完全数とメルセンヌ数 - imetrics.co.jp

完全数と
メルセンヌ素数
S. Kusafusa
Perfect Number &
Mercenne Prime
C. KycaΦyca
Perfect number
Euclid proved that 2^p−1(2^p − 1) is an even
perfect number whenever 2^p − 1 is prime
が、素数(メルセンヌ素数)ならば、
aの数は、完全数 Perfect Number
6=1+2 +3
= 2×( 2^2 - 1)
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
= 2^2×(2^3 - 1)
n =2
n =3
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
= 2^4×( 2^5 - 1 )
n =5
8128 = 2^6×(2^7-1)
n =7
496 = 5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47+53+59+61
496^2 + 1 = 246017 であり、n^2 + 1 の形で素数prime number
完全数を2進数で表現
6
28
496
8128
33550336
110
11100
111110000
1111111000000
1111111111111000000000000
これまでに、発見された完全数は48個、メルセンヌ素数と同じ
Mercenne Number
N
2^n -1
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
Prime
Octal
Hexa
1
1
1
TRUE
11
3
3
TRUE
111
7
7
1111
17
F
11111
37
1F
111111
77
3F
1111111
177
7F
255
11111111
377
FF
9
511
111111111
777
1FF
10
1023
1111111111
1777
3FF
11
2047
11111111111
3777
7FF
12
4095
111111111111
7777
FFF
13
8191
1111111111111
17777
1FFF
14
16383
11111111111111
37777
3FFF
15
32767
111111111111111
77777
7FFF
16
65535
1111111111111111
177777
FFFF
TRUE
TRUE
TRUE
Binary
完全数が
で表されることの証明
①
2^0, 2^1, 2^2, …, 2^n-2, 2^n-１
②
2^0(2^n-1 ), 2^1 (2^n-1), 4(2^n-1), . . . .
. . . . , 2^n-2(2^n-1), 2^n-1(2^n-1)
= 2^n-1
+
= 1・(1-2^n)/(1-2) = 2^n-1
2^n−1(2^n − 1)
Q.E.D
補足
等比数列の和
r を 1 と異なる定数とするとき
証明
Q.E.D
のすべての約数を抜き出す
①
2^0, 2^1, 2^2, …, 2^(n-2), 2^(n-１)
初項 1, 公比2
(1-2^n)/(1-2) = 2^(n-1)
②
2^0(2^n-1), 2^1 (2^n-1), 4(2^n-1), . . . .
. . . . , 2^n-2(2^n-1), 2^n-1(2^n-1)
初項,2^0(2^n-1) 公比2
(1-2^n-1/(1-2) = 2^n-1
Q.E.D
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11
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