比熱の量子論振動数に分布がある場合これまでの議論は、振動数が一定だった。実際には振動数はいろいろ。 D(ω) フォノン（格子振動）のモードの状態密度 D(ω)dω：振動数がω～ω+dωの間にあるモードの数。すると、エネルギーは、いろいろな振動数の場合の和となり、  U   D( ) ( )d 0 ここでε(ω)は、振動数ωのフォノンのエネルギー.   (ω)  exp(  )  1 1 フォノンの状態密度D(ω)はどんな関数か？前回議論した、１次元格子振動で、 2 「第１ブリルアンゾーン」k:-π/a からπ/aまで。周期的境界条件より、１次元でk=2π/L (L=Na) ごとに１個のモード。３次元だと、(2π)3/Vに１個。 (V=L3) 半径kからk+dkの間の球殻には、 V/(2π)3 x 4πk2 dk 波数kと振動数ωの関係は、ω=vk を使うと、状態密度は、 3V  2 D(ω)  2 3 2 v -π/a K ka  sin M 2 ω k π/a 0 2 3V  D(ω)  2 3 2 v 2 状態密度を使う。問題１：ωの最大値をωDとする。 D  0 D(ω)d  3N の規格化から、 ωDを求めよ。 D でvを消去して、 D (ω) 問題２ D U   D() (ω)dω 0 を使って書け。   (ω)  exp(  )  1 より比熱Cはどのようになるか。高温と低温での関数形を求めよ。 3 問題の回答問題１： D  0 問題２： V  D3 D(ω)d   3N 2 3 2 v 2 D(ω)  9 N 3 D  (ω)  3V  2 D(ω)  2 3 2 v  exp(  )  1 D U   D() (ω)dω 0 T  C  9 Nk    D  3 D /T  0 ex x4 dx x 2 (e  1)  D D  k 1  D    3 T  3 T-> ∞で積分の中を展開。が出てきて、 C=3Nk. 古典的な値になる。 T-> 0で積分部分は定数。T3に比例。 4