PowerPoint プレゼンテーション

Ｅｘｃｅｌを用いたＢＯＤＥ線図の作成方法
平成１８年８月
１．Ｗｉｎｄｏｗｓパソコンで広く使用されているＥｘｃｅｌを用いて、できるだけ易しくＢＯＤＥ
線図の作り方を解説する。
２．Ｅｘｃｅｌは応用範囲が広く、使い方も奥が深いが、ここでは逐一分厚いユーザーズ
ガイドを見なくても学習が進められるよう、Ｅｘｃｅｌの使い方に関する必要最小限の
知識を織り交ぜつつ、段階的にＢＯＤＥ線図が作成できる教材構成となるよう配慮
した。
３．教材の構成は以下の通りであり、以下、順を追って解説していく。
（１）ＢＯＤＥ線図について
（２）モデルにした伝達関数
（３）ＢＯＤＥ線図の作成範囲
（４）ＢＯＤＥ線図作成に必要な計算式
（５）Ｅｘｃｅｌ上での変数の設定
（６）Ｅｘｃｅｌ上での計算式の書き方
（７）計算の実行
（８）計算結果を基にしたＢＯＤＥ線図の作成方法
（９）簡単な動画の作成方法
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１．ＢＯＤＥ線図について
（１）伝達関数Ｇ（ｊω）は複素数なので、ωに対するＧ（ｊω）の変化の様子は、Ｇ（ｊω）
の絶対値と位相角で表す。
（２）横軸に対数目盛りで表した角周波数 ω ［ｒａｄ／秒］
縦軸に伝達関数の
◎ 絶対値のデシベル値ｇ［ｄＢ］
◎ 位相角 φ ［度］
をとって、Ｇ（ｊω）の変化の様子をグラフ化したものがＢＯＤＥ線図である。
（３）ＢＯＤＥ線図の一例を図－１に示す。
この図では
・・ｇをＧａｉｎ
・・φ をＰｈａｓｅで表
している。
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
-50.00
0.00
-10.00
-20.00
-30.00
-40.00
-50.00
-60.00
-70.00
-80.00
-90.00
Phase (deg.)
Phase(Deg)
0.10
0.16
0.25
0.40
0.63
1.00
1.58
2.51
3.98
6.31
10.00
15.85
25.12
39.81
63.10
100.00
158.49
251.19
398.11
630.96
1000.00
Gain (dB)
Gain (dB)
図－１
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ω　(rad.)
2
２．モデルにした伝達関数
（１）ＢＯＤＥ線図作成の基本的事項が学習できるよう、下記の一次遅れの伝達関数
をモデルにする。
G ( j ) 
30
1  jT
・・・・・①
（２）この演習では、上記の伝達関数について、絶対値のデシベル値ｇと位相角 φ
をωの関数として求め、Ｅｘｃｅｌを使って ω に対応する g と φ の値を計算し、
これを基にＢＯＤＥ線図を作成する。
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３．ＢＯＤＥ線図作成に必要な g と φ の計算式
（１）伝達関数の絶対値のデシベルｇ
ａ．まず、伝達関数の絶対値｜Ｇ（ｊω）｜を求め、これをデシベル値ｇになおす。
ｂ．絶対値｜Ｇ（ｊω）｜
・ ①式の分子は正の実数なので、そのままで絶対値になる。
・分母の絶対値は、実数部１と虚数部 ωＴの２乗和１＋ ω２Ｔ２を
平方根で開けば求まる。
∴
G( j ) 
30
1   2T 2
（下図参照）
ｃ．Ｘのデシベル値は２０Ｌｏｇ１０Ｘ
として、
g  20 Log10 (
と表せるので、
Ｘ＝
G( j
) 
∴
30
)
2 2
1  T
30
1   2T 2
対数記号の中では、掛け算は和に、
割り算は差に直せる
 20 Log10 30  20 Log10 ( 1   2T 2 )
1
2 2
 20Log10 30  20Log10 (1   T )
2
A
Log10 ( )  Log10 A  Log10 B
B
対数記号の中では、ルートは指数に
直して外に出せる
∴ g  20Log10 30  10Log10 (1   T )
2
2
kLog10 X n  nkLog10 X
ｄ．伝達関数の絶対値のデシベル値は
g  20Log10 30  10Log10 (1   2T 2 )
虚軸
・・・ ②
（絶対値）
1   2T 2
ｊωT
（虚数部）
Ｇ（ｊ
ω）
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０
１
（実数）
実軸
（２）伝達関数の位相角φ
ａ．分母が複素数のままでは扱えないので、分母の共役複素数を分母と分子
にかけ、式の値を変えずに分母を実数に、分子を複素数にする（有理化）。
G( j ) 
30(1  jT )
30(1  jT )

(1  jT )(1  jT )
1   2T 2
＝
30
1  T
2
（実数
部）
2
j
30T
1   2T 2
（虚数部）
ｂ．複素ベクトルＧ（ｊω）と実数軸とがなす角度 φ が位相角になるので、
（下図参照）
 T  30
2 2
tan   1   T
  T
30
1   2T 2
1
∴    tan (T )
ｃ．このままでは、単位が［ｒａｄ］なので、単位を［度］に直して、位相角は
  (180 /  ) tan1 (T )
・・・③
（２π［ｒａｄ］＝３６０［度］）
ａ
０
φ
実軸
ｊｂ
虚軸
G(jω）
