物性物理学序論

フーリエ変換の復習
１次元で、

g (k )   f ( x) exp(ikx)dx

問題
1) exp(ikx)の実部と虚部を書け。
2) xは長さのディメンジョンを持つ。kのディメンジョンは？
3) g(k)を知っている時、逆フーリエ変換のf(x)を求める式
1
f ( x) 
2



g (k ) exp( ikx )dk
で矛盾がないことを確かめよ。
4) f(x)=exp(-ik1x), f(x)=δ(x-x1)のフーリエ変換を求めよ。
5) f(x)が周期aの周期関数の時、
← f(x+a)=f(x)
フーリエ変換したgはどんな性質があるか？
6) 長さのスケールが大きい系と小さい系で、
フーリエ変換したgはどのように違うか？
1
δ関数の復習
1)

  ( x) f ( x)dx  f (0)

2) θ(x) = 1
0
に対して、
3)
1
 ( x) 
2
if
if
x ≧ 0
x < 0
d ( x )
 ( x) 
dx

 exp(ikx)dk
θ(x)：ヘビーサイドの
階段関数
δ関数の積分表示

問題１：2)から1)を求めよ。
問題２：3)から1)を求めよ。
問題３：次の式を示せ。

  ( x)dx  1

 ( x) δ( x)
δ( x)
 (ax) 
a
2
δ関数の復習
1)
の回答

  ( x) f ( x)dx  f (0)

2) θ(x) = 1
0
3)
1
 ( x) 
2
if
if
x ≧ 0
x < 0
に対して、  ( x) 
d ( x )
dx

 exp(ikx)dk

問題１：2)から1)を求めよ。 1)の左辺に代入、部分積分する。
問題２：3)から1)を求めよ。 1)の左辺に代入、フーリエ変換と
問題３：次の式を示せ。
逆フーリエ変換の定義と見比べる
。

  ( x)dx  1
1)でf(x)=1とおく。

 ( x) δ( x)
δ( x)
 (ax) 
a
1)で-x=x’とおく。
1)でx=ayとおく。
3
フーリエ変換を図にしてみると、
X空間
k空間
δ(x-x1)
exp(ikx1)
k
x1
exp(-ik1x)
x1
（周期2π/k1)
δ(k-k1)
k1
k
a
周期aの関数
2π/aの整数倍のみで値を持つ
4
ここから、
逆格子空間
5
逆格子空間
基本並進ベクトル
T  u1a1  u2a2  u3a3 (u ,u ,u は整数）
a 2  a3
b1  2
V
を使って、
1
2
3
に対して、
V  a・1 (a2  a3 )
G  v1b1  v2b2  v3b3 (v ,v ,v は整数）
但し
1
2
3
を逆格子ベクトルという。
問
1) aiは長さのディメンジョンを持つ。biのディメンジョンは？
2) ベクトル積
A x B を成分で書け。
3) A・(B x C ) は３つのベクトルA, B, Cの作る平行六面体の
体積に等しいことを示せ。
4) １次元の逆格子ベクトルを定義してみよ。
6
逆格子空間その２
問
1) aiは長さのディメンジョンを持つ。biのディメンジョンは？
2) ベクトル積
A x B を成分で書け。
1/長さ
z成分= AxBy-AyBx など。
証明は、Aを単位ベクトルで表す方法。
またはA
x B =Cとおき、A,
Bと直交する条件から出す。
3) A・(B x C ) は３つのベクトルA, B, Cの作る平行四面体の
体積に等しいことを示せ。下記
4) １次元の逆格子ベクトルを定義してみよ。
b=2π/a が単位
-3) ベクトルD=AxBの大きさは、ABsinθ
（θはベクトルAとBのなす角）
Bsinθは、ベクトルＡとBが作る平行四辺形でAを底辺とした時の高さ。
よって、Absinθは、平行四辺形の面積。
AxBの方向の単位ベクトルをnとすると、n・Cで、平行六面体の高さになる。
7
１次元の逆格子空間（練習問題の最後）
基本並進ベクトル：
T=u a
逆格子ベクトル：
(uは整数）
Ｇ=v b 、 (vは整数)
｜b｜=２π/a,
a
-a
0
a=|a|
b
a
1次元の周期aの関数
2a
-2π/a
0
2π/a
4π/a
フーリエ空間では、
2π/aの整数倍の波数kでのみ
値を持つ。
３次元でも同様。
8

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