統計学講義第11回相関係数、回帰直線決定係数決定係数 Coefficient of Determination: 被説明変数ｙが説明変数ｘからどの程度決定されるかを判断する数値基準。Ｘがｙを決定する強弱の度合いを測る係数。復習：最小２乗残差 ei  yi  yˆ i  yi  a  bxi n 1 e   ei  y  a  bx  0 n i 1 1 1 2 S ee   (ei  e )   ei2 n n 1   ( y i  a  bx i ) 2 n y yˆ  a  bxi x 決定係数の意味 y ( xi , yi ) ( yi  yˆ ) yˆ  a  bxi ( yi  y ) ( yˆ  y ) y xi x Ｙの平均偏差の分解 yi  y  ( yi  yˆ i )  ( yˆ i  y)  ei  ( yˆ i  y) 上の式を2乗して和をとると、交差項  e ( yˆ  y)  0 i i となるので、 yi の平均値からの偏差2乗和は 2 2 2 ˆ ( y  y )  e  ( y  y )  i i  i Ｙの全変動に対する比 ( y i  y)  e  ( yˆ i  y) 2 2 i 2 （Yの全変動）＝（残差平方和）+（回帰変動）式の両方にYの全変動で割ると、Ｙの全変動に対する比として、 1 e 2 i  ( y  y) i ( yˆ  y )    ( y  y) 2 i 2 i 2 決定係数は回帰式で説明される比重  ( yˆ i  y ) e 2 2 i S ee R   1  1 2 2 S yy  ( yi  y )  ( yi  y ) 2 n e 2 i i 1 n e  (y i 1 i 1 n i 1 i 1 2 2 2 e / ( y  y )  0 ; R  1　i  i  0, n n 2 i n  y) , 2 i n  e /  ( y  y) i 1 2 i i 2  1; R  0 2 i 残差分散が小さければ、決定係数は大きくなり、回帰直線のあてはまりはよいことになる。決定係数の取りうる数値の範囲 0  R 1 2 決定係数０決定係数１決定係数は１に近いほど、推計値 yˆi は実際値 yi との当てはまりがよいことになり、回帰モデルの説明力は高い。決定係数の計算式 2 e  i S ee 2 R  1  1   xy 2 S yy  ( yi  y ) 2 S ee ：最小2乗残差の分散：ｙの分散 ei ：最小2乗残差 S yy 2変数に限り、決定係数は相関係数の2乗となる証明：相関係数、共分散と回帰係数ｂの関係正の相関正の傾き  xy  0  S xy  0  b  0 無相関  xy  0  S xy  0  b  0 負の相関負の傾き  xy  0  S xy  0  b  0 相関係数、回帰係数ｂと決定係数の関係 b   xy   2 xy Sy Sx See 2  1 R S yy ２変数の場合に限り、相関係数の2乗は決定係数である。次回の予習：pp.64～75