次にやりたいこと。固体原子＋自由電子 -> ？＋格子と逆格子ブリルアンゾーン格子振動金属中の電子 Ψ=exp(ikx)の波 E  2k 2 Ek  2m k 0 1 周期ポテンシャル中の電子周期ポテンシャルU(x)=U(x+a) の中の電子を考える。既に見たように、周期関数のフーリエ変換は逆格子ベクトルでのみ値を持つ。 U(x)  U G e iGx G 問題１：ポテンシャルU(x)中の電子の波動関数をΨ, エネルギーをΕとする時、シュレディンガー方程式を書け。問題２：波動関数Ψのフーリエ変換を Ψ(x)   c(k ) e ikx いろいろな波数の進行波の重ね合わせ k と書く。周期的境界条件により、k=２πn/L これらをシュレディンガー方程式に代入して、以下を示せ。 (k  )c(k )  U G c(k  G)  0 G  2k 2 k  2m 2 周期ポテンシャル中の電子：基本方程式  2k 2 k  2m (k  )c(k )  U G c(k  G)  0 G Ψ(x)   c(k ) e ikx U(x)  U G eiGx G k 波動関数の係数c(k) に関する連立方程式になっている。自由電子を基本として、周期ポテンシャルの影響でどう変わるかを考える。 3 周期ポテンシャル中の電子：基本方程式 (k  )c(k )  U G 'c(k  G' )  0 G' Ψ(x)   c(k ) e k ikx U(x)  U G 'eiG' x G'  2k 2 k  2m Gは逆格子ベクトル波動関数の係数c(k) に関する連立方程式になっている。問題１ポテンシャルU=0の場合、基本方程式はどうなるか？（空格子近似という）問題２ポテンシャルが弱い場合を考える。第１ブリルアンゾーンの境界k=G/2=π/aにおいて、基本方程式を考える。 C(G/2), C(-G/2) 以外のCはゼロとする。また、U G=U -G=U以外のUG’はゼロとする。そこからエネルギーEの２つの根を求めて、エネルギーギャップを出せ。問題３問題２の場合の、波動関数を求めよ。 4 (k  )c(k )  U G c(k  G)  0 回答 G Ψ(x)   c(k ) e k ikx U(x)  U G eiGx  2k 2 k  G 2m Gは逆格子ベクトル問題１ポテンシャルU=0の場合、 (k  )c(k )  0 c(k)が0でない場合、E=λ（自由電子）。問題２ポテンシャルが弱い場合。（λーE）c(G/2)+Uc(-G/2)=0 (λ-E)c(-G/2)+Uc(G/2)=0 cがゼロでない解を持つためには、 2 2  1   (λ-E)2 = U2 よって、 E   U   G  U 2m  2  エネルギーギャップは2Uになる。 5