Z0は実数
L
L C

R G
R
L

G
C
であれば、Z0は実数となる
a min  RG,    LC
 a
 j R  jL
j


j


Z0 となり、
C で微分した場合も同様に、
C C
C
2 G  jC
2
上記の条件が満足されればa が極小になる
無歪線路
f(t)
g(t)
t
A0
t0
t
g (t )  A0 f (t  t0 )
無歪線路の条件
(ⅰ) 減衰定数(或いは増幅利得)が周波数に無関係に一定 (A0は周波数に依らない)
(ⅱ) 位相定数は周波数に比例する (或いは、位相速度 vp が一定である)

2


2 f 

vp
vp
伝送線路のパラメータとしてこの条件を与えるには、
・ a が一定
・  が  に比例
・ Z0が一様
一様でないと不連続点で反射が起こる
t
L C
 は無歪の条件でもある
R G
Z01
Z02
+
Z03
t
t
装荷線路
装荷ケーブル
L
C

通常の架空伝送線路では、Gが非常に小さいため
となり、無歪や減
R
G
L C

衰極小条件からは大きくかけ離れたものとなっている。そこで、
に近
R G
づけるために、線路の途中に L を装荷したものを装荷ケーブルと言い、伝送距
離を大きく延ばすことができたために、真空管が発明される以前には広く使わ
れていた。しかし、真空管による電気信号の増幅が可能になってからは、次第
に下記の無装荷ケーブルに置き換わっていった。現在ではさらに同軸ケーブル
による伝送が主流となっている。
L
L
L
L
無装荷ケーブル
松前重義氏がその発明と実用化に大きく貢献
興味がある方は、以下のページを参照
http://www.u-tokai.ac.jp/about/movie/history/index.html
松前重義 1901-1991
複合線路
2種類の線路の縦続接続
I0
I1(x)
Z01 1
V1(x)
+x
V0
I1 I1

1
V
Z01 1
V2(x)
I1 ( x )  I e
 2 x
2
I 2 ( x)  I e
  1 x
1
I e
  2 x
2
I e
ZL

1
V
および
I 2 I 2

2
電圧および電流
ベクトルの方向
V

2
V
V1 ( x)  V1 e 1 x  V1 e  1 x , V2 ( x)  V2 e 2 x  V2 e  2 x
 1 x
1
Z02 2
x=0
各々の線路上の電圧、電流
接続点(x = 0)での
電圧、電流
I2(x)
Z02 2
電圧波および電
流波の進行方向
ただし、 V1  V1  V2  V2  V0
V1  1 x V1  1 x

e 
e ,
Z 01
Z 01
V1 V1
I I 

Z 01 Z 01
V2  2 x V2  2 x

e 
e
Z 02
Z 02
V2 V2
I I 

 I0
Z 02 Z 02

1
(9.1)式
(9.2)式

1

2

2
複合線路
負荷インピーダンス ZLが第二の線路の特性インピーダンス Z02に等しいか、
或いは第二の線路が無限に長いとき、第二の線路上に反射波はない。

1
I

1
I0
I
V1
V1
Z01 1
I 2

V0 V2
Z02 2
Z02
x=0



従って、 V1  V1  V2  V0 ,
両式より V2 , I 2 を消去すると、
V1 Z 02  Z 01

Γ

V1
Z 02  Z 01
I 2  0
V1 V1
V2



I1  I1 

 I2 
 I0
Z 01 Z 01
Z 02
電圧反射係数


両式より V1 , I1 を消去すると、
2Z 02
V2

 1 Γ

V1
Z 02  Z 01
即ち、
V2  0
電圧透過係数
I1
V1
    Γ

I1
V1
電流反射係数
( I1  V1 / Z0 , I1  V1 / Z0 )
2Z 01
I 2 V2 / Z 02


 1 Γ


I1 V1 / Z 01 Z 02  Z 01
電流透過係数
複合線路
接続点における電圧 V0および電流 I0によって、各線路上の電圧および電流を表せば、
V2  V0 , V2  0, I 2  I 0 , I 2  0 より、
V1  V0 /(1  Γ ), V1  ΓV0 /(1  Γ )
I1  I 0 /(1  Γ ), I1   ΓI 0 /(1  Γ )
上式を(9.1)式、(9.2)式に代入して、
V1 ( x) e 1 x  Γe  1 x

