ディジタル信号処理 Digital Signal Processing 第１４講 sampling theorem（２） サンプリング定理（２） ○ 標本化定理：アナログ信号を完全に再現できる離散時間信号 を作るには，原信号の持つ周波数成分をサンプリング周波数 の1/2以下に制限しなければならない。 ○ 帯域制限信号：原信号の周波数をサンプリング周波数の1/2以 下になるように高域遮断フィルタを入れて作った信号をいう。 サンプリング定理（標本化定理）のポイント • アナログ信号が再現できるようにサンプリングする には，サンプリング周波数は，信号に含まれる最高 周波数（周波数成分の内，ネグレクトできない最高 の周波数）の２倍以上でなければならない • 一般に，周期信号は三角関数の無限級数で表され ることからもわかるように，周波数成分は無限にあ る。このため，原信号の最高周波数を制限する必要 がある。 • 制限用（高周波遮断用）のフィルタをanti-aliasing filterという。 • もし，サンプリング周波数の1/2以上の高い周波数 成分があれば，aliasing現象が起きる。 例題4.1 （１）ナイキスと周波数を求める （２）ナイキストレートを求める （１）サンプリング周波数100kHzの場合処理可 能な周期性アナログ信号の最高周波数は？ サンプリング周波数の1/2以下 → 50Hz （２） 帯域幅10kHzに制限されている信号を処 理するための最低サンプリング周波数は? 最高周波数の2倍以上 → 20kHz 例題4.2 （１） 図のようなスペクトラムをもつ連続信号 を標本化するときのナイキスとレートは? 最高周波数σの2倍以上 → 2σ （２） この信号をサンプリング周波数２σで標本化して 得られる離散時間信号のスペクトラムは? 連続信号の スペクトラム 離散信号の スペクトラム 2σでサンプリングすると，スペクトラムは離れも せず，重なりもせず （３） この信号をサンプリング周波数３σで標本化して 得られる離散時間信号のスペクトラムは? ３σでサンプリングすると，スペクトラムはゆとり ができて離れてしまう 4.2 周期信号の標本化 • サンプリングしたい原信号が周期信号 ∞ ｘ(t)＝ΣＣmｅjmω t 0 m=-∞ であるとする。この信号を標本化周波数Nω0で標本化する（標 本化周期は，Ts＝2π/ Nω0 ）離散時間信号（サンプリングさ れた信号：標本値）は， ∞ ∞ ｘ(nTｓ)＝ΣＣkｅjmω nTs ＝ΣＣkｅj2πmn/N 0 m=-∞ m=-∞ となる。ｅj2πmω /Nは，m=k+rNのとき，次のようになる。 ｅj2πmn/N ＝ｅj2π(k=rN)n/N ＝ｅj2πkn/N ただし，k=0,1,2,･･･.N-1 r=･･･,-1,0,1,･･･ である。 0 • これを用いると， N-1 ∞ ｘ(nTｓ)＝Σ Σ Ｃk+rNｅj2π(k+rN)n/N k=0 r=-∞ N-1 ∞ ＝Σ Σ Ｃk+rNｅj2πkn/N k=0 r=-∞ ∞ j2πkn/N ＝Σｅ Σ Ｃk+rN k=0 r=-∞ N-1 となる。 • 上式の後半部分はエイリアシング係数と呼ばれる。 ∞ Ck＝Σ Ｃk+rN r=-∞ 例題4.3 次式の信号のエイリアシング係数を求める。 ｘ(t)＝+C-2e-j2ω t + C-1e-jω t + C0 + C1 ejω t + C2ej2ω t 0 0 0 0 エイリアシング係数からフーリエ係数を求める 4.3 現実のフィルタによる内挿 連続信号に戻す 4.4 帯域制限の影響 サンプラの前に置くフィ ルタ このフィルタで高調 波がカットされる 質問はありませんか？ • ここまで • ごきげんよう
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