電気回路学講義ノート

無損失線路の伝送式
R=G=0の線路、即ち無損失線路ではa=0より、g =jとなり、任意点 x (受電端をx=0)
における電圧、電流は以下の式で与えられる。ただし、V0, I0は受電端の電圧、電流
cosh jx  cosx
sinh jx  j sin x
Vx  V0 cos  x  jZ0 I 0 sin  x
I x  j (V0 / Z 0 ) sin  x  I 0 cos  x
入射波と反射波成分で表せば、
1
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
1
1
Z 0 I x  (V0  Z 0 I 0 )e j x  (V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
2
Vx 
上式を、受電端における電圧反射係数 Γ 0 
の公式を使用
反射波
入射波
Vx Vx  Z 0 I x
  
Vx Vx  Z 0 I x
Γx 
(8.48)式
V0  Z 0 I 0
で表せば、
V0  Z 0 I 0
Vx  Vx (1  Γ 0e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0e  j 2  x )
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0e  j 2  x )  V0 e j x (1  Γ 0e  j 2  x )
ただし、
(8.22)式, (8.19)式参照
Vx  (1 / 2)(V0  Z 0 I 0 )e j x
(点 x における入射電圧波)
V0  (1 / 2)(V0  Z 0 I 0 )
(受電端 x=0 における入射電圧波)
無損失線路の伝送式


また、点 x における反射係数 Γ x  Vx / Vx は、
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
(点 x における入射電圧波)
Vx 
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x
2
(点 x における反射電圧波)
を用いて表せば、
1
(V0  Z 0 I 0 )e  j x

Vx
V0 e  j x
2
Γx   
  j x  Γ 0e  j 2  x
1
Vx
V0 e
(V0  Z 0 I 0 )e j x
2
線路上の電圧、電流の円線図
j
受電端の反射係数G0を極形式で表すと、 Γ0  Γ0 e
Vx  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )
Γ0 は絶対値、　 は偏角
Γ0  1
Z 0 I x  Vx (1  Γ 0 e  j ( 2  x  ) )

Vxと Z0Ixとを、 Vx を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。
Vx Γ0 e j ( 2 x )
Z0 I x
0
Vx
2 x  
Vx
Vx Γ0 e j (2 x )
VxがZ0Ixに対して位相が進んでいる場合: 誘導性、遅れている場合: 容量性
線路上の電圧、電流の円線図
x の場所を動かしていくと、下図のようにVxと Z0Ixとが同相になることがある。
この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵抗Rになる。
0
( Z 0 I min )
Z0 I x
Vx
0
(Vmin )
Vx
Vx
Vx
(Vmax )
Zx 
Z0 I x
( Z 0 I max )
Vx Vmax

 Rmax
I x I min
Zx 
Vx Vmin

 Rmin
I x I max
この時、 Vxと Z0Ixは、最大値(Vmax, Z0Imax)或いは最小値(Vmin, Z0Imin)をとる
Vmax  Z0 I max
Vmin  Z 0 I min
より、
Rmax Rmin 
Vmax Vmin Z 0 I max Z 0 I min



 Z 02
I min I max
I min
I max
線路上の電圧、電流の円線図
2つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
x=x2
x=x1
Vx1
Z0 I x2
Vx2
0
Vx1
0


Vx 2
Z 0 I x1
Z 0 I max
Vmax
Vmax
Z0 I x
2点間の距離は、
Vx
Z 0 I min
x2  x1 
Z 0 I min
Vmin
Z0
Z
x2
/4
x1
x=0
   


2 2 2 4
線路上の電圧、電流の円線図
先の円線図の関係より、
Vx1 / Z0 I x1  Z0 I x 2 / Vx 2
或いは、 Z x1 / Z0  Z0 / Z( x1 / 4)
従って、/4だけ離れた各々の点から受電端の方を見た2つのインピーダンスは、
互いに逆回路の関係にある
さらに、
Γ x1 
Z x1  Z0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z 0  Z ( x1 / 4)



  Γ ( x1 / 4)
Z x1  Z 0 Z x1 / Z 0  1 Z 0 / Z ( x1 / 4)  1 Z0  Z( x1 / 4)
より、 /4だけ離れた2点における反射係数の符号は反対になる
大きさについては、無損失線路の場合、線路上到るところで Γ x1  Γ x 2
Γ0  0 (Zr= Z0)の場合
0
Z0 I x
Vx

x
V
Γ0  1
(Zr=jX)の場合
Z0 I x
0
Vx
Vx
定在波比
無損失線路の受電端に任意の負荷Zを接続すると、線路上の電圧Vxおよび電流
Ixは、/4間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大(小)値となる点では
電流が最小(大)値をとる。
Vmax
Z 0 I max
Vmax
定在波比 (SWR または VSWR)
Z0 I x
Vx
SWR 
Vmin
Z 0 I min
Z 0 I min
Z0
/4
SWR: Standing Wave Ratio
Z
/4
Vmax I max

Vmin I min
VSWR: Voltage Standing
Wave Ratio
x=0
定在波比SWRと反射係数G0との関係は、


1  V0 / V0 1  Γ 0
Vmax Vx  Vx
SWR 
 





Vmin Vx  Vx
1  Γ0
1  V0 / V0
0  Γ0  1
1  SWR  
定在波による負荷の測定
無損失線路(a=0)の受電端 x=0に負荷Zrを接続したとき、線路上の任意の点より
負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、
Zx 
Vx V0 cos x  jZ 0 I 0 sin x Z r cos x  jZ 0 sin x
Z  jZ 0 tan x


 Z0 r
Ix
jZ r tan x  Z 0
V 
Z 
j 0  sin x  I 0 cos x j r  sin x  cos x
 Z0 
 Z0 
Rmax  Z 0  SWR  Z 0
Z r  jZ 0 tan xmax
jZ r tan xmax  Z 0
よって、 Z r  Z 0
Vmax
Vmax
さらに、
Zr  Z0
Vmin
Z0
j
Zr
xmin
xmax x=0
SWR  j tan  xmax
1  j SWR  tan  xmax
1  j SWR  tan  xmin
SWR  j tan  xmin
Z0との値が既知の線路を用いて、
SWRと xmax 或いはxminを測定す
ることにより、Zrの値を求めること
ができる

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