第5回講義資料

システム制御工学Ⅰ
電気電子工学科
2015年度
今日の講義内容
基本伝達関数（１）
• 対数とdB表示
• 比例要素
• 微分および積分要素
• 1次遅れ要素
• 1次進み要素
2
対数の効用
𝐴1 (𝜔)
𝐴2 (𝜔)
log(𝜔)
𝐴1 (𝜔)𝐴2 (𝜔)
log(𝜔)
log(𝜔)
縦続接続された伝達関数のゲイン
log |𝐴1 𝜔 𝐴2 𝜔 | = log 𝐴1 𝜔
ゲイン特性の乗算
は簡単ではない
+ log( 𝐴2 𝜔 )
対数を取れば
加算で済む
3
dB（デシベル）表示（１）
𝒙 (𝒙 > 𝟎)
log 𝟏𝟎(𝒙)
𝟏𝟎 log 𝟏𝟎(𝒙)
𝟐𝟎 log 𝟏𝟎(𝒙)
10
1
10
20
2
0.3010 ⋯
3.010 ⋯ ≅ 3.0
6.020 ⋯ ≅ 6.0
0.1505 ⋯
1.505 ⋯
3.010 ⋯ ≅ 3.0
1
0
0
0
1/ 2
−0.1505 ⋯
−1.505 ⋯
−3.010 ⋯ ≅ −3.0
1/2
−0.3010 ⋯
−3.010 ⋯ ≅ −3.0
−6.020 ⋯ ≅ −6.0
1/10
−1
−10
−20
2
工学的には，パワー（電力）が2倍や半分になるところ（電圧・電流が 2倍
や1/ 2になるところ）が重要！
重要な数値は覚えやすい方が良い！
パワー（電力）の比率の場合は対数の10倍，電圧・電流の比率の場合は
対数の20倍を使えば，精度2桁の範囲内で数値を整数で近似できる
4
dB（デシベル）表示（２）
• 振幅の比率を表す場合のdB表示
20 log10 𝑥
𝑥 が 2 倍になるとdB値は 3dB増加
𝑥 が 2 倍になるとdB値は 6dB増加
𝑥 が 10 倍になるとdB値は 20dB増加
• パワーの比率を表す場合のdB表示
10 log10 𝑥
𝑥 が 2倍になるとdB値は 3dB増加
𝑥 が 10 倍になるとdB値は 10dB増加
5
相対量と絶対量
• dB は単位を持たないもの（比率などの相対
量）に対して用いる
– 周波数応答は入力と出力の比率なので，ゲイン
は dB で表せる
• 一般の量（絶対量）を dB 表示する際には，
基準となる単位を明示する
– 1Vを基準（0dB）として電圧をdB表示する場合に
は dBV のような書き方をする
6
問
1. 増幅器の電圧ゲインが1000倍とする．電圧
ゲインをｄBで表せ．
2. 増幅器の電力ゲインが100倍とする．電力
ゲインをｄBで表せ．
3. 1mVをdB表示せよ．
7
伝達関数の一般形
一般に 𝑛 次のシステムの伝達関数は有理式（多項式
の比）
係数の添字は 𝑠 のべき数とは逆順
𝑁(𝑠) 𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 𝑠 + 𝑏𝑚
𝐺 𝑠 =
=
𝐷(𝑠)
𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛
(𝑎0 , ⋯ , 𝑎𝑛 , 𝑏0 , ⋯ , 𝑏𝑚 は定係数）
• 通常 𝑛 ≥ 𝑚 とする
• 分母多項式 𝐷(𝑠) の根を極（pole），分子多項式 𝑁(𝑠) の
根を零（zero）と呼ぶ
定数，1次式，2次式
因数分解した形
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑙=1(𝑠
は乗算の記号
（共役複素）に分解
+ 𝜎𝑙 ) 𝑘=1(𝑠 + 𝛽𝑘 + 𝑗𝜔𝑘 )(𝑠 + (𝛽𝑘 − 𝑗𝜔𝑘 ))
𝑖=1(𝑠 + 𝜌𝑖 ) 𝑗=1(𝑠 + (𝛼𝑗 + 𝑗𝜔𝑗 ))(𝑠 + (𝛼𝑗 − 𝑗𝜔𝑗 ))
(𝐾, 𝜌𝑖 , 𝛼𝑗 , 𝜔𝑗 , 𝜎𝑙 , 𝛽𝑘 , 𝜔𝑘 は定係数）