ｔａｎφ＝ｂ／ａ
a
30
1   2T 2
jb   j
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T  30
1   2T 2
 T  30
2 2
tan   1   T
30
1   2T 2
5
４．ＢＯＤＥ線図の作成範囲
（１）ｇと φの曲線の大体の様子を掴むため、ωを 0.001≦ω ≦100 の範囲に設定
して値を計算する。
（２）初めから全範囲に渡ってωを同じ刻みで計算しても効率が悪いので、以下の
表のように対数目盛に合わせた形で値を設定する。
５．Ｅｘｃｅｌ上での変数の設定
（１）セルＡ１、Ｂ１、Ｃ１にそれぞれ変数名 ω、ｇ、φを記入。
（２）ωの値は、予めＡ列に入力しておく。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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A
ω
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
0.02
0.03
0.04
・
・
・
80
90
100
B
ｇ
C
φ
セルＡ１、Ｂ１、Ｃ１に変数名ω、
ｇ、φを記入
①ωを 0.001～0.01 まで
0.001刻みで入力
②ωを 0.01～0.1 まで
0.01刻みで入力
ωの入力
以下同様に１００まで入力
6
【参考】連続したセルへの入力と連続データの作成
（Ｅｘｃｅｌのユーザーズガイドより）
①初期値の設定されたセル範囲を選択する
②マウスの右ボタンを押しながら、
フィルハンドルをドラッグして連続
データを入力する範囲を指定
③マウスのボタンを離す
④ドラッグで指定した範囲内に
増加傾向＊）を直線に当てはめ
たデータが入力される
とショートカットメュー
が出てくるので、
［連続データ（加算）］
コマンドを選択
連続データ（加算）(L)
＊）この場合１０を初期値として１０刻みで増加させている
もちろん、０．００１を初期値として０．００１刻みで増加
させても問題はない
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ωの入力について：数が多くなるとこの方法が役に立つ
この他にも、[編集]－ [フィル]－[連続データの作成]などの方法がある。
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６．Ｅｘｃｅｌ上での計算式の書き方
（１）Ｅｘｃｅｌで定義されている特有の演算記号のうち、ＢＯＤＥ線図の計算を行うために
必要な演算記号を整理しておく。（詳細は［挿入］－［関数］－［数学／三角］を参照）
（２）本演習では以下の演算記号を使用する。
（通常の書き方）
（Ｅｘｃｅｌ上の書き方）
かけ算記号 ×
＊
対数ｐ＝ＬｏｇａＸ
（aは対数の底、Xは真数）
ｐ＝ＬＯＧ（Ｘ,ａ）
べき乗Ｘｎ
Ｘ＾ｎ
逆三角関数 φ＝ｔａｎ-１Ｘ
φ＝ＡＴＡＮ（Ｘ）
（３）従って、②式はＥｘｃｅｌ上では④の形で書き
g  20Log10 30  10Log10 (1   2T 2 )
ｇ＝２０＊ＬＯＧ（３０，１０）－１０＊ＬＯＧ（１＋（ω＊Ｔ）＾２，１０）
・・・④
ω＾２＊Ｔ＾２を短縮して（ω＊Ｔ）＾２の形で書いてある
（４） ③式はＥｘｃｅｌ上では⑤の形で書く
   (180 /  ) tan1 (T )
φ＝－（１８０／３．１４）＊ＡＴＡＮ（ω＊Ｔ）
・・・⑤
◎π＝３．１４とした
＊の記号は書き忘れやすいので注意すること
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◎
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７．計算式の入力について
（１）計算式中の変数、例えばωはセル番号でＡ２と書くことができる。通常は、この
ままの形で計算は実行される。
（２）技術計算の場合、変数をセル番号のままにしておくと、式の意味が分かりにくく、
変数が多くなって式が複雑になると、記入ミスなどの発生も考えらる。
この他にも、変数を定義してそのままの形で書くことにより、ブックの中で共通変数として使えるなど、
ユーザーズガイドには御利益がいろいろ書いてあるので参照されたい
（３）このため、変数をそのままの形で使って式を書くことにする。
（４）しかし、単にｇ、φ を ω の関数で書いただけでは、Ｅｘｃｅｌが ω を変数として
認識しないので、計算は実行されない。試しに、定数Ｔ＝０．５として、
ｏセルＢ２にｇの計算式・・・④
ｏセルＣ２に φの計算式・・・⑤
を入力してみる。
④、⑤式がωを認識していないの
で、計算が実行されない
ω
ωをセル番号Ａ２で書いておけば
計算は実行される
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（５）次の章で、ωを変数として登録する方法を説明する。
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８．ωを変数として登録し計算を実行する手順
手順① Ａをアクティブにする。（Ａ列全体がアクティブになる）
手順② ［挿入］－［名前］－［定義］で、名前の定義のダイアログボックスを出す。
手順③ ωを変数として登録するため、
‘bode’ ! ω