,
V0
1 Γ
V2 ( x)
 e 2 x ,
V0
I1 ( x) e 1 x  Γe  1 x

I0
1 Γ
I 2 ( x)
 e 2 x
I0
入射電流波
入射電圧波
反射電流波
反射電圧波
一様な線路上の任意の点には入射波と反射波が存在するかも知れないが、一様な
線路の途中で反射波が生じることはなく、その反射波は、線路の不連続点(受電端と
か接続点とか)において発生した反射波が、その点を通って送電端の方へ戻っていく
途中のものである。
3種類の線路の縦続接続
x=0
Z01 1
l
Z02 2
x=-l
G23
Z03 3
Zi
各線路上の電圧 Vn(x) (n = 1, 2, 3)および電流 In(x) (n = 1, 2, 3)は、
Vn ( x)  Vne n x  Vne n x , Z0n I n ( x)  Vne n x Vne n x
負荷を第 3の線路の特性インピーダンス Z03に等しいとすると、
第2と第3の線路の接続点(x = -l)における反射係数 G23は、
Γ 23 
Z 03  Z 02
Z 03  Z 02
第1と第2の線路の接続点(x = 0)より右を見たインピーダンス Ziは、
1  Γ 23e2 2 l
V2 (0)
Zi 
 Z 02
I 2 (0)
1  Γ 23e2 2 l
Z03
無反射
3種の線路の縦続接続
従って、x = 0の点において、第1の線路から見た反射係数 G は、
Z i  Z 01 Γ12  Γ 23e 2 2 l
Γ

Z i  Z 01 1  Γ12 Γ 23e 2 2 l
ただし、 Γ12 
Z 02  Z 01
Z 02  Z 01
Γ 23e  2 2 l
 Γ12  (1  Γ12 )
(1  Γ12 )
1  Γ12 Γ 23e 2 2 l
 Γ12  (1  Γ12 ){e  2 l Γ 23e  2 l  e  2 l Γ 23e  2 l ( Γ12 )e  2 l Γ 23e  2 l  }(1  Γ12 )
3種の線路の縦続接続
Γ  Γ12  (1  Γ12 ){e 2 l Γ23e 2 l  e 2 l Γ23e 2 l ( Γ12 )e 2 l Γ23e 2 l  }(1  Γ12 )
ただし、 Γ12 
Z 02  Z 01
Z 02  Z 01
Γ 23 
Z 03  Z 02
Z 03  Z 02
l
Z01 1
送電端より
1次反射
2次反射
3次反射
Z02 2
x=0
1
 (1  Γ12 )
 Γ12
 (1  Γ12 )
 (1  Γ12 )
 ( Γ12 )
Z03 3
Z03
x=-l
e
 2 l
e
 2 l
受電端へ
 Γ 23
 e  2 l
e
 ( Γ12 )
G23
 2 l
 Γ 23
 e  2 l
 Γ 23
 (1  Γ 23 )
1次伝達波
 (1  Γ 23 )
2次伝達波
 (1  Γ 23 )
3次伝達波
複合線路と縦続行列
l1
l2
Z01, 1
 A B   A1

  
 C D   C1
B1  A2

D1  C2
Z02, 2
cosh  1 l1
B2  
   1
sinh  1 l1
D2  
Z
 01
A1
B1
A2
B2
C1 D1
C2
D2
Z 01 sinh  1 l1  cosh  2 l2
 1
cosh  1 l1 
sinh  2 l2
Z
 02
Z 02 sinh  2 l2 

cosh  2 l2 

インピーダンス整合
例 9.1.1 特性インピーダンスが Z01および Z02の線路の間に、特性インピーダンス Z0,
伝搬定数 0 = j, 長さ l の無損失線路を挿入し、
l
Z0, 0
Z01, 1
Z1
Z02, 2
Z2
Z01の線路との接続点から右方を見たインピーダンスを Z1
Z02の線路との接続点から左方を見たインピーダンスを Z2
Z1  Z 0
Z 02  Z 0 j tan  0l
Z 02 j tan  0l  Z 0
Z2  Z0
Z 01  Z 0 j tan  0l
Z 01 j tan  0l  Z 0
ここで、l = /4であるように長さを定めれば、  l 
Z 02
Z1 
Z 02
2  

であるから、
 4 2
Z 02
Z2 
となり、 Z02  Z01Z02 のとき、 Z1  Z01
Z 01
これを、インピーダンス整合と呼ぶ
Z 2  Z 02 となる
無損失線路の伝送式
Ix
Z0