8
伝達関数の要素
• 一般の伝達関数を要素に分けて考える
– 比例要素 𝐾
– 微分要素 𝑠
– 積分要素
1
𝑠
– 1次遅れ要素
1
1+𝑠𝑇
– 1次進み要素 1 + 𝑠𝑇
– 2次要素
𝜔𝑛 2
𝑠 2 +2𝜁𝜔𝑛 𝑠+𝜔𝑛 2
−𝜏𝑠
– むだ時間要素 𝑒
9
（例）
3次の伝達関数
2𝑠 2 + 8𝑠 + 6
𝐺 𝑠 = 3
𝑠 + 2𝑠 2 + 4𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
=2
(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 𝑠 + 3)
1
1+𝑠 1+ 𝑠
3
=6
二次要素
2
1+𝑠 𝑠 +𝑠+3
1
1
3
=2 1+𝑠 1+ 𝑠
3 1 + 𝑠 𝑠2 + 𝑠 + 3
定数ゲイン
一次進み要素
一次遅れ要素
10
問
以下の伝達関数を基本伝達関数の積に分解せ
よ．
3(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
𝐺 𝑠 = 2
𝑠 (𝑠 + 2)(𝑠 + 4)
11
比例要素
角周波数に依存しないゲイン（直流ゲイン）
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥(𝑡)
𝑌(𝑠)
𝐺 𝑠 =
=𝐾
𝑋(𝑠)
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠) 𝑠=𝑗𝜔 = 𝐾
• 電気系なら理想演算増幅器など
• 機械系なら梃子（てこ）など
• 機械系（位置や角度）から電気系（抵抗値）に変換
するのがポテンショメーター
（モーターは，電気系（電流）から機械系（角度）への
変換を行うが，角周波数に依存するので厳密には
比例要素ではない）
12
微分要素
出力が入力の微分
𝑑𝑥(𝑡)
𝑦 𝑡 =
𝑑𝑡
𝑌(𝑠)
𝐺 𝑠 =
= 𝑠 （初期値は0と仮定）
𝑋(𝑠)
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)
𝑠=𝑗𝜔
= 𝑗𝜔
• 理想的な微分要素は物理的に実現できない
• 実際には近似的に微分要素として振る舞うもの
を使用する
• 直列CR回路など
13
（例）直列CR回路
𝑥(𝑡)
𝐶
𝑅
𝑦(𝑡)
1
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑞(𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝑞 𝑡 +𝑅
,𝑦 𝑡 = 𝑅
𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 ≫𝑦 𝑡 =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑅
𝑑𝑡
が成立するなら 𝑥(𝑡) ≅
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
∴𝑦 𝑡 =𝑅
≅ 𝑅𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
比例要素と微分要素の積．比例要素は
増幅器などで1に補正すれば良い．
1
𝑞(𝑡)
𝐶
14
時間応答と周波数応答
• ステップ応答
𝑠 𝑡 =ℒ
−1
𝐺 𝑠 𝑈 𝑠
=ℒ
−1
1
𝑠 = ℒ −1 1
𝑠
= 𝛿(𝑡)
• 周波数応答
𝐺 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔 = |𝜔|
