新聞に載っている数字 最高桁の数 ～ ベンフォード則と不正経理の捜査 ～ 新聞に載っている数字 総額で１４００億円・・・ ８４年以降・・・ 最高桁の数字は １ ８ ３０万人余りと米国へ・・・ ３ ５０００トン・・・ ５ 最高桁の各数字の出現する割合は？ 「１から９まで、同じくらいの割合になる」 と思うのが自然だが・・・ 実際に調べてみよう 北海道新聞 ２００８年１月２１日（月曜日） １６版 １面 ５１％ 一般に ランダムに取ってきた数が１で始まる確率は、 他の数字に比べてずっと高い 約半分の数が１か２で始まる 大きな数字ほど、その数字で始まるものは少ない ９から始まる数は稀 たくさんの統計をとると・・・ １９３９年 フランク・ベンフォードが発見した分布 ベンフォード則 (Benford’s Low) n で始まる数の割合 log10 N 1 log10 N Frank Albert. Benford, Jr. (1883-1948) １９９０年代始め ある会計学校の話 マーク・ニグリニ先生の課題 「企業収支の各数値の最高桁が ベンフォード則に従った分布を示すか確かめよ」 ある学生が親戚の金物屋の帳簿を調べると・・・ １から始まる数値の割合 ９３％ 残りの数値 ８か９で始まる ベンフォード則から かけ離れた値 不正経理 多くの会計士が不正経理を発見する方法として ベンフォード則を採用するようになった ベンフォード則が成り立つ理由 １００ １０ １ １０００ １０進数 ・・・ １０倍するごとに１桁上がる構造 １０倍するごとに１周する円周上の点 ×１０ １ ×１０ ×１０ １０ １００ ×１０ １０n x ・・・・・ ０周 １周 ２周 ｎ周 log10 x ベンフォード則が成り立つ理由 １桁の数は何周か・・・ x 数 １ log10 x 周 0 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 0.30 0.48 0.60 0.70 0.78 0.85 0.90 0.95 8 9 1 0.95 0 0.90 7 0.85 6 0.78 5 0.30 2 0.70 0.60 4 0.48 3 ベンフォード則が成り立つ理由 284,572,341 = 2.84572341 10 8 0.95 0 0.90 7 0.85 8 log10 2.84572341 108 = 8 + log102.84572341 1 9 6 0.78 5 0.30 2 0.70 0.60 8 周 と log102.84572341 周 0.48 4 3 log102 < log102.84572341 < log103 ２で始まる数は、すべて円周上の log10 2 と log103 の間にある 2 で始まる数の割合 log103 － log10 2 = 0.48－0.30 = 0.18 n で始まる数の割合 log10 N 1 log10 N 2.84572341 出典 「数学で身に付ける柔らかい思考力」 ダイヤモンド社 ロブ・イースタウェイ／ジェレミー・ウィンダム 著 Mark. Nigrini 水谷 淳 訳 Frank Albert. Benford, Jr. THE END 最高桁の数 ～ベンフォード則と不正経理の捜査～
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