１．１条件付期待値関数母集団回帰関数（ＰＲＦ）と標本回帰関数（ＳＲＦ） (Population Regression Function) (Sample Ｒegression Ｆunction) 表 1-1 母集団のデータ所得消費条件付期待値 10 8 8 9 9 10 8.8 20 16 17 17 18 19 19 30 15 20 23 24 25 27 28 40 20 26 30 32 32 33 34 50 26 28 30 32 33 44 47 60 29 36 38 40 59 70 39 45 60 64 52.0 80 50 63 72 75 65.0 90 50 80 100 55 80 17.7 23.1 36 38 31.2 34.3 40.4 65.0 83 90 77.0 散布図母集団（population)のデータ 100 90 80 70 条件付き期待値 60 消費 • 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 所得 70 80 90 100 110 条件付期待値 E(Y|X) • E(Y|X)：Xが所与の際のYの期待値・個別(i番目)のYの観測値 Yi = E(Y|Xi) + ei, i=1,2,..,n PRF 撹乱項（誤差項）・PRFは未知推定する。 • E(Y|X)= a + bX と仮定する。 (a,b)は定数であり、母集団回帰係数 (Population Regression Coefficients) と呼ばれる。 • Yi = a + bXi + ei • 標本回帰関数 (Sample Regression Function) 標本からPRFを推定したもの。未知の(a,b)を標本から推定直線 a+bXをデータに当てはめる 90 80 残差 ei = Yi-a-bXi 70 60 消 50 費 40 残差の二乗和、iei2 30 を最小にする。 20 10 0 0 20 40 60 所得 80 100 120 • 最小二乗法・回帰（直線のあてはめ）注意：SRFは標本ごとに違ったものとなる。 100 90 80 消費 70 標本１標本2 標本1による回帰標本2による回帰 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 所得 70 80 90 100 110 最小二乗基準 • あてはめの誤差 ei = Yi - a - bXi • ei を残差（Residual）と呼ぶ。 • 残差二乗和を最小化（Least Squares)  iei2 = i(Yi - a - bXi)2  RSS (Residual Sum of Squares)を最小化する (a,b)を求める。解の条件  ( RSS ) = -2i(Yi-a-bXi) a  ( RSS ) = -2i(Y-a-bXi)Xi b 一階の条件 (1-3-3) i(Yi-a-bXi) = 0 (1-3-4) i(Yi-a-bXi)Xi = 0 解(a,b) a= Y-bX (1-3-5) Yi,Xiの平均からの偏差を小文字yi,xiで表す。 yi = Yi - Y , xi = Xi - X (1-3-4)に(1-3-5)を代入 ixiXi = ixi2 iyiXi = ixiYi = iyixi => i(yi-bxi)Xi = 0 => b  iyiXi/i xiXi 解b (1-3-6) b = iyixi/ixi2 = ixiYi/ixi2 (1-3-7) b = i(Yi- Y )(Xi - X )/i(Xi- X )2 = SXY/SX2 標本共分散 SXY= i(Yi - Y )(Xi - X )/(n-1) 標本分散 SX2=i(Xi - X )2/(n-1) 最小二乗推定量 OLSE (Ordinary Least Squares Estimator)