20 log10 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log10 ( 𝜔 )
𝜔
𝜋
−1
𝜙 𝜔 = tan
=
0
2
15
ボード線図とナイキスト線図
傾き20dB/decade
位相は常に+90°
20
0
90
0.1
1
-20
𝜔 = 1のときゲ
インが1 （0dB）
10
0
𝜔
Im
10
𝜔
-90
𝜔→∞
𝜔=0
0
1
0.1
原点から上へ
向かう直線
Re
16
積分要素
出力が入力の積分
𝑦 𝑡 =
𝑥 𝑡 𝑑𝑡
𝑌(𝑠) 1
𝐺 𝑠 =
=
𝑋(𝑠) 𝑠
1
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠) 𝑠=𝑗𝜔 =
𝑗𝜔
• 理想的な積分要素は物理的に実現できない
• 実際には近似的に積分要素として振る舞うものを使
用する
• 直列RC回路など
17
（例）直列RC回路
𝑅
𝑥(𝑡)
𝐶
𝑦(𝑡)
1
𝑑𝑞(𝑡)
1
𝑥 𝑡 = 𝑞 𝑡 +𝑅
, 𝑦 𝑡 = 𝑞(𝑡)
𝐶
𝑑𝑡
𝐶
𝑥 𝑡 ≫𝑦 𝑡 =
1
𝑞(𝑡)
𝐶
が成立するなら 𝑥(𝑡) ≅
1
1
∴ 𝑦 𝑡 = 𝑞(𝑡) ≅
𝐶
𝑅𝐶
比例要素と積分要素の積．比例要素は
増幅器などで1に補正すれば良い．
𝑑𝑞(𝑡)
𝑅
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 𝑑𝑡
18
時間応答と周波数応答
• ステップ応答
𝑠 𝑡 =ℒ
−1
𝐺 𝑠 𝑈 𝑠
• 周波数応答
=ℒ
−1
11
1
−1
=ℒ
= 𝑡 𝑢(𝑡)
2
𝑠𝑠
𝑠
1
1
𝐺 𝑗𝜔 =
= −𝑗
𝑗𝜔
𝜔
1
1
𝐺 𝑗𝜔 = −𝑗
=
𝜔
|𝜔|
20 log10 𝐺 𝑗𝜔 = −20 log10 ( 𝜔 )
−1/𝜔
𝜋
−1
𝜙 𝜔 = tan
=−
0
2
19
ボード線図とナイキスト線図
傾き-20dB/decade
20
0
90
0.1
1
-20
10
0
𝜔
Im
1
0.1
10
𝜔
-90
位相は常に-90°
𝜔 = 1のときゲ
インが1 （0dB）
0 𝜔→∞
𝜔=0
Re
−∞から原点
へ向かう直線
20
一次遅れ要素
直列RC回路そのものの伝達関数
1
1
𝑠𝐶
𝐺 𝑠 =
=
1
1
+
𝑠𝑅𝐶
𝑅+
𝑠𝐶
一般的には，𝑇 を定数（時定数）として
1
𝐺 𝑠 =
一次遅れ
1 + 𝑠𝑇
要素
1
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠) 𝑠=𝑗𝜔 =
1 + 𝑗𝜔𝑇
21
時間応答と周波数応答
• ステップ応答
𝑠 𝑡 =ℒ
−1
𝐺 𝑠 𝑈 𝑠
= 1
𝑡
−
−𝑒 𝑇
=ℒ
−1
1 1
1
1
−1
=ℒ
−
1 + 𝑠𝑇 𝑠
𝑠 𝑠+1
𝑇
𝑢(𝑡)
• 周波数応答
20 log10 (|𝐺 𝑗𝜔 |) = −20 log10 (|1 + 𝑗𝜔𝑇|)
𝜔 ≪ 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
𝜔 = 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
𝜔 ≫ 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
=0
≅ −3 [dB]
= −20 log10 (|𝜔𝑇|)
𝜙 𝜔 = − tan−1 (𝜔𝑇)
22
ボード線図とナイキスト線図
1/𝑇 ：遮断角
周波数（折点
角周波数）
20
90
1/𝑇
0
0.1/𝑇
