電気回路学講義ノート

電気回路学
Electric Circuits
情報コース4セメ開講
分布定数回路
山田博仁
無損失線路の伝送式
Ix
Z0
g
I0
V0
Vx
x
Vx  V0 coshg x  Z 0 I 0 sinh g x
Ix 
x=0
V0
sinh g x  I 0 coshg x
Z0
p.170 式(8.25)
R = G = 0の線路、即ち無損失線路では a = 0より、g = jとなり、
任意点 x (受電端をx = 0)における電圧、電流は以下の式で与え
られる。ただし、V0, I0は受電端の電圧、電流
Vx  V0 cos  x  jZ0 I 0 sin  x
I x  j (V0 / Z 0 ) sin  x  I 0 cos  x
cosh jx  cosx
sinh jx  j sin x
の公式を使用した
入射波と反射波成分で表せば、
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
1
1
Z 0 I x  (V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
Vx 
p.169 式(8.23)参照
無損失線路の伝送式
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
1
1
Z 0 I x  (V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
Vx 
上式を、受電端における電圧反射係数 Γ 0 
反射波
入射波
Vx Vx  Z 0 I x
  
Vx Vx  Z 0 I x
Γx 
(8.48)式
V0  Z 0 I 0
で表せば、
V0  Z 0 I 0
Vx  Vx (1  Γ 0 e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0 e  j 2  x )
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0 e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0 e  j 2  x )
(8.22)式, (8.19)式参照
ただし、
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
1
V0  (V0  Z 0 I 0 )
2
Vx 
(点 x における入射電圧波)
(受電端 x = 0 における入射電圧波)
無損失線路の伝送式


また、点 x における反射係数 Γ x  Vx / Vx は、
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
(点 x における入射電圧波)
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
(点 x における反射電圧波)
を用いて表せば、
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x

Vx
V0 e  j x
2
Γx   
  j x  Γ 0e  j 2  x
1
Vx
V0 e
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
線路上の電圧、電流の円線図
j
受電端の反射係数G0を極形式で表すと、 Γ0  Γ0 e
Vx  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )
Γ0 は絶対値、　 は偏角
Γ0  1
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )

Vx と Z0Ix とを、Vx を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。
Vx Γ0 e j ( 2 x )
Z0 I x
0
Vx
2 x  
Vx
Vx Γ0 e j (2 x )
VxがZ0Ixに対して位相が進んでいる場合: 誘導性、遅れている場合: 容量性
線路上の電圧、電流の円線図
x の場所を動かしていくと、下図のように Vx と Z0Ix とが同相になることがある。
この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵抗 R になる。
0
( Z 0 I min )
Z0 I x
Vx
0
(Vmin )
Vx
Vx
Vx
(Vmax )
Zx 
Z0 I x
( Z 0 I max )
Vx Vmax

 Rmax
I x I min
Zx 
Vx Vmin

 Rmin
I x I max
この時、 Vx と Z0Ix は、最大値(Vmax, Z0Imax)或いは最小値(Vmin, Z0Imin)をとる
Vmax  Z0 I max
Vmin  Z 0 I min
より、
Rmax Rmin 
Vmax Vmin Z 0 I max Z 0 I min



 Z 02
I min I max
I min
I max
線路上の電圧、電流の円線図
2つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
x = x2
x = x1
Vx1
Z0 I x2
Vx2
0
Vx1
0


Vx 2
Z 0 I x1
Z 0 I max
Vmax
Vmax
Z0 I x
2点間の距離は、
Vx
Z 0 I min
Z 0 I min
Vmin
x2  x1 
ZL
Z0
x2
/4
x1
x=0
   


2 2 2 4
線路上の電圧、電流の円線図
先の円線図の関係より、
Vx1
Z I
 0 x2
Z 0 I x1
Vx 2
Z x1 Z 0
Z0


或いは、
Z 0 Z x 2 Z ( x1 / 4)
従って、/4だけ離れた各々の点から受電端の方を見た2つのインピーダンスは、
互いに逆回路の関係にある
さらに、
Z x1  Z0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z 0  Z ( x1 / 4)
Γ x1 



  Γ ( x1 / 4)
Z x1  Z 0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z0  Z( x1 / 4)
より、 /4だけ離れた2点における反射係数の符号は反対になる
大きさについては、無損失線路の場合、線路上至るところで Γ x1  Γ x 2
Γ0  0 (ZL = Z0)の場合
0
Z0 I x
Vx
Vx
Γ0  1
(ZL = jX)の場合
Z0 I x
0
Vx
Vx
定在波比
無損失線路の受電端に任意の負荷 ZL を接続すると、線路上の電圧 Vx および
電流 Ix は、/4間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大(小)値となる
点では電流が最小(大)値をとる。
Vmax
Z 0 I max
Vmax
定在波比 (SWR または VSWR)
Z0 I x
Vx
SWR 
Vmin
Z 0 I min
Z 0 I min
/4
SWR: Standing Wave Ratio
ZL
Z0
/4
Vmax I max

Vmin I min
VSWR: Voltage Standing
Wave Ratio
x=0
定在波比SWRと反射係数G0との関係は、


1  V0 / V0 1  Γ 0
Vmax Vx  Vx
SWR 
 





Vmin Vx  Vx
1  Γ0
1  V0 / V0
0  Γ0  1
1  SWR  
SWR計測
入射波
反射波
方向性結合器
反射波電力
入射波電力
SWR計測の原理
入射波電力を読む
反射波電力を読む
各種SWRメータ(アマチュア無線用)
定在波による負荷の測定
無損失線路(a = 0)の受電端 x = 0に負荷 Zrを接続したとき、線路上の任意の点より
負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、
Zx 
Vx V0 cos x  jZ 0 I 0 sin x Z r cos x  jZ 0 sin x
Z  jZ 0 tan x


 Z0 r
Ix
jZ r tan x  Z 0
V 
Z 
j 0  sin x  I 0 cos x j r  sin x  cos x
 Z0 
 Z0 
Rmax  Z 0  SWR  Z 0
Z r  jZ 0 tan xmax
jZ r tan xmax  Z 0
よって、 Z r  Z 0
Vmax
Vmax
さらに、
Zr  Z0
Vmin
Z0
j
Zr
xmin
xmax x = 0
SWR  j tan  xmax
1  j SWR  tan  xmax
1  j SWR  tan  xmin
SWR  j tan  xmin
Z0と の値が既知の線路を用いて、
SWRと xmax 或いは xminを測定する
ことにより、Zrの値を求めることが
できる
出席レポート問題
特性インピーダンス Z0 = 300[Ω] の無損失線路が、負荷インピー
ダンス ZLで終端されている。負荷から1/4波長離れた点から負荷
を見たインピーダンス Z を測定したところ、Z = 200 + j150[Ω]で
あった。ZLはいくらか。
※ 今回が最終回となります。次回の講義の日(1/22)までに私のメールボッ
クスに投函か、講義に持参のこと
最後に
以上で、今セメの電気回路学の講義は終了です
半年間ご聴講いただき、ありがとうございました
なお来週は、試験直前対策として、要点のまとめをします

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