E(X)= np V(X)= np ( 1 – p )

コインを N 回投げたときのことを考える
代表的な離散確率変数：ベルヌーイ確率変数（87⾴）
ベルヌーイ試⾏
• 試⾏の結果が⼆種類しかない
表
第 i 回⽬につ
いて
例：成功・失敗、表・裏、上昇・下落
• 各試⾏での確率分布は同じ P(成功)＝ p , P(失敗)＝1－p
• 各試⾏は独⽴
裏
i=1,…,N
２回投げたとき何回表が出る？
 結果は
このような成功回数に関する確率変数を⼆項確率変数とよぶ
X1 と X2 がどのように実現するかで変わる
代表的な離散確率変数：⼆項分布（89⾴）
コインを投げて、表なら（成功） X = 1, 裏なら X = 0
確率関数
分布関数 (4.17)
(4.16)
 １回⽬と２回⽬は独⽴と考えると
期待値と分散
期待値
E[ X ] =
分散
V[ X ] =
X1 と X2 の同時確率関数は
1
X と定める
成功確率
p
x 回成功が起こり、残り n-x 回全て失敗する確率は？
2
3
ある（平均的な）⼒⼠が⼀場所何勝するか？
 n 個の中から x 個選び出す組み合わせ
• さまざまな⼒⼠がいるので平均像でみる
テキスト67⾴
（3.17）
問題：n 回試⾏で
n 回繰り返す。n 回
の試⾏中の成功の回数を
問題：はじめの
 分布の形状 X ~ B(15, 0.5)
 x 回成功と、n-x 回失敗という組み合わせは、他にもある
独⽴なベルヌーイ試⾏を
• 0勝，1勝，，，15勝する確率はそれぞれ？
⼆項(Binomial)分布
と実際の結果と⽐較
x 回成功で、n-x 回失敗となる確率
(4.20)
この確率を特徴づけるパラメータ（⺟数）は、n と
⼆項分布と呼び、B(n,
p
p) と略記する
X ~ B(n, p) 「X が⼆項分布 B(n, p) に従っている」
 分布の形状
図4.3
⼆項分布の確率関数（91⾴）
4
5
6
X ~ B(n, p) の場合、この確率変数 X の分散は？
x がとりうる値は 0, 1, …, n なので
証明は97⾴
X ~ B(n, p) の場合、この確率変数 X の期待値（平均）は
V(X)= np ( 1 – p )
z = x – 1 とおくと
証明は98⾴
(4.23)
定理4.1 ⼆項確率変数の期待値と分散（91⾴）
確率変数 X が⼆項分布 B(n, p) に従っているとき、
その期待値、分散はそれぞれ
E(X)= np
(n-1)回の試⾏中、何回成功するか：B((n-1),p)
V(X)= np ( 1 – p )
(4.22)
(4.23)
Z～B((n-1),p)
最終的に求める期待値は np
7
E(X)= np
(4.22)
8
コインを100回投げたら表は何回出る？
9

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