0
10/𝑇 𝜔
1/𝑇
0.1/𝑇
10/𝑇 𝜔
-45
-20
遮断角周波数で
ゲインは-3dB，位
相は-45度
Im
𝜔→∞
0
-90
1
𝜔=0
Re
ナイキスト線図は半
円を描く
23
ボード線図の折れ線近似
20
90
0.1/𝑇
1/𝑇
0
-20
10/𝑇
0.1/𝑇
𝜔
0
1/𝑇
10/𝑇
𝜔
-90
• ゲイン特性
2本の直線で近似できる．右下がりの直線は角周波数
が10倍になるごとに20dB減少（-20dB/decade）
• 位相特性
直線ではあまり良く近似できない．1/𝑇 で階段状に近似
する方法， 0.1/𝑇~10/𝑇 の間を直線で近似する方法，
1/𝑇における接線で近似する方法などがある
24
問
1次遅れ要素
1
𝐺 𝑠 =
1 + 0.1𝑠
のボード線図を折れ線近似（直線近似）で描け．
位相特性については，遮断角周波数の1/10で
位相が0°，遮断角周波数の10倍で位相が
− 90°になるものと考えて，その間を直線で近
似する．
25
一次進み要素
直列RL回路
𝐺 𝑠 =
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)
= 𝑅 + 𝑠𝐿 = 𝑅 1 +
𝐿
𝑠
𝑅
一般的には，𝑇 を定数
𝑖(𝑡)
（時定数）として
𝐺 𝑠 = 1 + 𝑠𝑇 一次進み
要素
𝐺 𝑗𝜔 = 𝐺(𝑠)
𝑠=𝑗𝜔
𝑅
𝑣(𝑡)
𝐿
= 1 + 𝑗𝜔𝑇
26
時間応答と周波数応答
• ステップ応答
𝑠 𝑡 =ℒ
−1
𝐺 𝑠 𝑈 𝑠
= 𝑢 𝑡 + 𝑇𝛿(𝑡)
=ℒ
−1
1
1
−1
(1 + 𝑠𝑇) = ℒ
+𝑇
𝑠
𝑠
• 周波数応答
20 log10 (|𝐺 𝑗𝜔 |) = 20 log10 (|1 + 𝑗𝜔𝑇|)
𝜔 ≪ 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
𝜔 = 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
𝜔 ≫ 1/𝑇 のとき 20 log10 𝐺 𝑗𝜔
=0
≅ 3 [dB]
= 20 log10 (|𝜔𝑇|)
𝜙 𝜔 = tan−1 (𝜔𝑇)
27
ボード線図とナイキスト線図
20
90
45
0
0.1/𝑇
1/𝑇
-20
遮断角周波数で
ゲインは3dB，位
相は45度
1次遅れ要素と
同様に直線で近
似できる
0
10/𝑇 𝜔
Im
1/𝑇
0.1/𝑇
10/𝑇 𝜔
-90
𝜔→∞
𝜔=0
0
1
Re
ナイキスト線図は
直線を描く
28
問
1次進み要素
𝐺 𝑠 = 1 + 10𝑠
のボード線図を折れ線近似（直線近似）で描け．
位相特性については，遮断角周波数の1/10で
位相が0°，遮断角周波数の10倍で位相が
+ 90°になるものと考えて，その間を直線で近
似する．
29
複雑な伝達関数のボード線図
• 伝達関数を要素に分解する
• 要素ごとに直線近似（折線近似）でボード線図を
描く
• 各要素のボード線図の横軸を揃えて縦軸を足し
合わせる
1+𝑠𝑇2
（例） 𝐺 𝑠 =
の場合
𝑠(1+𝑠𝑇1 )
1
1
積分要素，1次遅れ要素
𝑠
1+𝑠𝑇1
，1次進み要素
1 + 𝑠𝑇2 の3つに分けてボード線図を描く
30
問
前ページの例において，𝑇1 = 0.1, 𝑇2 = 1 の場
合のボード線図を実際に描け．
31
練習問題
下図の回路について，以下の問いに答えよ．
1. 伝達関数 𝐺(𝑠) を求めよ．
2. 𝑅1 = 9kΩ，𝑅2 = 1kΩ，𝐶 = 1𝜇Fとする．直線
近似でボード線図を描け．
𝑅1
𝑥(𝑡)
𝑅2
𝑦(𝑡)
𝐶
32

Download Report