ディジタル信号処理 Digital Signal Processing 第８講 伝達関数とシステムの安定性 2.4 伝達関数と回路 • システムの入出力関係について，インパルス 応答との畳み込み和で表現できるが，内部構 造の考察には適していない。 • 差分方程式は内部構造を考慮した入出力関 係の表現法だが，特性の考察には便利でな い。 • 伝達関数はシステムの内部構造と特性の両 方を考察するのに適した入出力の表現方法 である。 2.4.1 伝達関数（ Transfer Function ） フィルタの伝達関数 標準形構造のディジタルフィルタの出力方程式は， 伝達関数＝Z[インパルス応答]＝Ｚ[ｈ(nT)]＝H(z) • 一般に，IIRシステムの伝達関数は，ｚ-1に関 する有理関数となり，FIRシステムではｚ-1に 関する多項式になる。 • 伝達関数に現れるｚ-1に関する最高の冪数を システムの次数とよぶ。 • 差分方程式の次数とシステムの次数は同じ 値である。 次数の例 （１）差分方程式 ｙ(nT)＝ｘ(nt)＋ｂｙ(nT-T) この系の伝達関数 システムの次数は１である。 （２）ｙ(nT)＝ａ0ｘ(nT)＋ａ1ｘ(nT-T)＋ａ2ｘ(nT-2T) G(z)＝H(z)＝ａ0＋ａ1ｚ-1＋ａ2ｚ-2 システムの次数は２である。 例題2.16 （１）インパルス応答→伝達関数 （２）システムの次数 （３）ステップ応答 ｈ(nT)＝３δ(nT)＋２δ(nT-T)＋δ(nT-2T) 例題2.17 伝達関数→インパルス応答 伝達関数の極と零点 • 一般に伝達関数は上式のように表すことがで きる。 • Ｄ(z)＝０の解を極という • Ｎ(z)＝０の解を零点という。 • ｚ＝∞をひとつの零点と考えると，極の数と零 点の数は同じである。 例１ 極と零点 FIR形の伝達関数 Ｄ(z)＝ｚNとなり，Ｎ個の極が原点にある FIR系の伝達関数は，すべての極が原点に存在する。 例１の続き 全零形伝達関数 FIR形の伝達関数を ｚ-1＝ω と置き直すと となるが，ωの関数として極と零点を計算する と，ω平面の有限の所には零点しか存在しない （極はすべて∞） FIR形の伝達関数のことを全零形伝達関数と いう 例２ 極と零点 IIR形の伝達関数 IIR形の場合には， ｚ-1＝ω と置き直すと となり， ω平面の有限の所には極しか存在しな い（零点はすべて∞） これを全極形伝達関数と呼ぶ 例題2.18 極と零点を求める 例題2.19 極と零点を求める 2.4.2 周波数特性と正弦波定常応答 ∞ • Ｘ（ｅｊωＴ）＝Σ ｘ(nT)ｅ－ｊωＴ n=0 2.4.3 回路 • 遅延要素，加算器，乗算器 • 回路：システムの内部構造をブロック図で表 したもの 2.5 システムの安定性 例題2.22 伝達関数が式（2.144）で示されるシステム の安定性を調べる
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