I0
V0
Vx
x
Vx  V0 cosh x  Z 0 I 0 sinh  x
Ix 
x=0
V0
sinh  x  I 0 cosh x
Z0
p.170 式(8.25)
R = G = 0の線路、即ち無損失線路では a = 0より、 = jとなり、
任意点 x (受電端をx = 0)における電圧、電流は以下の式で与え
られる。ただし、V0, I0は受電端の電圧、電流
Vx  V0 cos  x  jZ0 I 0 sin  x
I x  j (V0 / Z 0 ) sin  x  I 0 cos  x
cosh jx  cosx
sinh jx  j sin x
の公式を使用した
入射波と反射波成分で表せば、
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
1
1
Z 0 I x  (V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
Vx 
p.169 式(8.23)参照
無損失線路の伝送式
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
1
1
Z 0 I x  (V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
Vx 
上式を、受電端における電圧反射係数 Γ 0 
反射波
入射波
Vx Vx  Z 0 I x
  
Vx Vx  Z 0 I x
Γx 
(8.48)式
V0  Z 0 I 0
で表せば、
V0  Z 0 I 0
Vx  Vx (1  Γ 0 e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0 e  j 2  x )
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0 e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0 e  j 2  x )
(8.22)式, (8.19)式参照
ただし、
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
1
V0  (V0  Z 0 I 0 )
2
Vx 
(点 x における入射電圧波)
(受電端 x = 0 における入射電圧波)
無損失線路の伝送式


また、点 x における反射係数 Γ x  Vx / Vx は、
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
(点 x における入射電圧波)
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
(点 x における反射電圧波)
を用いて表せば、
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x

Vx
V0 e  j x
2
Γx   
  j x  Γ 0e  j 2  x
1
Vx
V0 e
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
線路上の電圧、電流の円線図
j
受電端の反射係数G0を極形式で表すと、 Γ0  Γ0 e
Vx  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )
Γ0 は絶対値、　 は偏角
Γ0  1
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )

Vx と Z0Ix とを、Vx を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。
Vx Γ0 e j ( 2 x )
Z0 I x
0
Vx
2 x  
Vx
Vx Γ0 e j (2 x )
VxがZ0Ixに対して位相が進んでいる場合: 誘導性、遅れている場合: 容量性
線路上の電圧、電流の円線図
x の場所を動かしていくと、下図のように Vx と Z0Ix とが同相になることがある。
この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵抗 R になる。
0
( Z 0 I min )
Z0 I x
Vx
0
(Vmin )
Vx
Vx
Vx
(Vmax )
Zx 
Z0 I x
( Z 0 I max )
Vx Vmax

 Rmax
I x I min
Zx 
Vx Vmin

 Rmin
I x I max
この時、 Vx と Z0Ix は、最大値(Vmax, Z0Imax)或いは最小値(Vmin, Z0Imin)をとる
Vmax  Z0 I max
Vmin  Z 0 I min
より、
Rmax Rmin 
Vmax Vmin Z 0 I max Z 0 I min



 Z 02
I min I max
I min
I max
線路上の電圧、電流の円線図
2つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
x = x2
x = x1
Vx1
Z0 I x2
Vx2
0
Vx1
0


Vx 2
Z 0 I x1
Z 0 I max
Vmax
Vmax
Z0 I x
2点間の距離は、
Vx
Z 0 I min
Z 0 I min
Vmin
x2  x1 
ZL
Z0
x2
/4
x1
x=0
   


2 2 2 4
線路上の電圧、電流の円線図
先の円線図の関係より、
Vx1
Z I
 0 x2
Z 0 I x1
Vx 2
Z x1 Z 0
Z0


或いは、
Z 0 Z x 2 Z ( x1 / 4)
従って、/4だけ離れた各々の点から受電端の方を見た2つのインピーダンスは、
互いに逆回路の関係にある
さらに、
Z x1  Z0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z 0  Z ( x1 / 4)
Γ x1 



  Γ ( x1 / 4)
Z x1  Z 0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z0  Z( x1 / 4)
より、 /4だけ離れた2点における反射係数の符号は反対になる
大きさについては、無損失線路の場合、線路上至るところで Γ x1  Γ x 2
Γ0  0 (ZL = Z0)の場合
0
Z0 I x
Vx
Vx
Γ0  1
(ZL = jX)の場合
Z0 I x
0
Vx
Vx
定在波比
無損失線路の受電端に任意の負荷 ZL を接続すると、線路上の電圧 Vx および
電流 Ix は、/4間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大(小)値となる
点では電流が最小(大)値をとる。
Vmax
Z 0 I max
Vmax
定在波比 (SWR または VSWR)
Z0 I x
Vx
SWR 
Vmin
Z 0 I min
Z 0 I min
/4
SWR: Standing Wave Ratio
ZL
Z0
/4
Vmax I max

