ディジタル信号処理 Digital Signal Processing 第１９講Ｚ変換（２） 2.3.2 逆ｚ変換法 • z変換 x(nT)・・→Z[x(nT)]→X(z) • 逆z変換 X(z)・・→Z-1[X(z)]→x(nT) （１）部分分数展開法 P1(z) P2(z) P3(z) Pm(z) • X(z)= ＋＋＋・・・・＋ Q1(z) Q2(z) Q3(z) Qm(z) のとき，逆変換は m Z-1[X(z)]= Σ Z-1[ i=1 Pi(z) Qi(z) m ] = Σ xi(nT) i=1 例題2.13 逆ｚ変換を求めよ部分分数に展開して逆変換は例題2.14 部分分数展開により逆ｚ変換を求めよ分子を分母で割った後，部分分数展開すると従って逆ｚ変換は例 X(z)=（1-e-αT）／{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ z z X(z)= z-1 z-e-αT 表より x(nT)=U0(nT) -e-αT （２）連続除法（冪級数展開法） • Z(z)= a0+a1z-1+a2z-2+・・・・+aMz-M b0+b1z-1+b2z-2+・・・・+bNz-N を展開して Z(z)=c0+c1z-1+c2z-2+・・・・+cM-Nz-(M-N) を得ると，次式が得られる。例 X(z)=（1-e-αT）／{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ冪級数展開すると X(z)=（1-e-αT）z-1+ （1-e-2αT）z-２+ （1-e-3αT）z-３+････+ （1e-nαT）z-1+・・・・ ∴ x(nT)= 1-e-nαT ４枚前の例と比べると， U0(nT) が1に変わっているが同じ結果である。留数定理による逆ｚ変換教科書外極 • 解析関数の孤立特異点の一種で、その点の周りでの関数のローラン展開の主要部（負べきの項）が有限項となるような点を極という。 • 特異点（singularity）は、ある基準 (regulation) の下、その基準が適用できない (singular な) 点である。したがって、特異点は基準があって初めて認識され、「 - に於ける特異点」「に関する特異点」という呼ばれ方をする。特異点という言葉は、数学と物理学の両方で用いられる。 • 複素解析における正則関数の正則性 (regularity) に関する特異点とは、複素関数で微分不可能な点をさす。具体的には、可除特異点 (removable singularity)、極 (pole)、真性特異点 (essential singularity) の3種の孤立点がある。有理関数 1/x に於ける特異点は、x = 0 であり、これは 1 位の極である。関数の特異点 • 数学において、特異点とは一般に、与えられた数学的な対象が定義されない点、または微分可能性のように、ある性質が保たれなくなるような例外的な集合に属する点をいう。 • 例えば、関数 f(x)=1/x は x = 0 で ±∞ に発散し、定義されないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 • 絶対値関数 g(x) = | x | は x = 0 で微分できないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 • また、y2 = x で定義されるグラフは、点 (0,0) で垂直な接線を持つので特異点であるという。 • (x,y) 座標系の y2 = x2 で定義される代数集合は、点 (0,0) で接線を持たないので特異点であるという。留数について • 解析学において、解析関数 f(z) の孤立特異点 z = a における微分形式 f(z)dz の留数（りゅうすう、residue） Res[f, a], Resz=af(z) とは、以下の積分値である：ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円（実際には、積分路は、それが複素数平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。留数の計算方法 • 孤立特異点 z = a が f(z) の n 位の極であるなら、 (z − a)nf(z) は正則で、とくにとテイラー展開されるので、つぎのように計算される。留数定理 • 単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a1, a2, ････, an をもち、それ以外で正則であるならば、が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理(residue theorem)と呼ぶ。（３）留数定理 P(z) X(z)= Q(z) ki Q(z)=Π(z-z ) , とすると i コーシーの留数定理から x(nT)= 1 ∮ΓX(z)zn-1dz 2πj ={X(z)zn-1の極ziにおける留数Riの和} (5.11) ただし，ΓはX(z)のすべての極を含む反時計回りの周回積分路 ziがｍ位の極（ｋｉ=m）であるときその留数Riは例 X(z)=（1-e-αT）／{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ • 極は z-1=0 と z-e-αT =0・・・・ともに1位の極 • 留数は (1) z=1 のとき (2) z=e-αT のときよって留数定理による逆ｚ変換終わり 2.3.3 ｚ変換のシステム解析への応用参考資料零状態応答と零入力応答また，別の資料では引用終わり • 零状態応答：入力（が入ってきたり，変化したとき）に対する応答。初期状態には左右されない。 • 零入力応答（自由応答）：初期状態に対する応答。入力信号の有無には左右されない。システムの応答を求める下図はフィルタの一般的な構造である前図のシステムを差分方程式で表現するととなるが，この差分方程式の解がｚ変換を用いて容易に求められることを示す教科書例えば，差分方程式が次式の場合 p.33 ｚ変換するとが得られ，これをＹ(z)について解くと，次式が得られる (2.94) これを逆ｚ変換すれば，システムの応答が求められる上式の第1項は零状態応答，第2項は零入力応答とよばれるこれらの和として表される応答を完全応答という前例の場合，システムが零状態にあり，かつｘ(nT)＝δ(nT)であるとき，X(z)＝１，ｙ(-T)＝０とすると，逆ｚ変換するととなる • この式は，システムのインパルス応答になっている。 • ｚ変換を用いると，解（インパルス応答）が求まることになる。ステップ応答の場合上の差分方程式で，ｘ(nT)＝ｕ(nT)とすると，ｚ変換の結果はとなる。部分分数展開し，整理するととなる。逆ｚ変換すると，次式が得られる • ステップ応答の第１項は，大きさ1/(1-n)のステップ信号であり，どの時刻でも値は変わらない定常項である。・・・定常応答 • 第2項は{b/(1-n)}×ｂnとなり，時刻を表す数nによって変化する。|ｂ|<１なら０に収束する過渡項である。・・・過渡応答 • 収束する前を過渡状態，収束後を定常状態という。 • ちなみに，インパルス応答は過渡項がけである。だから，過渡応答特性はインパルス応答を調べればよい。 • 上式で，T=0，b=0.5，ｙ(-T)=0とすと，ｙ(nT)＝2ｕ(nT)＋4×0.5n となる。図示すると，例を変えて，FIR系を考えるｙ(nT)＝ａ0ｘ(nT)＋ａ1ｘ(nT-T)＋ａ2ｘ(nT-2T) • 上式の場合，ｘ(nT)＝ｕ(nT)とすると，ｚ変換は，となるので，逆ｚ変換するとが得られる。第1項は定常項，第2～３項は過渡項である。例題2.15 差分方程式→ｚ変換ｚ変換→インパルス応答 • ｚ変換すると • Ｘ(z)＝１を代入して，逆ｚ変換すると