第4章 伝達関数 4.1 周波数伝達関数 4.1.1 正弦波の複素数表現 • 入力信号の角周波数ωが変われば，振幅Aoと， 位相差φは変化． • ωに対する振幅比Ao / Ai，位相差φを周波数特性 • 正弦波を複素数で表現することを考える． • ここで必ず虚部をとると決めて以下のように表す – 複素数の信号が物理的に存在するわけではなく，こ の様に表現すると都合が良いから． 4.1.2 周波数伝達関数と周波数応答 システムの出力はたたみ込み積分によって与 えられる． 正弦波が入力信号のときの出力を求める たたみ込み積分に入力 フーリエ変換 • 入力信号がある単一の周波数成分しか もたない正弦波入力である場合 出力は同じ周波数 振幅と位相が変化 ＝周波数伝達関数 • 振幅比（ゲイン） • 位相差 周波数により変化 周波数特性 • 振幅比と位相の変化を横軸を周波数にして 表したもの – ゲイン（利得）特性 – 位相特性 ボード線図 4.1.3 交流回路の複素計算法 直列RLC回路の周波数特性 回路方程式 入力が 複素数表現を使うと 電流も複素表現をして とする． R L C であるので， となる．したがって周波数伝達関数は であるので， 出力の位相が遅れる場合 出力の位相が進む場合 周波数特性(R=L=C=1) 4.1.3 交流回路の複素計算法 例題 ４．１ RL回路の周波数特性 同様に複素表現を使って を使って変換すると 4.1.3 交流回路の複素計算法 例題 ４．１ RL回路の周波数特性 周波数特性(R=L=1) ４．２ 伝達関数 ４．２．１ 伝達関数の導出 Ø 周波数伝達関数=ある正弦波入力の伝達特性 Ø 任意の周波数の信号の伝達特性を記述したい ⇒s領域での表現を考える Ø ラプラス変換した表現では 初期条件はすべて0とする 伝達関数 伝達関数 伝達関数が分かれば任意の入力に 対する出力がわかる 線形微分方程式で表される 線形システムの伝達関数 システムが次の式であるとする このラプラス変換をする． 初期条件はすべて0とするなら などと置き換えれば良いので よって 線形システムの伝達関数は多項式の比で 与えられるので，部分分数展開で解析可能 例題4.2 RL回路の伝達関数 ラプラス変換すると 伝達関数は 直列RLC回路の伝達関数 ラプラス変換すると したがって伝達関数は 例題4.3 バネ・ダンパ系の伝達関数 両辺をラプラス変換すると したがって伝達関数は 例題： RL回路のステップ応答 • RL回路の伝達関数は • ステップ入力のラプラス変換は • したがって出力y(t)のラプラス変換は 部分分数展開で逆ラプラス変換を解く つまり ラプラス変換表を用いて 4.2.2 伝達関数とブロック線図 ブロック線図の信号もラプラス変換したs領域で表す x(s)� G(s) y(s)=G(s) x(s) 要素も伝達関数で表せば、たたみ込み積分の性質 より、要素が定数倍のときと同様の記述で扱える フィードバックシステムの伝達関数 ＋� e G(s) H(s) 開ループ伝達関数 閉ループ伝達関数 例題 • 次のフィードバック系の開ループ伝達関数と 閉ループ伝達関数を求めよ。また、ステップ 応答を求めよ。 ＋� − • 開ループ伝達関数 • 閉ループ伝達関数 • ステップ入力のラプラス変換は1/sであるから 出力y(t)のラプラス変換は 4.3 伝達関数と周波数伝達関数 • 周波数伝達関数 例題4.4 (a) 周波数特性は 例題4.4 (b) 周波数特性は 例題4.4 (b) ただし と書けるので， 4.4 周波数応答の表示 4.4.1 ナイキスト線図 ナイキスト線図（ベクトル軌跡） – G(jω) の実部を横軸，虚部を縦軸にとった複素平 面にベクトルを描く． – ωを0 から∞まで（または-‐∞から∞まで）変化させ たときのベクトルの軌跡． 実軸に対して対称 例題4.4のナイキスト線図 例題 • 次の伝達関数のナイキスト線図を描く • 周波数伝達関数は 例題 • 特異な点を計算する 例題 • 特異な点を計算する 例題のナイキスト線図 4.4.2 ボード線図 ボード線図 • 横軸は角周波数の対数（log10ω） • ゲインの縦軸は20 log10|G(jω)|． • 単位はデシベル[dB]． – 位相特性の縦軸の単位は[rad] ボード線図では で表されるとき，ゲインと位相はそれぞれ加算で表すことができ る．すなわち、ボード線図上でも足し合わせればよい． であるならば， であるので， 例題4.4のゲイン特性のボード線図 • 定数15はゲイン 20 log(15)の定数 • この４つを加えると
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