Vmin I min
VSWR: Voltage Standing
Wave Ratio
x=0
定在波比SWRと反射係数G0との関係は、


1  V0 / V0 1  Γ 0
Vmax Vx  Vx
SWR 
 





Vmin Vx  Vx
1  Γ0
1  V0 / V0
0  Γ0  1
1  SWR  
定在波による負荷の測定
無損失線路(a = 0)の受電端 x = 0に負荷 Zrを接続したとき、線路上の任意の点より
負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、
Zx 
Vx V0 cos x  jZ 0 I 0 sin x Z r cos x  jZ 0 sin x
Z  jZ 0 tan x


 Z0 r
Ix
jZ r tan x  Z 0
V 
Z 
j 0  sin x  I 0 cos x j r  sin x  cos x
 Z0 
 Z0 
Rmax  Z 0  SWR  Z 0
Z r  jZ 0 tan xmax
jZ r tan xmax  Z 0
よって、 Z r  Z 0
Vmax
Vmax
さらに、
Zr  Z0
Vmin
Z0
j
Zr
xmin
xmax x = 0
SWR  j tan  xmax
1  j SWR  tan  xmax
1  j SWR  tan  xmin
SWR  j tan  xmin
Z0と の値が既知の線路を用いて、
SWRと xmax 或いは xminを測定する
ことにより、Zrの値を求めることが
できる
電気回路学I演習
2012/1/13 (金)
※ 1/19の出席レポート問題です。〆切: 1/26(木)
分布定数線路(その1)
(Z0 , V0 , a,  はいずれも正の実数)
分布定数線路
受電端
Zg
+
Z0 ,   a  j 
電源

x0
xl
問1. 上の回路の受電端に負荷 Z0 を接続したところ、負荷の両端にフェーザ電圧
V0 が現れた。 x=l の位置での電圧 V(l) と電流 I(l) を Z0, V0,  の式で表せ。
問2. 受電端を短絡した。受電端及び x=l の地点での
V x
V x
と
I x
I x
を求めよ。
問3. 受電端にキャパシタ jC を接続したところ、x=l の位置における駆動点イン
ピーダンスが 0W になったという。 l はいくらか。(ただし a=0 とする。)
問4. 下図の2つの回路のインピーダンス Z1 と Z2 が等しくなる条件を求めよ.
ただし線路は無損失( a=0 )とする.
l2
l1
Z0 , 
Z1
jL
l1
Z0 , 
Z2
開放
最終回出席レポート問題
特性インピーダンス Z0 = 300[Ω] の無損失線路が、負荷インピー
ダンス ZLで終端されている。負荷から1/4波長離れた点から負荷
を見たインピーダンス Z を測定したところ、Z = 200 + j150[Ω]で
あった。ZLはいくらか。
※ 〆切: 2/3(金)までに研究室に持参か、私のメールボックスに投函のこと
1/12出題レポート問題の解説
全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見たイ
ンピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から見た
アドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、特性イ
ンピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンスX、サセプタンスBを求めよ。
400km
Il
V0 = 0
ZS = j250 Ω
Vl

短絡
Z0
l = 400km
I0 = 0

Yo = j1.5×10-3 Ʊ
 cosh  l
Vl  
 I    1 sinh  l
 l
 Z0
Z 0 sinh  l 
 V0 
cosh  l   I 0 

V0 = 0 のとき
開放
Z0
Zs 
I0 = 0 のとき Yo 
Il
Vl
Vl
Il
 Z 0 tanh l  j 250W
V0  0

I 0 0
1
tanh l  j1.5 103 W 1
Z0
1/12出題レポート問題の解説
従って、
Z 0  Z s Yo  408W
また、
ZsYo  tanh l   0.375 より、
2
tanh l  tanh(a  j ) l  j 0.375 従って純虚数となるためには、α = 0でなければならず、
1
よって、 γ ≈ j1.37×10-6 m-1
   tan 1 0.375
l
α = 0ということは、R = G = 0、つまり、無損失線路である
tanh(jl )  j tan l  j 0.375
従って、
Z0 
R  jX

G  jB
X
 408W
B
  (R  jX )(G  jB)   XB  j XB  j1.37106 m1
上式を解いてやれば、X= 0.56 Ω/km、 B= 3.4×10-6 Ʊ/km が求まる

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