(シート名)
を入力する。
(変数名)
Ａ列のデータが全て変数として参照される
シート名は仮にｂｏｄｅとした
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手順④
ＯＫボタンを押す。
セルＢ２、Ｃ２にω＝0.001の場合のｇとφの値が表示される
手順⑤
ω に対応するｇと φ を計算する。
セルＢ２、Ｃ２を同時にアクティブ
にして、ハンドルをダブルクリック
全ての ω に対応するｇと φ の値の計
算が実行される
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これで変数の登録と計算は終了
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９．計算結果を基にしたＢＯＤＥ線図の作成方法
（１）０．００１～１００までの範囲のωに対応するｇとφの値は下表の通り。
ω
ｇ
0.001
29.54242
0.002
29.54242
0.003
29.54242
0.004
29.54241
0.005
29.5424
0.006
29.54239
0.007
29.54237
0.008
29.54236
0.009
29.54234
0.01
29.54232
0.02
29.54199
0.03
29.54145
0.04
29.54069
0.05
29.53971
0.06
29.53852
0.07
29.53711
0.08
29.53548
0.09
29.53364
0.1
29.53158
0.2
29.49921
0.3
29.44579
0.4
29.37209
0.5
29.27914
0.6
29.16816
0.7
29.04056
0.8
28.89785
0.9
28.74157
1
28.57332
2
26.53213
3
24.42359
4
22.55273
5
20.93905
6
19.54243
7
18.32027
8
17.23794
9
16.26884
10
15.39269
20
9.499211
30
6.001341
40
3.510981
50
1.576682
60
-0.00482
70
-1.34248
2015/10/1
80
-2.50149
90
-3.52397
100
-4.43871
φ
-0.02866
-0.05732
-0.08599
-0.11465
-0.14331
-0.17197
-0.20064
-0.2293
-0.25796
-0.28662
-0.57323
-0.85981
-1.14634
-1.43282
-1.71923
-2.00555
-2.29177
-2.57788
-2.86386
-5.71349
-8.53509
-11.3157
-14.0434
-16.7077
-19.2998
-21.8125
-24.24
-26.5785
-45.0228
-56.3385
-63.4671
-68.2332
-71.6014
-74.0922
-76.0023
-77.5105
-78.73
-84.3322
-86.2296
-87.1818
-87.7539
-88.1355
-88.4082
-88.6128
-88.772
-88.8993
（２）初めにｇのグラフを作図する。以下に具体的
な手順を示す。
【手順１】ＥｘｃｅｌシートのＡとＢをクリックして、Ａ列とＢ列
を選択する。
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【手順２】［挿入］－［グラフ］－［グラフウィザード画面］－［散布図］
－［データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図］を選ぶ。
【手順３】［次へ＞］－［次へ＞］で下の画面を出し、グラフのタイトルとＸ軸とＹ軸に名前をつける。
ｏグラフタイトル：
ｏＸ軸： ω
ｏＹ軸：ｇ
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ｇ（自動で出力されたままにしてある）
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【手順４】グラフウィザードで完了をクリックすると以下のグラフが出力される。
（Ｘ軸の目盛りはまだ対数ではないので、 ωが小さい所はかなり圧縮されている）
【手順５】Ｘ軸の座標を書き直す。グラフ上のＸ軸にカーソルを合わせて右クリックすると、
下の画面が出るので、軸の書式設定を選ぶ。
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Ｘ軸にカーソルを合わせて右クリック
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【手順６】下の画面が出てくるので、目盛のタブを選んで
ｏＸ軸の最小値を０．００１
ｏ〃最大値を２００
合わせてチェックは外しておく
ｏ目盛り間隔を１０
ｏ補助〃
ｏ対数目盛を表示するにチェックマークを入れておく
値の設定
チェック
外す
チェック
マーク
【手順７】ＯＫボタンを押すと、Ｘ軸を対数目盛にしたｇのグラフが描ける
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